河南省郑州市高二上学期11月期中联考数学试卷（含答案解析）

高二数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第2节（约占30%）；选择性必修第一册第二章第3节～第三章第2节（约占70%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用直线倾斜角概念即可.【详解】直线垂直于轴，所以其倾斜角为.故选：B.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程是，即.故选：A.3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可.【详解】当直线过原点时，其方程是，符合题意;当直线不过原点时，设直线方程为，代入，可得：，解得：，所以方程是.故选：C.4.“”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可.【详解】方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”充分不必要条件.故选：A.5.已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（）A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断.【详解】由是方程的两个不等实数根，得，则，所以点与圆外.故选：C6.已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】出及的图像，结合图像即可求解.【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时，由，得，所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时，根据图象，的取值范围为.故选：A.7.已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设是椭圆的左焦点，是的右焦点，由得到，再结合余弦定理，二倍角公式即可求解.【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为2c，连接，则，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故选：D.8.已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】有直线过圆心时，最大，构造不等式，即可求解.【详解】结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，AB最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且上的动点到的距离的最大值是8，则（）A. B.的离心率为C.弦的长可能等于 D.的周长为16【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再逐项计算判断.【详解】依题意，椭圆：的半焦距，而，则，对于A，，A正确；对于B，的离心率，B正确；对于C，椭圆的最长弦大小为，而，则弦的长不可能等于，C错误；对于D，的周长，D错误.故选：AB10.平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（）A.B.C.四边形的面积为D.若，则点在平面内【答案】ACD【解析】【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D.【详解】因为，所以，，故A正确;因为，故B错误；因为，所以，四边形为矩形，其面积，故C正确；因为，由于，所以四点共面，即在平面内，故D正确.故选：ACD.11.关于曲线，下列说法正确的是（）A.曲线关于直线对称B.曲线围成的区域面积小于2C.曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是D.曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D.【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确；对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，，则，所以在的下方，所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确；对于C，因为，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确;对于D，因为，所以，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误.故选:ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量是实数，则的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】计算出，得到，故当时，取最小值3.【详解】因为，所以，所以当时，取最小值，且最小值为3.故答案为：313.设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点，，，要取最大值，点必在双曲线左支上，所以.故答案为：14.设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______.【答案】3【解析】【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解.【详解】设，由题得，即，整理得，又，所以，整理得，由联立得，所以，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点，直线方程为.（1）证明：无论取何值，直线必过第三象限；（2）若点A，B到直线的距离相等，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）或.【解析】【分析】（1）分离参数得出直线的定点，再根据定点在第三象限即可得证；（2）法一：根据点到直线距离公式转化距离相等求解计算；法二：由距离相等得出直线平行或者过线段中点计算即可.【小问1详解】直线的方程为，即，所以直线过定点，因为位于第三象限，所以无论取何值，直线必过第三象限.【小问2详解】法一：由点到直线的距离公式知：，即，所以或，解得或.法二：若点A、B到直线l的距离相等，则直线或直线l经过线段AB的中点，当时，，解得，线段AB的中点坐标为，即，当直线经过线段AB的中点时，，解得，综上，或.16.设，圆的圆心在轴的正半轴上，且过中的三个点.（1）求圆的方程；（2）若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分析法确认哪三个点，再利用求圆心和半径来写出圆的方程；（2）利用点满足的条件是另一个圆上的点，所以可知两个圆相交，即可求解参数.【小问1详解】若圆经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线上，不符合圆在轴正半轴；根据题意得圆只能过点A，B，D三点，因为，所以的中点为，两点的斜率为，利用互相垂直的两直线斜率之积为，可知两点的中垂线斜率为，所以由点斜率式可得线段AB的垂直平分线的方程为，整理得：又因为，所以的中点为，两点的斜率不存在，所以线段AD的垂直平分线的方程为联立方程组解得所以圆心为，即圆心到点的距离为半径，即半径为2，所以圆的方程为【小问2详解】设存在点，因为，所以有，化简得，所以，且满足这个方程的点可以理解为一个圆上的点，而点又在圆上且有两个点，所以这两个圆应该是相交，此两圆的圆心分别为和，所以圆心距为，而两圆的半径分别为和2，则有，解得.17.在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得.（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求列式计算即得.【小问1详解】由平面平面，平面平面平面，，得平面，而平面，则，由，为的中点，得，又平面，所以平面【小问2详解】过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，得，，则，令，，由四边形是平行四边形，得，，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为，于是，整理得，而，解得，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.18.已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点.（1）求的方程;（2）是上的四个点，与相交于点.①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率;②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.【答案】（1）（2）①；②1，或.【解析】【分析】（1）由，可求，再结合，求得即可求解；（2）①由点坐标求得与方程，联立椭圆方程，求得坐标即可求解；②设由弦长公式及点到线的距离公式，表示出面积，进而可求解.【小问1详解】因为是椭圆上的一点，所以，即，又，又，所以，故的方程为【小问2详解】①若A，B分别为椭圆与x，y轴正半轴的交点，则，则直线的方程是，即，代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，因为，所以，则，即，直线的方程是，即，代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或，因为，所以，则，即，所以.②因为直线AB的斜率为，所以可设直线AB的方程为，代入消去并整理得，设Ax1,，又点到直线AB的距离，所以的面积，等号仅当，即时成立，显然满足，所以面积的最大值是1.此时，直线AB的方程是，即或19.在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.（1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;（2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围;②若直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可.（2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；