2024-2025学年高中数学第二章数列2.1第2课时数列的性质与递推公式学案含解析新人教A版必修5

PAGE1-第2课时数列的性质与递推公式[目标]1.理解递推公式的含义，能依据递推公式写出数列的前几项，并能归纳出数列的通项公式；2.体会递推公式是表示数列的一种方法；3.体会数列单调性的推断及简洁应用．[重点]利用递推公式求通项．[难点]递推公式含义的理解．学问点一数列的递推公式[填一填]一个数列若满意以下两个条件：①已知数列{an}的第一项a1(或前几项)．②从其次项(或某一项)起先的随意项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示．则此公式就叫做这个数列的递推公式．[答一答]1．递推公式也是表示数列的一种方法吗？提示：递推公式也是表示数列的一种重要方法．2．全部的数列都有递推公式吗？提示：并不是全部的数列都有递推公式：例如eq\r(2)精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…就没有递推公式．学问点二数列的单调性[填一填]推断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为推断一个数列{an}的随意相邻两项之间的大小关系来确定．(1)若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；(2)若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；(3)若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．[答一答]3．数列{an}满意an＝eq\f(n－\r(2014),n－\r(2015))，若ap最大，aq最小，则p＋q＝89.解析：an＝eq\f(n－\r(2014),n－\r(2015))＝1＋eq\f(\r(2015)－\r(2014),n－\r(2015)).由于44<eq\r(2015)<45，则当n≤44时，an＝1－eq\f(\r(2015)－\r(2014),\r(2015)－n)<1且递减；当n≥45时，an＝1＋eq\f(\r(2015)－\r(2014),n－\r(2015))>1且递减．所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89.类型一依据数列的递推公式写出数列的项[例1]已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝eq\f(an－1,1－an－1)(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．[分析]先写出前5项，再视察这5项，找出规律写出通项．[解]可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝eq\f(2,1－2)＝－2，a3＝eq\f(－2,1－－2)＝－eq\f(2,3)，a4＝eq\f(－\f(2,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝－eq\f(2,5)，a5＝eq\f(－\f(2,5),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))))＝－eq\f(2,7).即数列{an}的前5项为2，－2，－eq\f(2,3)，－eq\f(2,5)，－eq\f(2,7).也可写为eq\f(－2,－1)，eq\f(－2,1)，eq\f(－2,3)，eq\f(－2,5)，－eq\f(2,7).即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－eq\f(2,2n－3)(n∈N*)．数列的递推公式是数列规律的另一种表示形式.知道首项，就可求后面的各项；知道后面的项，也可求出前面的项.[变式训练1](1)已知数列{an}满意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则a6＝8.解析：因为an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5＝8.故填8.(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－1，则此数列的前4项的和为0.解析：∵a1＝1，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝0.类型二由递推公式求通项公式[例2](1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，求通项an.(2)设{an}是首项为1的正项数列，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，求它的通项公式．[分析](1)将已知等式化简、整理，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，用累加法可求eq\f(1,an)，再求an.(2)可用累乘法求通项．[解](1)∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴an＋1(an＋2)＝2an.∴an＋1an＝2an－2an＋1.两边同除以2an＋1an，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).∴eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2).把以上各式累加得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(n－1,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(2,n＋1).故数列{an}的通项an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．(2)eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·eq\f(a5,a4)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·eq\f(4,5)·…·eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).在一个数列中，假如从其次项起，每一项与它前一项的差构成的数列能够相加，并求出和，就可用累加法求通项公式；若每一项与它前一项的商构成的数列能够相乘，并求出积，就可用累乘法求通项公式.[变式训练2](1)已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则通项公式为(B)A．an＝3n B．an＝2nC．an＝n D．an＝eq\f(1,2)n解析：由an－an－1＝2，累加法可得an－a1＝2(n－1)，∴an＝2n.(2)已知{an}中，a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)，则数列{an}的通项公式是(C)A．an＝2n B．an＝eq\f(1,2n)C．an＝eq\f(1,2n－1) D．an＝eq\f(1,n2)解析：由累乘法可得an＝eq\f(1,2n－1)，故选C.类型三数列的性质命题视角1：数列的单调性[例3]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7.))数列{an}满意an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．[分析]分段数列递增首先要确保各段递增，再使得两段相邻处满意肯定的条件即可．[解析]由题意知an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7，))因为数列{an}递增，所以当n≤7时，3－a>0，即a<3；当n>7时，a>1；且a7<a8，即(3－a)×7－3<a8－6，解得a>2或a<－9.故a的取值范围为2<a<3.[答案]2<a<3分段数列单调与相应的分段函数单调不同，除了确保各段单调外，还要使得两段之间满意肯定的条件，如本例中数列{an}递增要满意a7<a8，而若函数fx递增则要满意f7≤a7－6，二者有较大的区分.[变式训练3]已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，推断数列{an}的单调性．解：方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0，即an＋1>an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n＋12－n＋1,3n2－n)＝eq\f(n＋1,n)·eq\f(3n＋2,3n－1)>1.又an>0，故an＋1>an，即数列{an}是递增数列．(注：这里务必要确定an的符号，否则无法推断an＋1与an的大小)方法三：令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x＝eq\f(1,6)<1，则函数y＝3x2－x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，＋∞))上单调递增，故数列{an}是递增数列．命题视角2：数列的周期性[例4]数列{an}满意a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，求a2016.[分析]此题的递推公式不易干脆得到通项公式，故可由递推公式求出此数列的前几项，再视察其项与项之间的特点．[解]由a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3，a8＝a7－a6＝3－(－3)＝6，….∴数列{an}是以6为周期的数列，∴a2016＝a6×336＝a6＝－3.1若一个数列{an}中的项满意对随意n∈N*，an＋T＝an都成立其中T∈N*，则称数列{an}为周期数列，T为{an}的一个周期.2要推断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要方法是通过递推公式求出数列的前几项视察得到或由递推公式发觉规律.[变式训练4]在数列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，n∈N*)，则a2007的值为(A)A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：a1＝eq\f(1,2)，a2＝2，a3＝－1，a4＝eq\f(1,2)，a5＝2，a6＝－1，…，归纳得an＋3＝an.∴a2007＝a3×669＝a3＝－1.1．数列{an}满意a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为(C)A．13 B．14C．15 D．16解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各项相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.2．已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是(A)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法推断解析：∵an<0，∴an＋1－an＝eq\f(1,2)an－an＝－eq\f(1,2)an>0.∴数列{an}是递增数列．3．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，则a2014＝(B)A．－2B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．3解析：∵a1＝－2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，∴a2＝－eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,2)，a4＝3，a5＝－2.∴该数列是周期数列，周期T＝4.又2014＝503×4＋2，∴a2014＝a2＝－eq\f(1,3).4．已知数列{an}对随意的p，q∈N*满意ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，则a10＝－30.解析：令p＝q＝2，则a4＝2a2再令p＝4＝q，则a8＝2a4再令p＝8，q＝2，则a10＝a8＋a2＝－30.5．在数列{an}中，a1＝a，以后各项由递推公式an＋1＝eq\f(2an,1＋an)给出，写出这个数列的前4项，并由此写出一个通项公式．解：由递推公式得a2＝eq\f(2a1,1＋a1)＝eq\f(2a,1＋a)，a3＝eq\f(2a2,1＋a2)＝eq\f(4a,1＋a)·eq\f(1＋a,1＋3a)＝eq\f(4a,1＋3a)，a4＝eq\f(2a3,1＋a3)＝eq\f(8a,1＋3a)·eq\f(1＋3a,1＋7a)＝eq\f(8a,1＋7a).视察各项特点，分子为2n－1a则分母为1＋(2n－1－1)a，所以通项公式为an＝eq\f(2n－1a,1＋2n－1－1a).——本课须驾驭的三大问题1．递推公式与通项公式的对比不同点相同点通项公式可依据某项的序号，干脆用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可依据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项2.已知数