2024-2025学年北京市石景山区京源学校高二上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市石景山区京源学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，与点−1,2,1关于平面xOz对称的点为(

)A.−1,−2,1 B.−1,2,1 C.−1,−2,−1 D.1,−2,−12.已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量p=aA.a B.b C.a+2b 3.已知向量a=(1,0,−1)，b=(−1,2,1)，且ka+b与2A.35 B.45 C.654.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若m//α，m//β，则α//β

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D.若m⊥α，n⊥α，则m//n5.“a=32”是“直线x+2ay−1=0和直线a−1x+ay−1=0平行”的A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6.圆x−12+y2=2的圆心到直线A.2 B.2 C.1 D.7.设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，直线l的倾斜角α的取值范围为(

)A.0,π3∪3π4,π B.0,8.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(

)A.25π B.50π C.125π D.都不对9.一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为(

)A.34 B.43 C.210.如图，已知大小为60∘的二面角α−l−β棱上有两点A，B，AC⊂α,AC⊥l，BD⊂β,BD⊥l，若AC=3,BD=3,CD=7，则AB的长度(

)

A.22 B.40 C.210 11.已知A1,0，B0,−1，P是曲线y=1−x2A.2 B.22 C.212.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，P是正方形ABCDA.18 B.14 C.π16二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.已知空间向量a=0,1,−1,b=x,y,2，若a//b，则实数x=14.P，Q分别为直线x+y−1=0与2x+2y+5=0上任意一点，则PQ的最小值为

．15.已知空间三点A1,−1,−1，B−1,−2,2，C2,1,1，则AB在AC上的投影向量

16.若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为

．17.如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为

．

18.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直.点P在正方形ABCD及其内部运动，点Q在矩形ABEF及其内部运动、设AB=2，AF=1，给出下列四个结论：①存在点P，Q，使PQ=3；②存在点P，Q，使CQ//EP；③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个：④若PA⊥PE，则四面体PAQE体积的最大值为1其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)已知三角形三顶点A4,0，B8,10，(1)过A

点且平行于BC

的直线方程；(2)AC边上的高所在的直线方程．20.(本小题12分)已知点A0,1，B2,1，线段AB是圆(1)求圆C的标准方程；(2)判断点M32,2(3)点P是圆C上任意一点，求点P到直线x+y+1=0的最大距离．21.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1(1)求证：平面ABE⊥平面B1(2)求证：C1F//平面(3)求三棱锥C−ABE的体积．22.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点(1)求证：AA(2)求线段AO的长度．23.(本小题12分)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足(1)求证：DE//平面PBC；(2)求二面角F−PC−B的余弦值；(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是33，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．参考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.C

6.B

7.D

8.B

9.B

10.C

11.D

12.A

13.0；−2

14.715.(216.317.1218.①③

19.解：(1)∵kBC=10−68−0=12，

∴直线为y=12(x−4)，

整理得x−2y−4=0；

(2)∵kAC=6−00−4=−320.(1)∵A0,1，B2,1，线段AB为圆∴圆心C为线段AB的中点，圆心坐标为C1,1∴圆C的半径r=AB∴圆C的标准方程为：x−12(2)32−1(3)圆心C1,1到直线x+y+1=0的距离d=∴圆C与直线x+y+1=0相离，∴圆C上任意一点Px,y到直线x−y+1=0的距离的最大值为d+r=

21.1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥又AB⊥BC，BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面而AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1(2)取AB中点G，连接EG,FG，由F为BC的中点，得FG//AC，且FG=12AC且E为A1C1的中点，于是FG//EC1则C1F//EG，又EG⊂平面ABE，C1所以C1F//平面(3)依题意，点E到平面ABC的距离ℎ=AA在▵ABC中，AB⊥BC，AC=2,BC=1，则AB=所以三棱锥C−ABE的体积VC−ABE

22.(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，由得AA则AA1⋅所以AA(2)三棱柱ABC−A1B1C1中，由BC1∩BO=1则AO=|=1所以线段AO的长度为29

23.(1)在四棱锥P−ABCD中，取PB的中点M，连接EM和CM，由E是PA的中点，得EM//AB，且EM=12AB=1则EM//CD且EM=CD，四边形CDEM为平行四边形，于是DE//CM，而CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，所以DE//平面BPC．(2)由AB//DC，AB⊥AD，得AD⊥DC，由PD⊥平面ABCD，AD,DC⊂平面ABCD，得DP⊥DA,DP⊥DC，而∠PAD=45∘以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,2,0),D(0,0,0),P(0,0,1)，设F(1,y,0)，则CF由CF⋅BD=0，得−1−2y+2=0，解得设平面FPC的法向量为n=(x1则n⋅PC=y1设平面BPC的法向量为m=(x2则m⋅PC=y2设二面角F−PC−B的大小为θ，由图形观察得θ为锐角，因此c