2024秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-第三章3.13.1.33.1.请同学们仔细完成练案[21]A级基础巩固一、选择题1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(C)A．i＋j＋k B．eq\f(1,3)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,5)kC．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k[解析]eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k.2．设a、b、c是随意的非零平面对量，且它们相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正确的是(D)A．①② B．②③C．③④ D．②④[解析]依据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．3．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件[解析]a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.4．(2024－2024学年北京市房山区期末检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(C1A1,\s\up6(→))的夹角是(B)A．150° B．135°C．45° D．30°[解析]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1∵AB∥A1B1，AC∥A1C1∴∠C1A1B1的补角即为向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(C1A1,\s\up6(→))的夹角．∵△C1A1B1∴∠C1A1B1∴向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(C1A1,\s\up6(→))的夹角为180°－45°＝135°，故选B．5．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(B)A．30° B．45°C．60° D．135°[解析]∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1·eq\r(2)·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2).∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.6．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(C)A．eq\r(7) B．eq\r(10)C．eq\r(13) D．4[解析]|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝eq\r(13).二、填空题7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x、y、z使得xa＋yb＋zc＝0，则x、y、z满意的条件是__x＝y＝z＝0__.[解析]若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底知a、b、c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝__a2__.[解析]eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝|eq\o(A1B,\s\up6(→))|·|eq\o(A1D,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\r(2)a×eq\r(2)a×cos60°＝a2.三、解答题9．如图，设四面体OABC的三条棱eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，G为△ACB的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→)).[解析]由G为△ACB的重心易知E为AC的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)[(a－b)＋(c－b)]＝eq\f(1,2)(a＋c－2b)，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,3)(a＋c－2b)＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求eq\o(A1C1,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))所成角的余弦值．[解析]设正方体的棱长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.∵eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1E,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)a，∴eq\o(A1C1,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(a＋b)·(c＋eq\f(1,2)a)＝a·c＋b·c＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·b＝eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,2).又∵|eq\o(A1C1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1C1,\s\up6(→))·\o(DE,\s\up6(→)),|\o(A1C1,\s\up6(→))||\o(DE,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴eq\o(A1C1,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).B级素养提升一、选择题1．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．eq\r(7)[解析]如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋c2＋2(－eq\f(1,2)a·eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)a·c)＝eq\f(1,4)×22＋eq\f(1,4)×22＋22＋2×(－eq\f(1,4))×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝eq\r(5).2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(A)A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.3．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B．eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°D．eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0[解析]依据数量积的定义知：A、B正确，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的夹角为60°，∴C、D不正确，故选AB．4．(多选题)在四面体PABC中，以下说法正确的有(ABC)A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q为△ABC的重心，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1[解析]对于A，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，故B正确；对于C，∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故C正确；对于D，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|，∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))2－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))＋2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\r(22＋22＋22－2×2×2×\f(1,2)－2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故D错误．故选ABC．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为__(eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))__.[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(DB′,\s\up6(→))＝__1__；cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(DB′,\s\up6(→))〉＝__eq\f(1,3)__；eq\o(BD′,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝__1__.[解析]eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2|eq\o(AC′,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(DB′,\s\up6(→))|2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴|eq\o(DB′,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(DB′,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC′,\s\up6(→))·\o(DB′,\s\up6(→)),|\o(AC′,\s\up6(→))|·|\o(DB′,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).eq\o(BD′,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.三、解答题7．如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).[解析]利用图形找寻待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示．如图所示，连接BO，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq