2024-2025学年新教材高中数学课时作业15第十一章立体几何11.1.6祖暅原理与几何体的体积含解析新人教B版必修第四册

PAGEPAGE1课时作业15祖暅原理与几何体的体积时间：45分钟eq\a\vs4\al(一、选择题每小题5分，共40分)1．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为(B)A．8cmB．80cmC．40cmD.eq\f(16,5)cm解析：设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的体积为(B)A．3π B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\r(3)π D.eq\f(\r(3),2)π解析：设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝eq\f(\r(3),2)×2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)×2R×eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V圆锥＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3.圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为(A)A.eq\f(7\r(3),3)π B.eq\f(2\r(3),3)πC．2eq\r(3)π D.eq\f(7\r(3),6)π解析：设圆台的上、下底面半径分别为r′、r，则πr′2＝π，πr2＝4π，∴r′＝1，r＝2，设母线长为l，π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，∴高h＝eq\r(22－2－12)＝eq\r(3).∴V圆台＝eq\f(π,3)×(1＋22＋1×2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)π.4．已知正四棱台ABCD­A′B′C′D′中，AB＝3，A′B′＝6，体积V＝126，则该正四棱台的高为(C)A．18 B．9C．6 D．12解析：设正四棱台的高为h，则有eq\f(1,3)(32＋62＋eq\r(32×62))h＝126，解得h＝6，即该正四棱台的高为6，故选C.5．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体体积为(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：每个截去的小三棱锥体积为eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4，则剩余部分的体积为V＝1－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4×8＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).6.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)A.eq\f(9,2)πB.eq\f(7,2)πC.eq\f(5,2)πD.eq\f(3,2)π解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD中，DB＝1，AD＝eq\r(3).∴所求几何体的体积为eq\f(1,3)π·AD2·CD－eq\f(1,3)π·AD2·BD＝eq\f(1,3)π·AD2·BC＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)π.故选D.7．正方体的内切球与其外接球的体积之比为(C)A．1eq\r(3) B．13C．13eq\r(3) D．19解析：设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为eq\f(1,2)，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为eq\f(\r(3),2)，∴正方体的内切球与其外接球的体积之比为eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝13eq\r(3).8．现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(D)A.eq\r(3) B．2C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(9,4)解析：设正三棱柱的底面积为S，则VABC­A1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，∴eq\f(S△AFE,S)＝eq\f(1,4)，即S△AFE＝eq\f(1,4)S，∴S四边形BCFE＝eq\f(3,4)S，∵VBCFE­B1C1F1E1＝eq\f(3,4)S×3＝eq\f(9,4)S，∴题图甲中水面的高度为eq\f(9,4).故选D.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题6分，共18分)9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为312.解析：设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，故V圆柱V圆锥V球＝2πR3eq\f(2,3)πR3eq\f(4,3)πR3＝312.10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为eq\f(\r(2),12)a3.解析：∵BA＝BC＝BD，∴B点在面ACD上的射影为△ACD的外心，即等腰直角△ADC斜边中点O，OD＝eq\f(\r(2),2)a，∴OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴V三棱锥D­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(1,2)a2＝eq\f(\r(2),12)a3.11．一个球内切于底面半径为eq\r(3)，高为3的圆锥内，则内切球半径是1；内切球与该圆锥的体积之比为eq\f(4,9).解析：设球的半径为r，则对圆锥轴截面运用等面积法可得eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)＋2eq\r(3)×2)r，∴r＝1，内切球与该圆锥的体积之比为eq\f(\f(4,3)π×13,\f(1,3)π×3×3)＝eq\f(4,9).三、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，如图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).13．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A­A1BD的体积及高．——素养提升——14．表面积为eq\f(4\r(3),3)的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(A)A.eq\f(\r(2),3)π B.eq\f(1,3)πC.eq\f(2,3)π D.eq\f(2\r(2),3)π解析：如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.∵正四面体的表面积为eq\f(4\r(3),3)，∴4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(4\r(3),3)，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，∴正方体的棱长是eq\f(\r(6),3)，又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(3)，∴R＝eq\f(\r(2),2)，∴球的体积为eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π，故选A.15．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形铁皮使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．(1)AD应取多长；(2)试求容器的容积V.解：(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R.AD＝x，则OD＝72－x，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πR＝\f(60π,180)×72,72－x＝3R))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝12,