2023-2024学年广东省梅州市高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省梅州市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x≤3}，B={x|x−1≥0}，则A∩(∁RB)=A.(1,3] B.[1,3] C.(−2,1] D.(−2,1)2.sin(−22π3A.−12 B.−32 3.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程s一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是(

)A.B.C.D.4.下列命题中，真命题的是(

)A.∀x∈R，x2+2x≥0 B.∀x∈R，x3>x2

C.∃x5.设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的必要不充分条件的电路图是(

)A. B.

C. D.6.若a=log23，b=log3eA.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b7.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，若方程f(x)=−3在区间[0,β]内恰有两个实数根，则A.[7π12,3π4) B.[8.已知f(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a，b满足f(ab)=af(b)+bf(a)，若f(3)=2，则f(−1)+f(−13)=A.−79 B.79 C.2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数是偶函数的是(

)A.f(x)=3x+3−x B.f(x)=x|x|

10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−2,1)，则下列结论正确的是A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.a−b+c<011.下列关于函数f(x)=ln(x2A.函数f(x)的图像是轴对称图形 B.函数f(x)的图像是中心对称图形

C.函数f(x)的值域为R D.函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)12.设集合A是实数集R的子集，如果a∈R满足：∀ε>0，∃x∈A，使得0<|x−a|<ε，则称a为集合A的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有(

)A.{nn+1|n∈Z,n≥0} B.{1n|n∈Z,n≠0}三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为______．14.已知函数f(x)=3−log2x,x≥14x,x<1，则15.已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,14)，若f(2m+1)<f(3)16.若a>0，b>0，则min{a,ba2+4b2}的最大值是______.(注：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知集合A={x|ax−1=0}，B={x|x2−2x+b=0}．

(1)若A∩B={3}，求实数a，b的值及集合A，B；

(2)若A≠⌀且A∪B=B，求实数a和b18.(本小题12分)

已知sinα=13，且α是第二象限角．

(1)求tanα的值；

(2)求cos219.(本小题12分)

已知二次函数f(x)=x2−ax+1，a∈R．

(1)若a=2，求f(x)在[−1,2]上的值域；

(2)求f(x)在[−1,2]上的最小值20.(本小题12分)

已知函数f(x)=1−22x+1(x∈R)．

(1)判断函数f(x)在R上的奇偶性，并证明之；

(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义法证明；

(3)写出f(x)在R上的值域(21.(本小题12分)

如表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：年份人口数(单位：亿)增长量(单位：亿)增长率19647.05−−19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687.850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027(1)根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率d−=0.027作为恒定增长率，记N(t)为经过时间t年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型(即：人口数与时间之间的关系)；

(2)对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：N(t)=N(0)⋅ert，指出其中N(0)，r的值；

(3)如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数(保留两位小数)，并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面．

(参考数据：ln0.027=−3.612，ln1.027=0.02722.(本小题12分)

已知函数f(x)=x+m2|x|−3(x≠0),m>0．

(1)当m=2时，求f(x)的零点个数，并求出相应的零点；

(2)讨论关于x的方程f(参考答案1.D

2.D

3.B

4.D

5.C

6.A

7.D

8.C

9.AD

10.ABC

11.ACD

12.BC

13.6514.2或1215.{m|m<−2或m>1}

16.1217.解：(1)集合A={x|ax−1=0}，B={x|x2−2x+b=0}，A∩B={3}，

∴3a−1=09−6+b=0，解得a=13，b=−3，

∴A={x|13x−1=0}={3}，

B={x|x2−2x−3=0}={−1,3}．

(2)∵A≠⌀，

∴A={x|ax−1=0}={1a}，

∵A∪B=B，∴A⊆B，18.解：(1)因为sinα=13，且α是第二象限角，

所以cosα=−223，

故19.解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+1，图象开口向上，对称轴为x=1，

所以f(x)在[−1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

又f(−1)=4，f(1)=0，f(2)=1，

所以f(x)在[−1,2]上的值域为[0,4]；

(2)二次函数f(x)=x2−ax+1的对称轴为x=a2，

当a2≤−1，即a≤−2时，f(x)在[−1,2]上单调递增，此时f(x)min=f(−1)=2+a，

当−1<a2<2，即−2<a<4时，f(x)在[−1,a2]单调递减，在[a2,2]20.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：

因为f(x)=1−21+2x=2x−12x+1，

所以f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，

所以f(x)为奇函数；

(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：

任取x1<x2，则2x1−2x2<0，1+221.解：(1)假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率d−=0.027作为恒定增长率，

建立我国的人口增长模型为：N(t)=7.05×(1+0.027)t；

(2)对照马尔萨斯的人口指数增长模型，可得N(0)=7.05，er=1.027，从而r=ln1.027=0.027；

(3)如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数：N(61)=7.05×22.解：(1)当m=2时，f(x)=x+4|x|−3，

当x>0时，f(x)=x+4x−3≥2x⋅4x−3=1，当且仅当x=2时等号成立，

所以函数f(x)无零点；

当x<0时，f(x)=x−4x−3=0，即，x2−3x−4=0，解得x=−1，

所以函数f(x)有1个零点；

综上所述，函数f(x)有1个零点−1．

(2)令t=2x−1，则t>−1且t≠0，

当t>0时，y=t+m2