人教版八年级数学下册《第十六章二次根式》专题复习附带答案

第页人教版八年级数学下册《第十六章二次根式》专题复习(附带答案）【目标导航】【知识梳理】1.二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.2.二次根式有无意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

（2）如果所给式子中含有分母则除了保证被开方数为非负数外还必须保证分母不为零．3.二次根式的性质：（1）（双重非负性）．（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：（3）（4）=·（a≥0b≥0）（5）=（a≥0b>0）4.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．5.二次根式的运算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘等于各个被开数的积的算术平方根.推广：（2）二次根式的除法：=（a≥0b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘等于各个被开数的商的算术平方根.（3）二次根式的加减：二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式再把被开方数相同的二次根式进行合并合并方法为系数相加减根式不变．

二次根式的加减步骤：

①如果有括号根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

6.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致运算顺序先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个单项式多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合运算中如能结合题目特点灵活运用二次根式的性质选择恰当的解题途径往往能事半功倍．7.二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系体现了所学知识之间的联系感受所学知识的整体性不断丰富解决问题的策略提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【典例剖析】&【变式训练】考点1二次根式的定义1．（2022春•会东县校级月考）下列各式中是二次根式的有（）（1）6；（2）3.14−π；（3）x2+1；（4）3−27；（5）x2+2x+2；（6）|x|A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【分析】二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数三个条件缺一不可．按照此定义逐个排查即可．【详解】（1）6（3）x2+1（5）x2+2x+2（6）（2）3.14−π（8）11+2x(x＜−112)被开方数小于0（7）−2(2x−1)2的被开方数是负数时它无意义（4）3−27共有4个二次根式．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的定义满足二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数三个条件缺一不可．【变式训练】【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（）A．2 B．m C．−16 D．3【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数否则二次根式无意义逐一判断．【详解】A、2＞0一定成立被开方数是非负数故选项正确；B、当m＜0时二次根式无意义故选项错误；C、被开方数为负数二次根式无意义故选项错误；D、是三次根式故选项错误．故选：A．【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数否则二次根式无意义．【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：−12x−3a2+30A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的根指数是2且被开方数是非负数解答即可．【详解】x−3中当x＜3时被开方数小于0不是二次根式；−12a2+3故选：D．【点睛】本题考查二次根式的定义掌握其定义是解决此题的关键．注意二次根式的被开方数是非负数．【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式a中a的最小值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．【详解】由题意可得a≥0∴二次根式a中a的最小值为0．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的定义理解二次根式的被开方数是非负数是解题关键．考点2二次根式的有意义的条件【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式x−2x+2在实数范围内有意义则xA．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：x−2≥0x+2≠0解得：x≥2∴x的值可能为2．故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件熟练掌握是解题的关键．【变式训练】【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式5x−2在实数范围内有意义则x的取值范围是（）A．x=25 B．x≠25 C．x≥【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x﹣2≥0再解不等式即可．【详解】由题意得：5x﹣2≥0解得：x≥2故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时下列各式中没有意义的是（）A．x−2 B．2−x C．x2−2 【分析】根据二次根式的性质被开方数大于或等于0即可求解．【详解】A、当x＝2时x−2=0B、当x＝2时2−x=0C、当x＝2时x2−2D、当x＝2时2﹣x2＝﹣2＜0没有意义．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数否则二次根式无意义．【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若y=x−2−2−x−4则A．﹣2 B．2 C．4 D．6【分析】根据二次根式有意义的条件可得出xy的值再代入x﹣y中即可求解．【详解】由题意得x−2≥02−x≥0∴2≤x≤2故x＝2∴y＝﹣4∴x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求出xy的值是解题关键．考点3二次根式的性质与化简【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（）A．9=±3 B．x2=x C．3【分析】根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．【详解】A．9=3B．x2=C．3(−x)3D．(−x)2故选：C．【点睛】本题考查算术平方根、立方根理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．【变式训练】【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若(x−3)2=x−3则A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3【分析】根据题意可知x﹣3≥0直接解答即可．【详解】∵(x−3)2即x﹣3≥0解得x≥3故选：B．【点睛】考查二次根式的性质与化简掌握二次根式的化简方法是解题的关键．【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x=−34时A．34 B．−34 C．±3【分析】根据a2=|a|【详解】当x=−34时x2=|x|＝|故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简二次根式的定义熟练掌握a2=|【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示则化简：|a−2|+(a−4)A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负然后再去绝对值、根号合并同类项即可解决问题．【详解】根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4即：﹣2＞0a﹣4＜0故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．【点睛】本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简关键是根据数轴得出a﹣2与a﹣4的正负情况．考点4最简二次根式与同类二次根式【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中属于最简二次根式的是（）A．3 B．4 C．12 D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【详解】A、3属于最简二次根式故本选项符合题意；B、4=2不属于最简二次根式C、12=2D、8=22不属于最简二次根式故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．【变式训练】【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（）A．a+1 B．2x−1 C．2b4 D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A.a+1是最简二次根式故A不符合题意；B.2x−1是最简二次根式故B不符合题意；C.2b4是最简二次根式故CD.y10=10y10不是最简二次根式故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中能与2合并的是（）A．12 B．12 C．20 D．【分析】先化简二次根式根据同类二次根式的定义即可得出答案．【详解】A．12=23不能与2合并B．12=22能与C．20=25不能与2合并D．9=3不能与2合并故选：B．【点睛】本题考查了同类二次根式二次根式的性质与化简掌握一般地把几个二次根式化为最简二次根式后如果它们的被开方数相同就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．【变式4.3】（2022•天津模拟）若8与最简二次根式m+1能合并则m的值为（）A．7 B．9 C．2 D．1【分析】先将8化简为最简二次根式再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】8=22∵22与最简二次根式∴m+1＝2解得m＝1．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．考点5二次根式的乘除【例5】计算：（1）2532（2）36a【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算然后化简二次根式；（2）先进行根号下的加法运算然后进行化简．【详解】（1）原式=−4（2）原式=36(【点睛】本题考查了二次根式的乘除法解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．【变式训练】【变式5.1】．计算：（1）3224（2）1321【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求解即可；（2）根据二次根式的乘法法则求解即可．【详解】（1）原式＝36×2＝123；（2）原式=199×（﹣2=−29x【点睛】本题考查了二次根式的乘除法解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．【变式5.2】计算（1）45÷（﹣51（2）2a2b2c5÷（ab2c【分析】（1）先进行二次根式的化简然后求解即可；（2）先进行二次根式的除法运算然后化简求解．【详解】（1）原式＝﹣45×（2）原式=2【点睛】本题考查了二次根式的乘除法掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键．【变式5.3】计算：（1）212÷3（2）5bab3×【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可；（2）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可．【详解】（1）212÷3=1352=−5=−5=−5（2）5bab3=5b×（−=−6＝﹣6aab．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则正确化简二次根式是解题关键．考点6二次根式的加减【例6】．计算：（1）5+（2）38（3）23【分析】原式各项化为最简二次根式合并即可得到结果．【详解】（1）原式=5+25−（2）原式＝62+62−52=（3）原式＝2x+3x−2x=【点睛】此题考查了二次根式的加减法熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练】【变式6.1】计算：（1）22+3（2）8（3）16x（4）48−913+【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；（2）首先化简二次根式再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；（3）首先化简二次根式再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；（4）首先化简二次根式再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可．【详解】（1）22+32=5（2）8+18=22+3（3）16x+64x=4x+8（4）48−913+312=43−9×【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算正确把握运算法则是解题关键．【变式6.2】计算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【分析】先将二次根式化为最简然后合并同类二次根式即可．【详解】（1）原式=5−=−2（2）原式＝23−2=4（3）原式＝33a=11（4）原式＝2xx+6xy+＝xx+7xy【点睛】本题考查了二次根式的加减运算解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．【变式6.3】若a、b为有理数且8+18+18【分析】首先化简各式进而得出ab的值即可得出答案．【详解】∵8+∴22+32+24=∴a＝0b=21∴ba＝（214）0【点睛】此题主要二次根式的化简求值以及乘方运算正确化简二次根式是解题关键．考点7二次根式的混合运算【例7】（2022秋•历城区期末）计算：（1）|−22（2）(5【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算然后把4化简后合并即可；（2）根据平方差公式和完全平凡的公式计算．【详解】（1）原式＝22−13=2（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣23+＝﹣4﹣4+23＝23−【点睛】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．【变式训练】【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：（1）|3（2）(32【分析】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．【详解】（1）原式＝2−3＝2−3＝﹣2−3（2）原式＝（18﹣12）﹣（2﹣46+＝6﹣（14﹣46）＝6﹣14+46＝﹣8+46．【点睛】本题考查实数的运算解题的关键熟练运用平方差公式以及完全平方公式、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义本题属于基础题型．【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：（1）28−（2）12+|（3）(3【分析】（1）先把28化简然后合并即可；（2）先根据零指数幂和绝对值的意义计算然后合并即可；（3）先利用平方差公式和完全平方公式计算然后合并即可．【详解】（1）原式＝27=7（2）原式＝23+2−=3（3）原式＝3﹣2﹣（5﹣25+＝1﹣5+25−＝25−【点睛】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：（1）(48（2）48+【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】（1）原式＝43+25−＝23+35（2）原式＝43+3−1×30+8+4＝53−＝11+46+53【点睛】本题考查二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则本题属于基础题型．考点8二次根式的化简求值【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣23b＝4+23．（1）求aba﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【详解】（1）∵a＝4﹣23b＝4+23∴ab＝（4﹣23）×（4+23）＝42﹣（23）2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）＝4﹣23−4﹣2＝﹣43；（2）由（1）知：ab＝4a﹣b＝﹣43所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）＝2×（48+8）+163＝2×56+163＝112+163．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和乘法公式能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．【变式训练】【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x=6+2（1）求x﹣y的值；（2）求x2+2xy+y2的值．【分析】（1）直接将x、y的值代入进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行化简后再代入数值进行计算．【详解】（1）x−y=6（2）x2+2xy+y2＝（x+y）2=(6=(26＝24．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a=5+2b=5−2求a2+ab【分析】由a=5+2b=5−2易得a+b＝25ab＝1再变形a2+ab+b2得到（a+b）2﹣ab然后把a+b＝2【详解】∵a=5+2b=∴a+b＝25ab＝1∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝（25）2﹣1＝20﹣1＝19．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形然后利用整体的思想求值．【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x=17−5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．【详解】（1）xy=1=1=1（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（17−5＝（7+5+＝（7）2+＝7+＝712【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值分母有理化解答的关键是对相应的运算法则的掌握．考点9二次根式的应用【例9】（2020春•韩城市期末）如图有一张边长为63cm的正方形纸板现将该纸板的四个角剪掉制作一个有底无盖的长方体盒子剪掉的四个角是面积相等的小正方形此小正方形的边长为3cm．求：（1）剪掉四个角后制作长方体盒子的纸板的面积；（2）长方体盒子的体积．【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．【详解】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（63）2﹣4×（3）2＝108﹣12＝96（cm2）；（2）长方体盒子的体积：（63−23）（63−23＝43×4＝483（cm3）．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．【变式训练】【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m）某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．【分析】（1）把40m代入公式即可；（2）求出h代入动能计算公式即可求出．【详解】（1）由题意知h＝40m∴t=405=8=2故从40m高空抛物到落地时间为22s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人理由：当t＝4s时4=ℎ∴h＝80m这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点睛】本题考查二次根式的应用通过具体情境考查二次根式理解公式正确运算代入求值是解决本题的关键．【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．12+13＞212×13；6+3＞26×3；1+（2）由（1）中各式猜想a+b与2ab（a≥0b≥0）的大小并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2对角线相互垂直的四边形风筝时求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半并综合利用（2）的结论得出答案即可．【详解】（1）∵(12∴12−2∴12+1同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×故答案为：＞＞＞＝；（2）猜想：a+b≥2ab（a≥0b≥0）理由是：∵a≥0b≥0∴a+b﹣2ab=（a−b）∴a+b≥2ab；（3）设AC＝aBD＝b由题意得：12ab=∴ab＝3600∵a+b≥2ab∴a+b≥23600∴a+b≥120∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．【点睛】此题考查了二次根式的实际应用非负数的性质掌握完全平方公式是解决问题的关键．【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度所依据的经验公式是v＝16df其中v表示车速（单位：km/h）d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m）f表示摩擦系数在某次交通事故调查中测得d＝20mf＝1.2．（1）求肇事汽车的速度；（2）若此路段限速70km/h请通过计算判断肇事汽车是否超速？【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；（2）比较两个速度的大小即可．【详解】（1）当d＝20mf＝1.2时v＝1620×1.2=326（km/h）答：肇事汽车的速度是326km/h；（2）v＝326≈78＞70∴肇事汽车已经超速．【点睛】本题考查了二次根式的应用能正确求出v的值是解此题的关键．考点10二次根式与探究材料题【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a=12+3求2a2﹣8a∵a=1∴a﹣2=−3∴（a﹣2）2＝3a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程解答下列问题：（1）化简：23（2）化简：13（3）若a=12①12a2﹣a②2a2﹣5a2+1的值．【分析】（1）（2）将原式分母有理化后得到规律利用规律求解；（3）将a分母有理化得a=2+1移项并平方得到a2﹣2a＝1【详解】（1）23（2）原式=12（=12（2021=2021（3）∵a=1∴a﹣1=2∴a2﹣2a+1＝2∴a2﹣2a＝1①1=12（a2﹣2=1=−1②2a2﹣5a2+1＝﹣3a2+1＝﹣3(2＝﹣3（2+22+＝﹣9﹣62+＝﹣8−62【点睛】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形变形各式后利用a2﹣2a＝1是解决本题的关键．【变式训练】【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方如：3+22=(1+2设a+