2024-2025学年江苏省常州市奔牛、二中、武高高二上学期期中质量调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年常州市奔牛、二中、武高高二上学期期中质量调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+y−1=0的倾斜角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.抛物线y=−4x2的焦点坐标为(

)A.(−1,0) B.1,0 C.0,−116 3.已知点A2,−3，B−3,−2，直线l：mx+y−m−1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是(

)A.m≤−4或m≥34 B.m≤−34或m≥4

C.4.已知M2,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段ABA.4x+y−10=0 B.x+4y−10=0 C.x+4y−8=0 D.4x−y−6=05.已知点P在抛物线M:y2=4x上，过点P作圆C:x−22+y2=1的切线，切点为A，若点P到A.4 B.17 C.6 D.6.若圆x2+y2=1上总存在两点到点a,2−a的距离等于3，则实数A.1−7,0∪2,1+7 B.7.已知曲线C:x2+y22A.曲线C的图象不关于原点对称

B.a=9时，曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.若a=9时，直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为−∞,−1∪1,+∞

D.若a=4时，直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>00，FB<FA≤3FB，则双曲线A.102,+∞ B.2,+∞ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l:2m+1x+1−my−2m−4=0A.直线l过定点2,2

B.原点O到直线l距离的最大值为22

C.若点A−1,0，B1,0到直线l的距离相等，则m=−2

D.若直线10.已知m>0，n<0，Cx,y是曲线y=6x−x2上的任意一点，若x−y+m+x−y+n的值与A.m的取值范围为32−3,+∞ B.m的取值范围为32+3,+∞

C.n的取值范围为11.已知A0,4，B−3,0，C3,0点P满足PB−A.点P的轨迹为双曲线 B.直线x+y=0上存在满足题意的点P

C.满足PA=83的点P共有0个 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l过点1,1且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为

．13.已知直线l:mx+y−12m−32=0与圆O:x2+y14.已知曲线C:x+(1)若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是

．(2)曲线C与椭圆x24+y2=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)已知两直线l1:3x−y−1=0，l2(2)已知曲线C的方程为x28−m−①曲线C是椭圆；②曲线C是双曲线．16.(本小题15分)在平面直角坐标系中，已知圆O:x2+y2=8.点A，B是直线x−y+m=0m>0(1)若▵ABC为正三角形，求直线AB的方程；(2)在(1)的条件下，若直线x−y+n=0上存在点P满足AP⋅BP=0，求实数17.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1经过点(1)求双曲线C的方程．(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，点M−1,0，求证：以AB为直径的圆经过点M18.(本小题17分)已知A(0,3)，B0,5，C1,4，(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)A，B，C，D所在圆记为⊙M，点P是x−y=0上一点，从点P向⊙M作切线PE，PF，切点为E，F．①若cos∠EPF=34，求点P坐标并求此时切线PE②求证：经过E，P，M三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标．19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A、B(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，且PQ①设▵PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求②求证：k1k2为定值，并求出该定值．

参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.x−y=0或x+y−2=0

13.314.2；1<m<2或m=

15.解：(1)联立3x−y−1=0x+2y−5=0，得x=1y=2，即两条直线的交点坐标为设与直线3x+4y−5=0平行的直线方程为3x+4y+C=0C≠−5将1,2代入得3+8+C=0，即C=−11，所以所求直线方程为3x+4y−11=0；(2)①曲线C的方程为x2∴x28−m∴8−m>0m−4>08−m≠m−4，解得4<m<8故实数m的取值范围为4,6∪②∵曲线C是双曲线，∴8−m4−m>0，解得m<4故实数m的取值范围为−∞,4∪

16.解：(1)圆O的半径为22，若▵ABC是正三角形，则O到AB的距离为∴m2又因为m>0，所以m=2，∴直线AB的方程为x−y+2=0；(2)设Ax1,y1，B联立方程得x2+y则x1+x则AB=则xD=−1，代入x−y+2=0得则圆心D−1,1，半径r=因为AP⋅BP=0，所以点P又因为点P直线x−y+n=0上，则直线x−y+n=0与圆D有交点，则圆心D到直线x−y+n=0的距离d≤r，即−1−1+n解得2−2

17.解：(1)由已知4a2所以双曲线方程为x2(2)由(1)得c=a2若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，22−y23=1，y=±3，此时A(2,3),B(2,−3)，F2是AB若直线l的斜率存在，设其方程为y=k(x−2)，设A(x由y=k(x−2)x2−Δ=16k4+4(3−所以x1+xMA⋅=(1+=(1+所以MA⊥MB，所以以AB为直径的圆经过点综上，以AB为直径的圆经过点M．

18.解：(1)因为A(0,3)，B0,5，C1,4，易知点M(0,4)到A,B,C,D四个点的距离相等，均为1，所以A,B,C,D四点都在圆x2即A,B,C,D四点共圆；(2)①cos∠EPF=3所以cos∠EPF=1−2sin2∠EPM=3ME⊥PE，sin∠EPM=MEMP，即设P(a,a)，则MP=a所以P(2,2)，显然切线斜率存在，设切线方程为y−2=k(x−2)，即kx−y−2k+2=0，则−4−2k+2k2所以切线方程为y−2=−4±即(4−7)x+3y−14+2

②因为∠MEP=∠MFP=π2，所以M,E,P,F四点共圆，设P(a,a)，则圆心为MP的中点(a2,所以圆方程为(x−a化为一般式方程为x2整理为关于a的方程为：x2由x2+y2−4y=0x+y−4=0，得x=4y=2所以经过E，P，M三点的圆必经过定点，定点坐标为(2,4)和(4,2)．

19.解：(1)当点P为椭圆C短轴顶点时，▵PAB的面积取最大值，且最大值为12由题意可得ca=所以，