2024-2025学年河北省十县联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省十县联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一组数据为−1，1，4，4，2，6，则该组数据的第50百分位数是(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知双曲线经过点A(22,A.x24−y23=1 B.x23.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn、TA.2 B.1011 C.917 4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，过AA.2π B.8π3 C.3π D.5.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有(

)A.16种 B.32种 C.64种 D.96种6.“a=2”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：(a−1)2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知α,β∈(0,π2)，且满足tanαtan(β−π4A.2 B.3 C.338.已知椭圆C：x29+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两点，△AF1F2，△BA.410+129 B.52二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.|z|=5 B.z−=2−i

C.z10.已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω∈N∗)在(0,π)上仅有两个零点，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数A.是偶函数 B.图象关于点(π2,0)对称

C.在[π4,3π11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，对任意的x、y∈R，恒有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=1 B.f′(x)是偶函数

C.f(x)+f(0)≥0 D.若f(1)=12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x∈R|ax2−3x+2=0,a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______．13.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=2，OC=4.若AB⋅AD=−5，则BC14.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为2，且满足tanAtanC=2b−cc，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex−x+12ax2．

(1)当a=1时，判断f(x)的单调性；

(2)若16.(本小题15分)

随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育、医疗、金融、出行、物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类(每类题有若干道)，各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分．项目

题型每小题分值每小题答对概率甲类题102乙类题201丙类题301其竞赛规则为：

第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛．

第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛．

第三轮，在乙类试题中选择一道作答．

(1)求小李答题次数恰好为2次的概率；

(2)求小李最终得分的数学期望．17.(本小题15分)

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，四边形CDEF为菱形且∠FCD=60°，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，点G为线段BE的中点．

(1)求证：AG//平面CDEF；

(2)若AD=1，CD=2，求二面角E−DG−F的正弦值．18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)，F为其焦点，点G(1,y0)在C上，且三角形OFG的面积S△OFG=1，(O为坐标原点))．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点F且斜率为1的直线l与C相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.求证：A、M19.(本小题17分)

若正整数N=a1+a2+…+an(ak∈N∗,k=1,2,…,n)，则称a1×a2×…×an为N的一个“分解积”．

(1)当N分别等于5、6、参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.ACD

10.BC

11.CD

12.a=0或a≥913.7

14.315.解：(1)易知f(x)的定义域为R，

可得f′(x)=ex−1+x，

因为函数y=ex，y=x−1在R上单调递增，

所以函数f′(x)在R上单调递增，

又f′(0)=e0−1=0，

当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，

所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)；

(2)易知f′(x)=ex+ax−1，

所以f′(0)=e0+a⋅0−1=0，

因为f′(x)=ex+ax−1在R上单调递增．

令g(x)=ex+ax−1，

可得g′(x)=ex+a，函数定义域为R，

此时16.解：(1)第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；

若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛．

第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛．

第三轮，在乙类试题中选择一道作答．

记事件A=“小李先答对甲类一道试题”，

B=“小李继续答对另一道甲类试题”，

C=“小李答对乙类试题”，D=“小李答对丙类试题”，

则P(A)=P(B)=23,P(C)=13,P(D)=12．

记事件E=“小李答题次数恰好为2次”，

则E=(AD−)∪(A−B−)．

由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式得：

P(E)=P(AD−)+P(A−B−)=P(A)P(D−)+P(A−)P(B−)=23×12+13×1317.解：证明：(1)因为四边形CDEF为菱形，所以H是CE中点，

连接GH，如下图所示：

又G为线段BE的中点，则GH/​/BC，且GH=12BC．

又AD//BC且AD=12BC，所以GH/​/AD，GH=AD，

所以四边形ADHG是平行四边形，所以AG/​/DH．

又AG⊄平面CDEF，DH⊂平面CDEF，

所以AG/​/平面CDEF．

(2)以C为坐标原点，CB、CD所在直线分别为x、y轴，过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则有D(0,2,0),B(2,0,0),E(0,3,3),F(0,1,3),A(1,2,0),H(0,32,32)，

G(1,32,32)，

则DG=(1,−12,32),DE=(0,1,3),DF=(0,−1,3)，

设平面EDG的一个法向量为m=(x1,18.(1)解：已知抛物线C：y2=2px(p>0)，F为其焦点，点G(1,y0)在C上，

则y02=2p，

又三角形OFG的面积S△OFG=1，

则S△OFG=12⋅p2⋅|y0|=1，

所以|y0|=4p，

所以16p2=2p，

解得p=2，

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

(2)证明：已知直线l的方程为x−y−1=0，

联立x−y−1=0y2=4x，

消去y化简并整理得x2−6x+1=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1+x2=6，x1x2=1，

故AB的中点为D(3,2)，

则|AB|=1+12|x1−x2|=2(x1+x2)2−4x1x2=8，

19.解：(1)正整数N=a1+a2+…+an(ak∈N∗,k=1,2,…,n)，则称a1×a2×…×an为N的一个“分解积”，

5=2+3，分解积的最大值为2×3=6；

6=3+3，分解积的最大值为3×3=9；

7=3+2+2=3+4，分解积的最大值为3×4=12．

(2)由(1)可知，ak(k=1,2,⋯,n)中可以有0个2，1个2，2个2．

当ak(k=1,2,⋯,n)有3个或3个以上的2时，

∵2+2+2=3+3，且2×2×2<3×3，∴分解积不是最大的．

∴ak(k∈N∗)中至多有2个2，

∴当正整数N(N≥2)的分解积最大时，ak(k∈N∗)中2的个数为2