2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省泉州市晋江一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.点P(−3,8,−5)关于平面xOy对称的点的坐标是(

)A.(3,−8,−5) B.(−3,8,5) C.(3,8,5) D.(−3,−8,5)2.已知直线l过点(4,5)，且一个方向向量为(−1,2)，则直线l的方程为(

)A.x+2y−14=0 B.x−2y+6=0 C.2x+y−13=0 D.2x−y−3=03.已知双曲线C1过点A(−15,1)，且与双曲线C2：A.x212−y24=1 B.4.已知直线l1：3x−4y+7=0与直线l2：6x−(m+1)y+1−m=0平行，则l1与l2A.1 B.2 C.3 D.45.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1A.3 B.2 C.5 6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若A.x248+y216=1 B.7.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过AA.13 B.12 C.238.已知圆C：x2+y2+6x−4y+9=0关于直线ax+by+3=0对称，过点P(a,b)作圆C的切线，切点分别为A，B，则A.2764 B.2964 C.1932二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),cA.向量a与向量b的夹角为π6

B.c⊥(a−b)

C.向量a在向量b上的投影向量为(12,0,10.已知直线l：kx−y+(1−k)=0，圆C：(x+1)2+(y−2)A.l与圆C不一定存在公共点

B.圆心C到l的最大距离为5

C.当l与圆C相交时，−34<k<0

D.当k=−1时，圆C11.已知双曲线C：y2a2−x2=1(a>0)的一条渐近线的方程为y=A.C的方程为3y2−x2=1

B.C的离心率为233

C.若点A为C的上支上的任意一点，P(2,0)，则|PA|+|AF2|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(−2,−5)，B(0,1)两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．13.过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线，交E于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则E的离心率为______．14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，且该圆的圆心在这两定点所在直线上.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点E在棱AB上，BF=2AE，F为C1D1的中点，动点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x−y−5=0相切于点P(2,−3)．

(1)求圆M的方程；

(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．16.(本小题15分)

如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD⊥CD，AB/​/CD，AB=AD=PD=2，CD=4，点E是棱PC上靠近P端的三等分点，点F是棱PA上一点．

(1)证明：PA//平面BDE；

(2)求点F到平面BDE的距离；

(3)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x−1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l18.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,⋯,k,k≥3))为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，Q2PQ3，…平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为顶点的面.现给出如图所示的三棱锥19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，且经过点(2,53)．

(1)求E的方程；

(2)过F1且不垂直于坐标轴的直线l交E于A，B两点，点参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.(x+1)13.514.12π

27215.解：(1)已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x−y−5=0相切于点P(2,−3)，

易知过点P(2,−3)且与直线x−y−5=0垂直的直线斜率为1，

故圆心M与切点连线方程为x+y+1=0，

联立x+y+1=0y=−2x解得x=1y=−2，

所以圆M的圆心坐标为(1,−2)，

所以圆M的半径为|MP|=(2−1)2+(−3+2)2=2，

则圆M的方程为(x−1)2+(y+2)2=2；

(2)如图，由(1)可知圆M的方程为(x−1)2+(y+2)2=2，

因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，

所以圆心M到直线l的距离为d=2−(62)2=216.解：(1)证明：以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(0,43,43)．

DB=(2,2,0),DE=(0,43,43)，

设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⊥DBm⊥DE，则m⋅DB=0m⋅DE=0，

即2x+2y=043y+43z=0，

令x=1，得y=−1，z=1，

则m=(1,−1,1)．

又PA=(2,0,−2)，可得PA⋅m=0，

因为PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE．

(2)因为PA//平面BDE，

所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离，

易知AB=(0,2,0)，

则点A到平面BDE的距离为|m⋅AB||m|=23=217.解：(1)由圆M：(x+1)2+y2=1，可知圆心M(−1,0)；圆N：(x−1)2+y2=9，圆心N(1,0)，半径3．

设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+(3−R)=4，

而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，

∴a=2，c=1，b2=a2−c2=3．

∴曲线C的方程为x24+y23=1(去掉点(−2,0))

(2)设曲线C上任意一点P(x,y)，

由于|PM|−|PN|=2R−2≤3−1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为(2,0)，R=2时，其半径最大，其方程为(x−2)2+y2=4．

①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0，|AB|=23．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，

设l与x轴的交点为Q18.解：(1)根据离散曲率的定义得：ΦP=1−12π(∠APB+∠BPC+∠APC)，

ΦA=1−12π(∠PAB+∠BAC+∠PAC)，ΦB=1−12π(∠PBA+∠ABC+∠PBC)，

ΦC=1−12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)，

所以ΦP+ΦA+ΦB+ΦC=4−12π×4π=2；

(2)①因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，且AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，

所以BC⊥PC，

所以ΦC=1−12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)=1−12π(∠PCA+π2+π2)=38，

所以∠PCA=π4，所以PA=AC=BC=2，

如图，将三棱锥P−ABC补成正方体ADBC−PEFM，

因为AB//PF，连结FC，所以异面直线PC与AB所成的角为∠FPC或其补角，

而△PFC是等边三角形，所以∠FPC=60°，cos∠FPC=cos60°=12，

所以直线PC与直线AB所成角的余弦值为12；

过点Q作QG//AB于点G，连结CG，

因为PA⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，

所以∠GCQ为直线CQ与平面