河北省石家庄市河北师大附属中学2024-2025学年九年级数学上学期10月月考试题（解析版）-A4

第页数学试卷时间：80分钟满分：100分一、选择题（1-10题，每题3分；11-16题，每题2分；共计42分）1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A.sinA＝ B.cosA＝ C.cosB＝ D.tanB＝【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．【详解】解：由勾股定理得：，所以，，，，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．2.小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（）A.4 B.5 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10，∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10，∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．3.函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：A、由一次函数图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故不符合题意；B、经过图象原点，故不符合题意；C、由一次函数的图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故符合题意；D、由一次函数的图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故不符合题意；故选：C．4.下列命题中，正确的是（）A.同弧所对的圆周角相等B.相等的圆周角所对的弧相等C.等弧所对的圆周角相等或互补D.同圆中等弦所对的圆周角相等【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、同弧所对的圆周角相等，故正确；B、同圆中相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意；C、在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等或互补，原说法错误，不符合题意；D、同圆中等弦所对的圆周角相等或互补，原说法错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理及其推论，难度不大．5.在恒温实验室里，有充满一定质量气体的密闭气球，现三次改变气球的体积并测得球内气体的密度，体积与密度的三对对应值分别用右图所示的点、点、点表示，若第四次改变体积，得到体积与密度的对应值可以表示成的点是（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义和图象；首先判断出该函数图象应为反比例函数图象，再根据反比例函数图象的特点得出答案．【详解】解：由密度可知，温度和质量一定时，密度与体积成反比，∴该函数图象应为反比例函数图象，由图可得，若第四次改变体积，得到体积与密度的对应值可以表示成的点是N，故选：D．6.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置，已知AO＝4米，若栏杆的旋转角，则栏杆点A升高的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】过点作于C，解直角三角形得到米即为所求．【详解】解：如图所示，过点作于C，∴，∴，即，∴米，∴栏杆点A升高的高度为米，故选D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造直角三角形求解．7.如图，内接于，若，则的大小为（）A.32° B.58° C.65° D.40°【答案】A【解析】【分析】如图所示，连接，利用圆周角定理求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．8.如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是()A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可．【详解】解：连接OA，如图，∵轴，∴OC∥AB，∴而∴∵∴故选D．【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．9.若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，把A，B，C坐标代入解析式即可求出相应的a，b，c的值，然后比较即可．【详解】解：∵，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴，∴，故选：C．10.圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（）A.60° B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，设的度数分别为，根据圆内接四边形的性质列出方程是解题的关键．【详解】解：解：设的度数分别为，由圆内接四边形的性质可知，，解得，∴，∴，故选：B．11.有一题目：“已知；点为ΔABC的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画ΔABC以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）A.淇淇说的对，且的另一个值是115°B.淇淇说的不对，就得65°C.嘉嘉求的结果不对，应得50°D.两人都不对，应有3个不同值【答案】A【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°−65°＝115°．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形外接圆，正确分类讨论是解题关键．12.如图，函数的图象与的图象交于点、，已知点的横坐标为，则AB的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将x=3分别代入两个函数中，先求出k的值，再求出两交点坐标，最后根据直角三角形的性质求得AB的长．【详解】如图，依题意可得3k=，解得k=．在将k=分别代入两个函数中可得，，解方程组得，和，所以交点为（3，32）和（-3，-3过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线交于点C，则AC=3，BC=6，在Rt△ABC中AB=.故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式的方法、解方程组的方法，直角三角形的性质及其应用．13.我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段上，若，则（）A.减小了 B.增加了 C.减少了 D.增加了【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，正多边形的性质，解题的关键是判断出为等边三角形．延长，交于点，说明是的中位线，得到条件证明为等边三角形，从而计算变形前后的度数，即可求解．【详解】解：如图，延长，交于点，则，，，，是的中位线，，为等边三角形，，．在图（1）中，，增加了，故选：B．14.如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由折叠的性质可知：，，利用勾股定理解，进一步求出，再利用正切定义求解即可．【详解】解：设，则由折叠的性质可知：，，∵是边的中点，，∴，∵，∴，即，解之得，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查矩形中折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是利用折叠的性质表示出：，，再利用勾股定理求出的长．15.在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．如图1，连接交于O，根据菱形的性质得到，，平分，则，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，如图2，利用正方形的性质得到的长．【详解】解：如图1，连接交于O，∵四边形为菱形，∴，，平分，∵，∴，∴，如图2，∵四边形为正方形，∴．故选：A．16.如图，将一个半径为1cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆心O滚动一周路径长，可得结论；【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为，∴滚动2020周后圆心所经过的路径长，故选：D．【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个90°的弧长和一个180°的弧长．二、填空题（每题3分，共计9分）17.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC＝_____．【答案】3cm【解析】【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出DE，根据角平分线的性质求出CE，根据正切的定义计算即可求出BC的长度．【详解】解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝AE＝＝3．∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°．∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°．在Rt△CBE中，∵，∴BC＝CE＝3（cm），故答案为：3cm．【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质，角平分线的性质和正切的概念，掌握含30°的直角三角形的性质，角平分线的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．18.点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则的值为____．【答案】5【解析】【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1＋S3＝25，求出S2即可．【详解】解：∵CD＝DE＝OE，∴假设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），∴CP＝，DQ＝，ER＝，∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，∴S1＝S3＝2S2，∵S1＋S3＝25，∴S3＝15，S1＝10，S2＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示点的坐标，属于中考常考题型．19.已知函数的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接、．若，则__________．【答案】【解析】【分析】设点坐标为0,m，则，，得到，，，证明，求出，再由勾股定理得出，最后由正切的定义即可得解．【详解】解：设点的坐标为0,m，∵轴，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，则，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数几何意义、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．三、解答题（第20题9分，第21题10分，第22题15分，第23题15分）20.特殊角的三角函数值在初中数学中有广泛的应用，请完成下表：【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角形函数值填写表格即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．【详解】解：填表格如下：121.风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）【答案】63米【解析】【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．【详解】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°•x=1.4×45=63．答：塔杆CH的高为63米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．（1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式；（2）直接写出当时，自变量的取值范围；（3）连接、，求的面积；（4）已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为（2）当时，自变量的取值范围为或（3）（4）点的坐标为或或或【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象即可得解；（3）先求出得到，再根据计算即可得解；（4）分两种情况：过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于，可求出直线的解析式为，联立，求解即可．【小问1详解】解：∵轴，垂足为M，，，∴，把代入反比例函数，可得，解得：，∴反比例函数的解析式为；令，则，∴，把，代入一次函数可得，解得：，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或；【小问3详解】解：在中，令，则，即，∴，∴；【小问4详解】解：①如图，过点作的平行线交反比例函数于，则，，故直线的解析式为，联立，解得：或，∴点的坐标为或；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于，则又，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴点P的坐标为或，综上，点P的坐标为或或或．23.如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点G．（1）如图2，当，且点G