2024-2025学年安徽省“卓越县中联盟&皖豫名校联盟”高二（上）期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省“卓越县中联盟&皖豫名校联盟”高二（上）期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，与点A(4,−6,−1)关于Oxy平面对称的点的坐标为(

)A.(−4,−6,−1) B.(−4,6,−1) C.(4,−6,1) D.(4,6,1)2.若直线ax+y+1=0与(a+5)x+2y=0平行，则a=(

)A.5 B.4 C.3 D.23.已知△ABC的三个顶点分别为A(4,0)，B(6,−7)，C(4,−3)，则BC边上的中线所在直线的方程是(

)A.x+y=0 B.x+y−4=0 C.5x+y−12=0 D.5x+y−20=04.已知直线l恒过点A(1,0)，圆C:x2+(y−1)2=4，则圆CA.2+3 B.2+2 C.5.已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，棱AB，CD的中点分别是M，N，则AN⋅MC=A.a2 B.12a2 C.6.已知直线l过点B(−1,2,0)和C(0,3,1)，则点A(1,1,2)到直线l的距离为(

)A.233 B.2 C.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若SA.32 B.22 C.8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为60∘，我们将这种坐标系称为“斜60∘坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60∘坐标系”下向量的斜60∘坐标：已知i，j，k分别为“空间斜60∘坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60∘坐标为[x,y,z]，记作n=[x,y,z].如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，A.−B.−2 C.2D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面α，β的法向量分别是m=(2,−1,2)，n=(2,4,0)，直线l的方向向量为a= (1,4,1)，则A.α⊥β B.l//α

C.{a,m,n}可以作为空间的一个基底 10.已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是A.12 B.22 C.11.已知点A(0,2)，B(0,12)，曲线C1是满足|MA|=2|MB|的点M的轨迹，P，Q分别是曲线C1与圆A.若曲线C1与圆C2有公共点，则4≤r≤6

B.若r=23，则两曲线交点所在直线的方程为3x−4y−7=0

C.若r=3，则|PQ|的取值范围为[1,9]

D.若r=2，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为E，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆C:x2+y213.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C交于A，B两点，则A14.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=3EC，点P是底面ABCD内(包括边界)的动点，且满足四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(3,1,5)，b=(−1,6,−2)(Ⅰ)若a，b，c共面，求λ的值;(Ⅱ)若(ka+b)⊥16.(本小题12分)已知直线l的方程为(m+3)x+(2m−1)y−7m=0(m∈R)．(Ⅰ)证明：直线l过定点．(Ⅱ)当m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大?最大值是多少?17.(本小题12分)已知圆M经过A(1,−2)，B(−2,1)两点，且圆心在直线x+y−2=0上．(Ⅰ)求圆M的方程;(Ⅱ)若P为直线l:4x+y+12=0上的动点，过点P作圆M的切线PE，PF，切点分别为E，F，当|PM|⋅|EF|最小时，求直线EF的方程．18.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为4的等边三角形，CC1=4，∠ACC1=60∘，D(Ⅰ)求证：A1(Ⅱ)在棱B1C1上是否存在点P，使得平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为27719.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为M，左、右焦点分别为F1(Ⅰ)求E的方程．(Ⅱ)设过点T(t,0)的直线l与E有两个不同的交点A，B(均不与点M重合)．(ⅰ)若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值;(ⅱ)在(ⅰ)的条件下，若直线l的斜率存在且线段AB的中点为N，求证：直线l与直线ON(O是坐标原点)的斜率之积为定值．

参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AC

12.213.x214.1015.解：(Ⅰ)∵a=(3,1,5)，b=(−1,6,−2)，

∴a与b不平行，

∵a，b，c共面，

∴存在实数x，y，使得c=xa+yb，即3x−y=5,x+6y=8,5x−2y=λ,

解得x=2,y=1,λ=8,

故实数λ的值为8．

(Ⅱ)∵a=(3,1,5)16.解：(Ⅰ)将直线l的方程整理得(x+2y−7)m+(3x−y)=0，

由x+2y−7=0,3x−y=0,解得x=1,y=3,

所以直线l恒过点(1,3);

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得直线l过定点，设定点为P(1,3)，

当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离d=|PQ|=(1−3)2+(3−4)2=5，

即点Q到直线l的最大距离为5，

此时17.解：(Ⅰ)设圆M的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，

由已知得(1−a)2+(−2−b)2=r2(−2−a)2+(1−b)2=r2a+b−2=0，解得a=1b=1r=3,

所以圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=9．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=9，圆心为M(1,1)，半径r=3．

因为S四边形PEMF=12|PM|⋅|EF|=2S△PEM=|PE|⋅|EM|=3|PE|=318.解：(Ⅰ)连接AC1，如图，

由题知四边形C1CAA1是菱形，则A1C⊥AC1，

又D，E分别为棱AC，CC1的中点，所以DE//AC1，故A1C⊥DE．

因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC．

又平面C1CAA1⊥平面ABC，平面ABC∩平面C1CAA1=AC，BD⊂平面ABC，

所以BD⊥平面C1CAA1，

又A1C⊂平面C1CAA1，故BD⊥A1C.

又BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C⊥平面BDE，

因为BE⊂平面BDE，所以A1C⊥BE．

(Ⅱ)连接C1D，

由AC=CC1=4，∠ACC1=60∘，可知△C1CA为等边三角形，

又D是AC的中点，所以C1D⊥AC，

由(Ⅰ)得BD⊥平面C1CAA1，所以DB，DA，DC1两两互相垂直．

故以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(23,0,0)，C1(0,0,23)，C(0,−2,0)，A1(0,4,23)，B1(23,2,219.解：(Ⅰ)设椭圆E的半焦距为c(c>0)．

由题意得2a=4，a=2．

因为E的离心率e=ca=22，所以c=2，结合