《工程力学 》课件第11章

第11章组合变形11.1概述11.2拉伸（压缩）与弯曲的组合变形11.3应力状态11.4强度理论11.5弯曲与扭转的组合变形思考题

习题

11.1概

述

在实际工程中，杆件在受力后，往往同时产生两种或两种以上基本变形的组合，这种杆件的变形称为组合变形。例如，图11-1所示支架中的AB梁，力Ry、G和Ty使梁弯曲，力Rx和Tx使梁压缩，梁AB发生压缩和弯曲的组合变形。图11-2所示反应釜中的搅拌轴，叶片在搅拌物料时既受到阻力的作用而发生扭转变形，同时还受到搅拌轴和桨叶的自重作用而发生轴向拉伸变形。图11-3所示机械中的齿轮传动轴，在齿轮啮合力的作用下，同时发生扭转与弯曲的组合变形。图11-1图11-2图11-311.2拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

若作用在构件对称平面内的外力既不与轴线重合也不与轴线垂直，如图11-4所示，则构件将产生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。现以矩形截面悬臂梁为例，来说明拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算方法。

图11-4

如图11-4(a)所示悬臂梁AB的自由端受集中力F的作用，F力作用在梁的纵向对称平面内，并与梁轴线成夹角α。固定端A受约束反力FAx、FAy以及约束反力偶MA的作用。为了分析出梁的变形，将载荷F分解成两个正交分量Fx和Fy，两分力的大小分别为

FAx和Fx使杆件轴向拉伸，Fy、FAy和MA使杆件发生弯曲，因此，杆AB上发生轴向拉伸与弯曲的组合变形。由轴力引起的应力沿截面均匀分布，其值为

由弯矩引起的弯曲正应力在截面上呈线性分布，其值为

由于轴力和弯矩引起的应力均为正应力，因此根据叠加原理知，危险点为截面的上、下边缘点。

当时，截面上边缘点的应力，即截面上的最大拉应力为

截面下边缘点的应力，即截面上的最大压应力为

若杆件材料为塑性材料，需按截面上的最大应力进行强度计算，其强度条件为

但对于抗拉、抗压强度不同的脆性材料，则要分别按最大拉应力和最大压应力进行强度计算，故强度条件分别为

例11-1如图11-5(a)所示钻床受压力P=15kN作用，已知偏心距e=0.4m，铸铁立柱的许用拉应力［σl］=35MPa，许用压应力［σy］=120MPa。试求铸铁立柱所需的直径。

解（１）分析立柱变形。将P力平移到立柱轴线上，同时附加一个力偶Mf=Pe。在P和Mf的共同作用下,立柱发生弯曲和拉伸的组合变形。图11-5（２）分析内力。假想地将立柱截开，取上端为研究对象（图11-5(b)），

由平衡条件得

（３）分析应力轴力产生的拉应力在截面上均匀分布，其值为

弯矩在横截面上产生弯曲应力，其最大值为

立柱右侧边缘点的总应力为

立柱左侧边缘点的总应力为

（４）强度计算由于铸铁抗压能力强，抗拉能力差，故应对受拉侧进行强度计算，即

代入已知数据得

解上式即可求得立柱的直径d。因为这是一个三次方程，求解较繁。因为一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸（或压缩）杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍稍增大，再代入偏心拉伸的强度条件中进行校核，如数值相差较大，再作适当变更，以试凑的方法进行设计计算，最后即可求得满足此方程的直径。

先考虑弯曲强度条件

即

得直径,将其稍稍加大，现取，心拉伸的强度条件进行校核，得

满足强度条件。最后选用立柱的直径。

例11-2最大吊重P=8kN的起重机如图11－6(a)所示。AB为工字钢，材料为Q235钢，［σ］=100MPa。试选择工字钢型号。图11-6解：（１）求CD杆受力

CD杆的长度为

AB杆的受力简图如图11-6(b)所示。

设CD杆的拉力为F，由平衡方程

得

（２）分析杆件变形

把F分解为Fx和Fy两个分力，可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。作杆的弯矩图和轴力图如图11-6c所示。从图中看出，在c点左侧的截面上弯矩最大，而轴力在ＡＣ段为相同值，故Ｃ截面为危险截面。

（３）根据弯曲强度条件选取工字钢

因为

作杆的弯矩图和轴力图如图11-6(c)所示。从图中看出，在C点左侧的截面上弯矩最大，而轴力在ＡＣ段为相同值，

故Ｃ截面为危险截面。

（４）强度校核由于轴力和弯矩的共同影响，危险截面C的下边缘点为危险点，最大压应力为

于最大压应力力与许用应力接近相等，故无需重新选择截面的型号。

11.3应力状态

杆件在基本变形，横截面上的危险点是在正应力或剪应力的单独作用下发生破坏的。而杆件在复杂的组合变形中。横截面上既有正应力又有剪应力，这时材料的破坏是由哪个应力决定的呢？这就需要对截面上一点的应力情况和材料破坏的原因作进一步的研究。在轴向拉伸的杆件中，如图11-7所示，可以证明，任意截面m—n上的正应力和剪应力分别为

（11-1）

(11-2)

上式中，α为轴线正向与截面外法线的夹角（规定逆时针为正），称为截面的方位角。A为横截面面积。显然，在同一点处不同方位的截面上，应力的大小和方向都随所取截面的方位角α而改变。而杆件在扭转或弯曲中，即使在同一截面上各点的应力也不相同。因此，为了解决杆件的强度问题，需要研究构件内在哪一点、哪一个截面上的应力为最大。把杆件受力后其中任一点处各个截面上的应力情况，称为该点的应力状态。

图11-7图11-8图11-9

图11-10图11-11

用截面法，根据静力平衡方程可求得构件内某点的单元体上任意斜截面上的应力为

(11-3)

(11-4)上面两式表明，斜截面上的正应力和剪应力均随截面方位角α而改变，是α的函数。可以证明，构件内某点的单元体上，各截面中的最大正应力和最小正应力就是该点的主应力，其值可由下式求出

（11-5）

主平面的位置可由下式确定

（11-6）

图11-1211.4强度理论

强度理论是解决复杂应力状态下强度条件如何建立的问题。构件在轴向拉、

压时的强度条件为

式中

，σu可通过拉伸或压缩试验来确定，因此构件的强度条件是以材料试验为基础的。

１．最大拉应力理论（第一强度理论）该理论认为，引起材料破坏的主要因素是最大拉应力，即认为材料不论处于什么样的应力状态下，只要在构件内一点处的最大拉应力σ1达到材料的极限值σb，就引起断裂破坏。它的破坏条件是:由上式导出的第一强度理论的强度条件是

（11-7）

式中，［σ］为单向拉伸时的许用应力。

２．最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论认为，材料发生脆性断裂的原因是最大伸长线应变。也就是说，不论材料处于何种应力状态下，只要最大伸长线应变ε1达到了单向拉伸断裂时的最大伸长线应变值εljx，材料就会发生断裂破坏。其破坏条件是:根据胡克定律，上式可改写为

由此导出第二强度理论的强度条件为

(11-8)３．最大切应力理论（第三强度理论）此理论认为,最大剪应力是引起材料屈服的主要因素。即不论材料处于何种应力状态下，只要危险点的最大剪应力达到材料在单向拉伸试验下发生屈服时的最大剪应力τs，材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生屈服破坏的条件是根据胡克定律，上式可改写为

由此导出第二强度理论的强度条件为

(11-8)

４．形状改变比能理论（第四强度理论）这一理论认为,形状改变比能是引起屈服的主要原因。即认为无论材料处于何种应力状态下，只要形状改变比能达到与材料性质有关的某一极限值，材料就会发生屈服。由此而导出的第四强度理论的强度条件为

(11-10)实验表明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果，因此，在工程中得到广泛应用。大量的实例说明,材料的失效形式与应力状态和材料的性质有关：（１）无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都将以断裂的形式失效，宜采用最大拉应力理论。（２）无论是塑性或脆性材料，在三向压应力相近的情况下，都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。（３）一般情况下，对脆性材料宜采用第一或第二强度理论。（４）一般情况下，对塑性材料宜采用第三或第四强度理论。11.5弯曲与扭转的组合变形

弯曲与扭转的组合变形是工程实际中常见的情况，通常情况下发生纯扭转变形的轴很少见。下面来讨论圆截面杆在弯扭组合时的强度问题。如图11-13(a)所示的曲拐，AB段为等直实心圆截面杆，在C点处受一个集中力F作用。图11-13

１．外力分析

将F力向AB杆的B截面形心简化，得到横向力F和附加力偶矩M=Fb。F力使AB杆发生弯曲，附加力偶矩M使其发生扭转，所以AB杆发生弯扭组合变形，其计算简图如图11-13(b)所示。

２．内力分析

作出AB杆的内力图（如图11-13(c)、(d)所示）。由弯矩图和扭矩图可知，固定端A为危险截面，其上的弯矩值和扭矩值分别为

３．应力分析弯矩M引起垂直于横截面的弯曲正应力，扭矩Mn引起切于横截面的剪应力。固定端左侧截面上的正应力和剪应力分布如图11-14(a)、(b)所示。可见该截面上C、D两点处的弯曲正应力和剪应力均分别达到了最大值，因此，C、D两点均为危险点，该两点的弯曲正应力和扭转剪应力分别为图11-14

４．强度计算

对于塑性材料制成的转轴，因其抗拉、抗压强度相同，因此，应当采用第四强度理论或第三强度理论。单元体C的第三、

第四强度理论的相应强度条件分别为

（11－11）

(11-12)将

、代入以上两式，且因为Wn=2WZ,即可得到

(11-13)(11-14)

以上的分析和计算公式同样适用于空心截面杆的弯扭组合变形，因为空心截面的抗扭截面模量也是其抗弯截面模量的两倍。对于拉伸（压缩）与扭转组合变形的圆杆，由于其危险截面上的应力情况及危险点的应力状态都与弯曲和扭转组合变形时相同，因此，公式(11-11)、(11-12)可以使用。

例11-3

已知轴AB的中点装有一重G=5kN、直径D=1.2m的皮带轮，其两边的拉力分别为P=3kN和2P=6kN。轴长1.6m并通过联轴器和电动机联接，如图11-15(a)所示。试按第三强度理论设计此轴的直径。

解（１）分析轴的变形。轮中点所受的力F为轮重与皮带拉力之和，即Q=5+3+6=14kN,轴的计算简图如图11－15(b)所示。Q与A、B处的反力RA、RB使轴产生弯曲，轴中点还受皮带拉力产生的力矩作用，其值为（２）分析轴的内力。画出轴的扭矩图和弯矩图，如图11-15(c)、(d)所示。根据内力图，可知轴的危险截面为中点稍偏右的截面,则最大弯矩为

轴右半段各截面上的扭矩值均相等，其值为

图11-15（３）按第三强度理论计算轴的直径。

由公式（11-13）得

因WZ=0.1d3，所以取 。

例11-4图11-16(a)为一卷扬机的示意图，设卷扬机轴的直径d=30mm，轮直径D=360mm，轴材料的许用应力［σ］=80MPa。试用第三强度理论来确定卷扬机起吊的最大许可载荷P。

解（１）外力分析。

将P力向C点轴心平移，可得一横向力P和一力偶矩为

的力偶。卷扬机轴的计算简图如图11-16(b)所示。轴在力P作用下产生弯曲变形，在力偶M作用下AC段产生扭转变形。故卷扬机轴的AC段产生弯曲与扭转的组合变形。

图11-16（２）内力分析。由内力图得出C点稍偏左的截面为危险截面，

最大弯矩值为

扭矩值为

（３）按第三强度理论求许可载荷。实心圆截面的抗弯截面系数为

又

即

于是可得

思

考

题

11-1试用外力简化的方法判断图中各构件属于何种变形？

思考题11-1图

11-2指出上题各图中构件的危险截面及最大应力的位置。

11-3何谓点的应力状态？何谓主平面与主应力？单元体的主应力和正应力有何区别与联系？

11-4在单元体中，最大正应力作用的平面上有无剪应力?最大剪应力作用的平面上有无正应力？

11-5对于拉伸（压缩）和扭转的组合变形，为什么公式（11-11）、(11-12)能够应用，而公式(11-13)、(11-14)不能应用？

11-6什么是强度理论？

为什么要建立强度理论？

习

题

11-1矩形截面180mm×240mm的木梁，受拉力F=18kN。求梁内的最大正应力和最小正应力。

题11-1图

11-2如图所示钩头螺栓，螺纹的内径d=25.1mm，当拧紧螺母时承受偏心力F=4.2kN的作用,偏心距e=50mm。试求螺栓内的最大应力。

题11-2图

11-3梁AB的截面为100mm×100mm的正方形。若P=3kN，试作轴力图及弯矩图，

并求最大拉应力及最大压应力。

题11-3图

11-4一梁AB的跨度为6m，梁上铰接一桁架，力F=10kN平行于梁轴线且作用于桁架E点。

若梁的横截面为100mm×200mm的矩形，试求梁内的最大拉应力。

题11-4图

11-5单轨吊车起吊重物如图所示。已知电葫芦与起重机重量总和P=16kN，横梁AB采用16号工字钢，许用应力［σ］=120MPa，梁长l=3200mm。试校核横梁AB的强度。题11-5图

11-6钻床如图所示，工作压力F=15kN，e=400mm,［σ］=36MPa。试计算铸铁立柱所需的直径d。题11-6图

11-7如图所示，长l=1m的轴AB用联轴器和电动机连接，在AB轴的中点装有一直径D=1m的带轮，两边的拉力各为F1=4kN和F2=2kN，带轮重量不计。若轴材料的许用应力［σ］=140MPa，轴的直径为62mm，试按第三强度理论校核此轴的强度。题11-7图

11-8开口链环由直径d=20mm的钢杆制成，钢杆的许用应力［σ］=100MPa。若a=50mm，求链环的最大许可载荷。题11-8图

11-9构件受力如图所示。要