2023-2024学年云南省德宏州天成中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省德宏州天成中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x−1<3},N={x|2x−3>3}，则∁A.(−∞,1) B.(−∞,3] C.[1,+∞) D.(3,10)2.已知z=−1−i，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.3.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题4.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b−4A.−2 B.−1 C.1 D.25.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(0)=2，则φ的最小值为A.π12 B.5π12 C.7π126.某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(

)

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，367.已知函数f(x)=4x+6,x≤0|lnx|,x>0，若g(x)=f(x)−m恰有3个零点x1、x2、x3，则A.(−32,0) B.(−32,0]8.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O(O为球心)的球面上，△ABC为等边三角形，AB=BD=2，AD=2，且AC⊥BD，则二面角A−CD−O的正切值为(

)A.63 B.66 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有(

)A.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

B.若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β

C.若α//β，m⊂α，n⊥β，则m⊥n

D.若m⊥α，m//n，α⊥β，则n//β10.已知a>0，b>0，a+b=1，则(

)A.ab有最大值14 B.a2+b2有最小值12

C.a11.将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(

)A.底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B.底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体

C.底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D.棱长为6cm的正四面体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,−1)，b=(2,0)，则b在a方向上的投影的坐标为______．13.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A114.对a，b∈R，记max{a,b}=a,(a≥b)b,(a<b)，则函数f(x)=max{|x+1|,x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=1+mi，z2=2+3i(m∈R)．

(1)若m=−1，且(2−3i)z1+z2=x+yi，求实数x，y的值；

16.(本小题15分)

记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2=bc，sinA=7sinC．

(1)求b17.(本小题15分)

某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间[60,120]内(单位：克)，根据样本数据作出频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图，分别求出样本数据的平均数和25%分位数；

(2)已知该基地大约还有8000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率)18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2AA1．

(1)求证：B19.(本小题17分)

已知函数f(x)，g(x)满足以下条件：

①∃x∈R，f(x)g(x)≠0；

②∀x，y∈R，f(x−y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，g(x−y)=g(x)f(y)−f(x)g(y)．

(1)求g(0)，f(0)的值．

(2)判断函数f(x)，g(x)的奇偶性，并说明理由．

(3)若∃t≠0，f(t)=0，试判断函数g(x)的周期性，并说明理由．

参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.A

6.A

7.B

8.A

9.BC

10.ABD

11.BD

12.(1,−1)

13.714.3215.解：(1)若m=−1，则z1=1+mi=1−i，

∵(2−3i)z1+z2=x+yi，∴1−2i=x+yi，∴x=1，y=−2．

(2)z1z2=1+mi2+3i16.解：(1)因为b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=12，而A∈(0,π)，

所以A=π3，

又因为sinA=7sinC，由正弦定理可得a=7c，可得角C为锐角，

且sinC=sinA7=2114，

cosC=5714，

所以sinB=17.解：(1)由题意知，样本数据的平均数为65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.3+105×0.25+115×0.05=91.5克；

因为0.1+0.1=0.2<0.25，0.1+0.1+0.2=0.4>0.25，

所以25%分位数位于区间[80,90)，

设25%分位数为x，则0.1+0.1+0.02(x−80)=0.25，

解得x=82.5，

所以平均数为91.5克，25%分位数为82.5克．

(2)选择方案一：获得收入为W1=91.5×8000×201000=14640(元)，

选择方案二：获得收入为W2=[(0.1×65+0.1×75+0.2×85)×10+(0.3×95+0.25×105+0.05×115)×30]×80001000=17000(18.证明：(1)连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，

所以OM/​/B1C，

又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

所以B1C/​/平面A1BM；

(2)因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，

所以AA1⊥BM，

又因为M为棱AC的中点，AB=BC，

所以BM⊥AC，

因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

所以BM⊥平面ACC1A1，

又AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC19.解：(1)令y=x，则g(0)=g(x)f(x)−f(x)g(x)=0；

令y=0，则f(x)=f(x)f(0)+g(x)g(0)=f(x)f(0)，

由①可取f(x)≠0，得f(0)=1．

综上，g(0)=0，f(0)=1．

(2)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，理由如下：

令x=0，则f(−y)=f(0)f(y)+g(0)g(y)=f(y)，

即∀y∈R，f(−y)=f(y)，则f(x)是偶函数．

令x=0，g(−y)=g(0)f(y)−f(0)g(y)=−g(y)．

即∀y∈R，g(−y)=−g(y)，则g(x)是奇函数．

(3)g(x)是以4t为周期的周期函数，理由如下：

由题意得，f(t