2024-2025学年浙江省杭州市四校高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市四校高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“至少有一个实数x，使得x3+1=0”的否定是(

)A.∃x∈R，x3+1=0 B.∀x∈R，x3+1=0

C.∃x∈R，x32.命题“∀x>−1，使得x2≤1”的否定是(

)A.“∀x<−1，使得x2≤1” B.“∀x<−1，使得x2≥1”

C.“∃x>−1，使得x2>1” 3.关于x的不等式2x−3x−1<0的解集为(

)A.−∞,32 B.1,32

C.4.如图，把直截面半径为25cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，则把y表示为x的函数的解析式为(

)

A.y=x⋅2500−x2 B.y=x⋅2500−x2，0<x<505.已知a=0.10.2，b=0.20.1，c=A.a<b<c B.c<a<b C.

b<a<c D.c<b<a6.已知x+2y=1，则3x+9yA.23 B.3 C.47.若函数fx=1−2bx−2b+5,0<x<1x2+2−bx,x≥1A.12,4 B.4,+∞ C.1,4 8.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0,1)为减函数，在[1,+∞)为增函数，且f(2)=0，则不等式(x+1)f(x)≥0的解集为(

)A.(−∞, −2]∪[0, 1]∪[2, +∞) B.(−∞, −1]∪[0, 1]∪[2,+∞)

C.(−∞, −2]∪[−1, 0]∪[1, +∞) D.(−∞, −2]∪[−1, 0]∪[2, +∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的有(

)A.y=x2 B.y=−1x

C.10.已知函数f(x)的定义域为R，满足： ①对于任意的x，y∈R，都有f(xy)=f(x)f(y)， ②存在x1，x2∈R，使得f(A.f(0)=0 B.f(2)=2

C.当f(−1)=−1时，f(x)为奇函数 D.当f(−1)=1时，f(x)为偶函数11.设A(0,0)，B(4,0)，C(t+4,4)，D(t,4)(t∈R)，记M(t)为平行四边形ABCD内部(不包含边界)的“格点”的个数(格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点)，则函数M(t)可能的值为(

)A.12 B.11 C.10 D.9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若f(x)=3x,x≤01x,x>0，则13.一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.现有某酒店计划对一房间进行改造升级，已知该房间原地板面积为60平方米，窗户面积为20平方米.若同时增加窗户与地板的面积，且地板增加的面积恰好是窗户增加的面积的k倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，则实数k的最大取值为

．14.已知右焦点为F的椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)函数y=−x2+x+6的定义域为集合A(1)求A∩B，(∁(2)若B∪C=B，求实数m的取值范围．16.(本小题15分)已知集合A=x∣lo(1)当m=0时，求A∪B,∁(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．17.(本小题15分)已知函数f(x)=x+ax，且(1)求a；(2)根据定义证明函数f(x)在区间1,+∞上单调递增；(3)在区间1,+∞上，若函数f(x)满足f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．18.(本小题17分)如图，DA和CB都垂直于平面ABE，F是DA上一点，且CB=4,AF=2，▵ABE为等腰直角三角形，且O是斜边AB的中点，CE与平面ABE所成的角为45(1)证明：FO⊥平面OCE；(2)求二面角F−EC−O的平面角的正切值；(3)若点P是平面ADE内一点，且OC⊥OP，设点P到平面ABE的距离为d1,PA=d219.(本小题17分)设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2.取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：①y=[x]的定义域为R，值域为Z；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=[x]+{x}(0⩽{x}<1)，其中x为x的整数部分，{x}=x−[x]为x的小数部分．(1)若x∈[1,4)，求关于x的方程[x]−3{x}=1(2)求关于x的不等式[x]−2{x}<7(3)若对于任意的x∈[1,3)，不等式4x2−2a{x}+4−a⩾0恒成立，求a参考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.A

7.C

8.D

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.9

13.3

14.515.解：(1)由−x2+x+6≥0，得x2−x−6≤0∁RA=(−∞,−2)∪(3,+∞)，由x2−6x+5≤0，得所以A∩B=[1,3]，(∁(2)由B∪C=B，得C⊆B，而C≠⌀，则m−2≥1m+1≤5，解得3≤m≤4所以实数m的取值范围是3≤m≤4．

16.解：(1)由题意知：0<x+2≤27，解得：−2<x≤25，即A=x∣−2<x≤25当m=0时，B={x∣−4<x<2}，所以A∪B=x∣−4<x≤25(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，当B=⌀时，2m−4≥m+2,m≥6；当B≠⌀时，m<6且2m−4≥−2m+2≤25，解得：1≤m<6综上所述：m≥1．

17.解：(1)∵f(1)=2，

∴2=1+a，

∴a=1．(2)由于f(x)=x+1证明：∀x1, 则f(=x∵x1∴x∴f(x1)−f(故f(x)在(1,+∞)上单调递增．(3)∵f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以fa+2∴∴1<a<3

18.解：(1)∵CB⊥平面ABE，∴CE与平面ABE所成的角为∠CEB，∠CEB=45∵CB=4，∴EB=4，∴在等腰Rt△ABE中，AE=4,AO=OB=2又∵CB=4，AF=2，∴AOAF=CBOB∴∠AOF+∠BOC=∠AOF+∠AFO=π2，即∠FOC=π∵CB⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，∴CB⊥OE，∵EO⊥AB，AB∩CB=B，AB⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵FO⊂平面ABCD，∴EO⊥FO，∵EO∩OC=O，∴FO⊥平面OCE．(2)过点F作FH⊥CE，连接OH，如图所示，∵FO⊥平面OCE，CE⊂平面OCE，∴FO⊥CE，又∵FH⊥CE，FH∩FO=F，∴CE⊥平面OFH，∵OH⊂平面OFH，∴OH⊥CE，根据二面角的定义可知，∠OHF为二面角F−EC−O的平面角，在Rt▵OAF中，AF=2，AO=22，∵OE⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，∴OE⊥OC，在Rt▵EOC中，OC=26，∴OH=OE⋅OC∴tan(3)由(1)知，FO⊥OC，又OC⊥OP，FO∩OP=O，∴OC⊥平面OPF，同理OC⊥平面OPE，∴平面OPE与平面OPF重合，即点P∈平面OEF，而P∈平面ADE，∴P∈平面OEF∩平面ADE=EF，∵DA⊥平面ABE，∴点P到平面ABE的距离转化为点P到AE的距离，在平面ADE内作点A关于直线EF对称点A′，作PH⊥AE于H，当A′，P，H三点共线时，d1+d在Rt▵AEF中，AA′=2AE×AFEF=∴A′H=A′A⋅sin∴d1+d2

19.解：(1) ①x∈[1,2)，此时[x]=1，{x}= x−1，

则方程可化为1−3(x−1)=12，解得x=76∈[1,2)，符合题意；

 ②x∈[2,3)，此时[x]=2，{x}=x−2，

则方程可化为2−3(x−2)=12，解得x=52∈[2,3)，符合题意；

 ③x∈[3,4)，此时[x]=3，{x}=x−3，

则方程可化为3−3(x−3)=12，解得x=236∈[3,4)，符合题意，

综上所述，关于x的方程[x]−3{x}=12的解为x=76或x=52或x=236；

(2) ①x∈(−∞,4)，此时[x]≤3，−{x}≤0，

∴[x]−2{x}≤3<72，此时不等式恒成立；

 ②x∈[4,5)，此时[x]=4，{x}=x−4，

则不等式可化为4−2(x−4)<72，解得x∈(174,+∞)，

又∵x∈[4,5)，∴x∈(174,5)，

 ③x∈[5,6)，此时[x]=5，{x}=x−5，

则不等式可化为5−2(x−5)<72，解得x∈(234,+∞)，

又∵x∈[5,6)，∴x∈(234,6);

 ④x∈(6