新高考数学一轮复习 专项分层精练第27课 平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）

第27课平面向量的基本定理及坐标表示（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.【详解】对于A，假设SKIPIF1<0共线，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不共线，所以没有任何一个SKIPIF1<0能使该等式成立，即假设不成立，也即SKIPIF1<0不共线，则能作为基底；对于B，假设SKIPIF1<0共线，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0无解，所以没有任何一个SKIPIF1<0能使该等式成立，即假设不成立，也即SKIPIF1<0不共线，则能作为基底；对于C，因为SKIPIF1<0，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；对于D，假设SKIPIF1<0共线，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0无解，所以没有任何一个SKIPIF1<0能使该等式成立，即假设不成立，也即SKIPIF1<0不共线，则能作为基底，故选:C.2．（2023春·福建宁德·高一统考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点M满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0.故选：A.3．（2021春·广东广州·高一校联考期末）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解.【详解】SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，根据平面向量基本定理可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故选：D.【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值.4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题5．（2022·海南·校联考模拟预测）用下列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能表示向量SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】AB【分析】根据题意，设SKIPIF1<0，利用向量的坐标运算，得到关于SKIPIF1<0的方程组，结合方程组的解，即可求解.【详解】对于A中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程组有无数组解，例如SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以A成立；对于B中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以B成立；对于C中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以SKIPIF1<0不能表示SKIPIF1<0，所以C不成立；对于D中，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程组无解，所以SKIPIF1<0不能表示SKIPIF1<0，所以D不成立.故选：AB.6．（2022·高一课时练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A；利用平面向量的模长公式可判断B；利用平面向量垂直的坐标表示可判断C；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.【详解】对于A，SKIPIF1<0，A错；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B对；对于C，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，C对；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，D错.故选：BC.7．（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，如下四个结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0； B．四边形SKIPIF1<0为平行四边形；C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0； D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】求出向量SKIPIF1<0坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,对于A，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且相等，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.三、填空题8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出SKIPIF1<0的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<09．（2019·天津·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，等边SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等边三角形，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0边于SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0,可以证出四边形是菱形,以SKIPIF1<0为一组基底，计算出SKIPIF1<0的值，根据SKIPIF1<0，可以得出SKIPIF1<0的值.【详解】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0边于SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0,如下图所示：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，所以可以证出四边形AEDF是菱形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、平面向量加法的几何意义，考查了运算能力.四、解答题10．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求m的值；(2)若SKIPIF1<0，求m的值；(3)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为锐角，求m的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；（2）由向量垂直坐标表示即可；（3）由向量夹角为锐角可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同向，由此可构造不等式组求得SKIPIF1<0的范围【详解】（1）因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0夹角为锐角，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同向，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【二层练综合】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0共线的单位向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0的坐标，除以SKIPIF1<0，再考虑方向可得．【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0同向的单位向量为SKIPIF1<0，反向的单位向量为SKIPIF1<0．故选：C．二、多选题2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）下列选项中正确的是（

）A．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角为60°B．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量的坐标为SKIPIF1<0D．若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是5【答案】BCD【分析】对SKIPIF1<0两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；由共线向量的坐标表示可判断B；由投影向量的定义可判断C；SKIPIF1<0，结合余弦函数的值域可判断D.【详解】解：A选项，由SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以夹角SKIPIF1<0.对于B，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.所以B正确.C选项，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0，故C正确，对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值是5，所以D正确.故选：BCD.三、填空题3．（2023春·内蒙古乌兰察布·高一校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，根据向量共线和向量垂直的条件得到SKIPIF1<0的值，进而得到向量的坐标，然后可求出SKIPIF1<0夹角的余弦值．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵(SKIPIF1<0)∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量SKIPIF1<0的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．四、解答题4．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0三点共线，求实数SKIPIF1<0的值；

（2）证明：对任意实数SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0成立.【答案】(1)-3；(2)证明见解析.【详解】分析：（1）由题意可得SKIPIF1<0，结合三点共线的充分必要条件可得SKIPIF1<0.（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得SKIPIF1<0，则恒有SKIPIF1<0成立.详解：（1）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0三点共线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴恒有SKIPIF1<0成立.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【三层练能力】一、多选题1．（2022·重庆·统考模拟预测）已知平面内两个给定的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0的SKIPIF1<0可能有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】ABC【分析】由给定条件用坐标表示SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.【详解】因平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面直角坐标系中，令SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，表示以点SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，表示一条直线l，依题意，SKIPIF1<0同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量SKIPIF1<0的个数，点C到直线l的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线l与圆C相