第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第10题,6分圆中切线问题切线长根据抛物线方程求焦点或准线直线与抛物线交点相关问题2023年新I卷，第6题,5分圆中切线问题给值求值型问题余弦定理解三角形2022年新I卷，第14题,5分圆的公切线方程判断圆与圆的位置关系2021年新I卷，第11题,5分切线长直线与圆的位置关系求距离的最值2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解2.熟练掌握圆系方程的快速求解【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习知识讲解一、圆中切线问题已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;已知圆方程为圆:.(1)过圆上的点的切线方程为.(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.4.过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度一般方程(标准方程)二、常见的圆系方程1、同心圆圆系(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;(2)与圆同心圆的圆系方程为:;2、过线圆交点的圆系过直线与圆交点的圆系方程为:;3、过两圆交点的圆系过两圆交点的圆系方程为,此圆系不含)(1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:考点一、过圆上一点的切线问题1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为.2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．考点二、过圆外一点的切线问题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（

）A．B．C．或D．或3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．考点三、切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为.考点四、切线长1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．21．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（

）A．3 B． C． D．2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．3考点五、圆中的公切线问题（含根轴）1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（

）A． B．或C． D．或2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（

）A． B． C． D．1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为．2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是．考点六、圆系方程1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为.2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为．1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（

）A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，）B．直线的方程为C．线段的长为D．两圆有两条公切线与一、单选题1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（）A． B．C． D．2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（

）A． B．C． D．二、填空题3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为．4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则．5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为．7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：.8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为.三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程．一、单选题1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（

）A．2 B． C．2 D．5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．1二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（

）A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1C．的最小值为 D．直线AB恒过定点7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（

）A．直线与圆相离B．圆上有2个点到直线的距离等于1C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点三、填空题8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程