第17讲 圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p在阿基米德三角形中,∠AF⋅抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：①点必在抛物线的准线上；②；③设、，则的面积的最小值为；④；⑤平行于轴.其中正确的个数是（

）A． B． C． D．2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．1．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．2．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点Ax1,y1,Bx2,y2，以A

A．若弦过焦点，则为直角三角形且B．点P的坐标是C．的边所在的直线方程为D．的边上的中线与y轴平行（或重合）考点二、阿基米德三角形之定点、定轨迹问题1．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点2．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.(1)求E的方程；(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.3．（23-24高三上·江西·阶段练习）过点作轴的垂线，垂足为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点的轨迹为曲线.(1)试问为何种圆锥曲线？说明你的理由.(2)圆是以点为圆心，为半径的圆，过点作圆的两条切线，这两条切线分别与相交于点，（异于点）.当变化时，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2023·广东广州·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.(1)求抛物线和圆的方程；(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程：(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．2．（2023·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的焦点分别分别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，(1)求椭圆的方程；(2)过直线上任一点，作椭圆的两条切线，切点为两点，证明：直线过定点.3．（2023·云南昆明·模拟预测）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．考点三、阿基米德三角形之定值问题1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.2．（2023高二下·海南·学业考试）已知椭圆：的离心率为，且经过点．(1)求的方程；(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且.(1)求抛物线C和圆F的方程；(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.1．（2023·安徽黄山·二模）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点．(1)证明：为定值；(2)设直线的斜率为，证明：为定值．3．（2023·河南·一模）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.考点四、阿基米德三角形之面积问题1．（2021高三·全国·竞赛）过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A､B为切点过A､B的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则面积的最小值为.2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线：的焦点为，点是轴下方的一点，过点作的两条切线，且分别交轴于两点.(1)求证：，，，四点共圆；(2)过点作轴的垂线，两直线分别交于两点，求的面积的最小值.3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.1．（21-22高二上·福建龙岩·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古包头·一模）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为8．(1)求抛物线M的方程；(2)若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求面积的最小值．3．（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；(2)若点为轴上一定点，且；（ⅰ）求出点坐标；（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．考点五、阿基米德三角形之切线垂直1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：.1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）若点坐标为，求切线的方程；（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.2．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.(1)求的方程；(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.考点六、阿基米德三角形之角度问题1．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的一条准线的方程为，点分别为椭圆的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．(1)求的标准方程；(2)过上任一点作的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值．2．（2023高三·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.1．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.(1)若，求的方程；(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.考点七、阿基米德三角形之点坐标问题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知抛物线，圆是上异于原点的一点.(1)设是上的一点，求的最小值；(2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.1．（2024·云南大理·模拟预测）已知点，点是圆上一动点，动点满足，线段的中垂线与直线交于点.(1)求点的轨迹的标准方程；(2)已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，若四边形的面积，求的最大值，并求出此时点的坐标.2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点.(1)求的方程；(2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；(3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.考点八、阿基米德三角形之参数问题1．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．1．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条倾斜角互补的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，求的值；(3)设，求的值.1．（2023高三·全国·专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为．2．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（

）A． B． C．1 D．23．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．(1)求C的方程；(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.6．（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）已知抛物线的焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点.(1)若，求直线的方程；(2)求四边形面积的最小值.7．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点.点是右准线上的一个动点（异于点），过点作椭圆的两条切线，切点分别为.已知.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.8．（2022高三·全国·专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．(1)求椭圆的方程；(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,①证明：；②求面积的最大值．9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的最小距离为1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．10．（23-24高二下·上海·阶段练习）设抛物线的焦点为F,Q为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．(1)求抛物线的方程；(2)若点的坐标为，求值；(3)设直线与轴分别交于点，求的取值范围．11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．(1)求椭圆的方程；(2)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．12．（23-24高三上·河南·开学考试）已知抛物线的焦点为，以为圆心作半径为1的圆，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．(1)求的方程；(2)设为坐标原点，为上一点，过作圆的两条切线，分别交于另外两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，求面积的最小值．13．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.14．（2024·广东广州·二模）已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．(1)若，求直线的方程；(2)若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；(3)证明：．15．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为.(1)求椭圆的方程；(2)求所在直线的方程；(3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值.16．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.(1)求抛物线的方程；(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.17．（22-23高三下·山西晋城·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，.(1)求抛物线的方程；(2)过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围.18．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．(1)证明：直线经过定点；(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．19．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.(1)求圆和抛物线的方程；(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．20．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．(1)求证：的中点在上；(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．21．（2024高三·全国·专题练习）左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．(1)求椭圆的方程；(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是