高等数学（第五版）课件 第三章 导数与微分

第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

导数思想最早由法国数学家

Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:英国数学家

Newton德国数学家

Leibniz微分学导数

描述函数变化快慢微分

描述函数变化程度导数的概念速度切线导数的概念

本节由实例给出了一元函数的导数和高阶导数的概念，由此归纳出了求函数导数的一般法则，介绍了导数的几何意义，并给出了可导和连续的关系.两个实例

两个实例：

微分学的第一个最基本的概念——导数，来源于实际中两个最典型的朴素概念：速度与切线.两个实例

两个实例

引例3.1：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为图3.1于是，比值两个实例

引例3.1：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.图3.1

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为引例3.2：

平面曲线的切线斜率

设

为曲线

上的一点，当自变量

在点

处取得增量

时，在曲线

相应地得到另一点连接此两点得割线

，设其与

轴的夹角为

，则割线的斜率为.两个实例

两个实例

图3.1引例31：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为于是，比值两个实例

设

为曲线

上的一点，当自变量

在点

处取得增量

时，在曲线

相应地得到另一点连接此两点得割线

，设其与

轴的夹角为

，则割线

的斜率为.两个实例

引例3.2：

平面曲线的切线斜率思路分析思路分析（1）求函数增量

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（2）求比值

x

x

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（3）求极限1.函数

在点

处的导数

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)导数的定义

定义3.1：

设函数

在点

的某个邻域内有定义，导数的定义

定义3.1设函数

在点

的某个邻域内有定义，即：记为：若极限存在，则称此极限值为函数

在点

处的导数，并称函数

在点

处可导.1.函数

在点

处的导数如果极限不存在，则称函数

在点

不可导.若令

，则有

，当

时

，可得等价表达式导数的定义左右导数

既然极限问题有左极限、右极限之分，而函数

在点

的导数是用一个极限式定义的，自然就有左导数和右导数的问题.导数的概念定义3.2

若

和

分别记为函数

在点

处的左导数和右导数，则可定义如下：导数的概念定理3.1根据左、右极限的性质，有下面定理：

函数

在点

的左、右导数存在且相等的充要条件是函数

在点

可导.导数的概念若函数

在

内的每一点处都可导，则称函数

在内可导，其导数值是随

的变化而变化的函数，称为导函数，简称导数，记为

，

或显然，函数

在点

处的导数

等于

在点

处的函数值，即：

根据左、右极限的性质，有下面定理：导数的概念引例3.3:【变速直线运动的瞬时加速度】

我们知道，变速直线运动的速度

是距离

对时间

的导数，即

或

，而速度

也是时间

的函数，它对时间的导数则是物体在时刻

的瞬时加速度，即

这种导数的导数

或

叫做

对

的二阶导数，记作

或

.导数的概念定义3.3

如果函数

的导数

在点

处可导，则称

在点

处的导数为函数

在点

处的二阶导数，记为

或.类似地，如果二阶导数

的导数仍然存在，就将二阶导数的导数称为的三阶导数，记为

或.一般地，如果

阶导数的导数存在，就称

阶导数的导数为函数

的

阶导数，记为或高阶导数

（2）算比值：（3）取极限：求

的导数．例3.1（1）求增量：

解：习题讲解即：类似地，有（2）算比值：（3）取极限：设

求例3.2（1）求增量：

解：习题讲解由

知

求函数在某点的导数，一般是先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，所以，

即可.

一般地，对于幂函数

（

为任意实数），有：

求已知函数

的导数

的运算，称为求导运算.由导数定义，只要计算极限导数的概念（1）

（

为常数）;（2）

（

为任意实数）；（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）基本导数公式（9）

（10）

（11）

（12）（13）

（14）（15）

（16）基本导数公式导数的定义例3.3解:先求一阶导数求函数

的二阶导数.再求函数的二阶导数思考与练习设

求

.导数的几何意义

由引例3.2可知，函数

在点

处的导数

的几何意义是曲线

在点

处切线的斜率，即若

存在不为零，曲线

在点

处的切线方程为

法线方程为若

则曲线

在点

处的切线平行于

轴，切线方程为

法线方程为若

则曲线

在点

处的切线垂直于

轴，切线方程为

法线方程为导数的几何意义

例3.4求抛物线

在点

处的切线方程和法线方程.

解：因为

由导数的几何意义知，曲线

在点处的切线斜率为

因此，所求的切线方程为即

法线方程为

即习题讲解例3.5问：曲线

上在哪一点的切线平行于直线

解:因为

且所求切线与直线

平行，得

即

解得

即曲线

在

处的切线平行于直线习题讲解求曲线

在点

处的切线方程和法线方程.思考与讨论定理3.2可导与连续

如果函数

在点

处可导，则它在点

处一定连续.证：由

在点

处可导，即

而

所以故函数

在点

处连续.

注：（1）函数

在

处连续，但在点

处不一定可导;（2）若

在

处不连续，则一定在点

处不可导.即

所以

在

处不可导.讨论函数

在

处的连续性与可导性.例3.6解：函数

在

的左、右导数分别为可导与连续

讨论函数

在

处的连续性与可导性.例3.

7解：（1）连续性：因为

由函数在一点连续的定义知，

在

处连续.（2）可导性：因为

极限不存在，所以

在

处不可导.可导与连续

思考与讨论讨论：

函数

在

和

处的连续性与可导性.升学直通车

1.，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）2.设函数

在

处的切线平行于

，则

的坐标为（

）（A）（1，0）

（B）（e，0）

（C）（e,1）

（D）(e,e)3.下列关于函数

在点

处的命题不正确的是（

）（A）可导必连续

（B）可微必可导

（C）可导必可微

（D）连续必可导2.求导数最基本的方法:由定义求导数;6.导数的几何意义应用：求切线方程和法线方程.导数小结4.函数可导与连续的关系：可导一定连续，但连续不一定可导;5.导数的几何意义：切线的斜率;1.导数的定义:3.函数

在

处可导判定：f

(

x0)

a

f

(

x0)

f

(

x0

)

a;y

f

(

x)x

x0THANKS！第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

（1）

（

为常数）;（2）

（

为任意实数）；（3）（5）（7）基本导数公式（4）（6）（8）（9）

（10）

（11）（13）（15）

基本导数公式（12）（14）（16）函数和、差、积、商的求导法则

定理

设函数

与

在点

处可导，则（1）函数

在点

处可导，且

（3）若

函数

在点

处可导，且

特别地，当

时，

有

（2）函数

在点

处可导，且

特别地，对任意常数

有;习题讲解

例3.9例3.8

求求

的导数.例3.10习题讲解

已知函数

求

解：一般地，

已知

求例3.11习题讲解

引例3.4

求函数

的导数.解：因为从本例中可以发现：

这是因为函数

是由

和

复合而成的复合函数.复合函数的求导法则

所以

对于复合函数的求导法则，有下面定理：定理3.4复合函数的求导法则

如果函数

在

处可导，而函数

在对应的

处可导，

上式说明求复合函数

对

的导数时，可先求出

对的导数和

对

的导数，然后相乘即可.或那么复合函数

也在

处可导，且有显然，以上法则也可以用于多次复合的情形。例如，设

都可导，则

该法则称为复合函数的链式法则.因此在计算复合函数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，即它是由哪几个基本初等函数复合而成的，然后再求导。或复合函数的求导法则例3.12(1)求函数

的导数所以

函数

是由

两个函数复合而成的，而

解：习题讲解

(2)(3)(4)习题讲解

求函数

的导数例3.13解：同理：习题讲解

已知

求

例3.14习题讲解

解：

前面所遇到的函数都是

的形式，即因变量

可由含有自变量

的数学式子直接表示出来的函数，这类函数叫做显函数，例如，等.

但是有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程

都各表示一个函数，因为当自变量

在

内取值时，变量

有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.

隐函数的求导法则一般地，如果变量

之间的函数关系是由某一个方程

所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.隐函数的求导法则隐函数的求导法则

求隐函数的导数并不需要先化为显函数，可以利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对

求导，并注意到其中变量

是

的函数，就可以直接求出隐函数的导数.一般地，如果变量

之间的函数关系是由某一个方程

所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.例3.15求由方程

所确定的隐函数的导数

由上式解出

，便得隐函数的导数为习题讲解

解

把方程

的两端同时对求导，得

例3.16求曲线

在点

处的切线方程习题讲解

根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的方法，它适用于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.

这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.

隐函数的求导法则

解

先对等式两边取绝对值，再取对数，得

习题讲解

例3.17设

求

方程两边对

求导，得所以例3.18求

的导数.方程两边对

求导，得所以

解

对于

两边取对数，得习题讲解

确定，则这种函数关系叫做参数式函数.对参数式函数求导可利用公式若变量

之间的关系由参数方程（其中

为参数）所或求得.参数式函数的求导法则习题讲解

例3.

19求曲线

上

对应点处的切线方程.

解

设

为曲线

上

对应点的切线斜率，则又因为

时，有于是，所求切线方程为

即升学直通车

1.（

）（A）

（B）

（C）

（D）2.已知

，求

及升学直通车

3.函数是由方程所确定的隐函数，（

）（A）

（B）

（C）

（D）4.设函数

由参数方程

所确定，则

（

）（A）0（B）1（C）-1（D）-2THANKS！第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

微分的概念

引例3.5

一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由

变到

，如图所示，问此薄片的面积改变了多少？

分析

设此薄片的边长为

，面积为

，则

，

薄片受到温度变化的影响，面积的增量是自变量在处取得增量

时，函数

相应的增量，即从上式看出，

分成两部分：一部分是

，它是

的线性函数，即图中两个小矩形的面积之和；另一部分是

的高阶无穷小量.从而当时，可以用第一部分

作为

的近似值，即

.

这种做法实际上包含了一个重要思想——线性化，这是因为线性函数是最简单的函数，同时我们还注意到第一部分中

的系数恰好是面积在点

处的导数值，

，数学上，把

的第一部分：

的线性函数

称为面积

的微分，记为

，即微分的概念

定义3.4

由上述定义可知

，即

，

称为自变量的微分，即自变量

的微分

等于自变量

的增量

，于是

在点

的微分

可写成微分的概念

设函数

在点

可导，则称

为函数

在点

的微分，记为

或者

，即

或例3.20设

，求函数的增量与微分.解：

而

，即有

，则比较

与

知，较小.习题讲解

解

体积的增量为显然有例3.21半径为

的球，其体积为

，当半径增大

时，求体积的增量与微分.习题讲解

微分的运算法则

1.基本微分公式

由关系式

可知，只要知道函数的导数，就能立刻写出它的微分.因此，由基本导数公式容易得出相应的基本微分公式.

（1）

（

为常数）;（2）

（3）（5）（7）基本微分公式

（4）（6）（8）（9）

（10）

（11）（13）（15）基本微分公式

（12）（14）（16）2.微分四则运算法则：（1）（2）（

为常数）；（3）微分的运算法则

3.一阶微分形式不变性:

设函数

，当

是自变量时，函数

的微分为.当

不是自变量，而是

的可导函数.由复合函数的求导法则得即

是中间变量，则构成复合函数.微分的运算法则微分的运算法则

3.一阶微分形式不变性：可见，无论

是自变量还是中间变量，

的微分形式总可以写为这一性质称为一阶微分形式的不变性.所以解：

例3.22设

，求

习题讲解求函数

的微分.

例3.23

解法一：利用微分的定义，解法二：利用一阶微分形式的不变性，有所以习题讲解

解

由微分的四则运算法则及微分形式不变性，求方程

的微分

例3.24即将

代入得即习题讲解微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式.如果直接用这些公式进行计算，那是很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替.

我们先来看函数增量和函数微分的定义.微分在近似计算中的应用

由函数微分的定义：

（3.1）

当

很小时，我们有

（