四川省达州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

四川省达州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列表达式化简结果与相等的是（

）A． B．C． D．2．已知向量，.若，则的值为（

）A．-1 B．-6 C．-9 D．93．在空间中，设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面.已知，，，则（

）A． B． C． D．4．已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（

）A．（1，-1，1） B．（-1，1，-1）C．（-1，1，1） D．（1，1，-1）5．已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．6．已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知点，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C．1 D．8．已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（

）样本容量平均数方差甲组20101乙组30156A．10 B． C．9 D．3二、多选题（本大题共3小题）9．小伟10月份1~10日每天运动时长的折线图如下图所示，则（

）A．小伟1~10日每天运动时长的极差为39分钟B．小伟1~10日每天运动时长的中位数为33分钟C．小伟1~10日每天运动时长的众数为31分钟D．小伟1~10日每天运动时长的第80百分位数为50分钟10．在棱长2的正方体中，，分别为，的中点，则（

）A．平面B．直线与是异面直线C．平面截正方体所得截面是五边形D．平面截正方体所得截面的面积为11．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（

）

A．若，则B．存在点H，使得平面C．线段长度的最小值是D．存在点H，使得三、填空题（本大题共3小题）12．点关于平面对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为.13．四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点.其中，九寨沟以奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称.此外，四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是，，和，，，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为.14．已知在三棱锥中，，，，.当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 .四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，.

(1)用，，表示；(2)求的长度.16．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点.(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.17．在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.(1)证明：平面.(2)求二面角的余弦值.18．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，为的中点.(1)证明：.(2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.

(1)求异面直线EB与DF所成角的余弦值(2)证明：平面平面BDF.(3)若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.

参考答案1．【答案】B【详解】对于A,,不满足题意；对于B,,满足题意；对于C,,不满足题意；对于D,具体不知.故选：B.2．【答案】C【详解】，.若，则,解得.则的值为.故选：C.3．【答案】A【详解】如图正三棱柱，面为，面为，，则，运用线面平行性质知道，A正确，B错误，由图可知相交，没有垂直和平行.故选：A.

4．【答案】D【详解】直线平面，设l方向向量为,则，即.对于A,，不满足题意；对于B,，不满足题意；对于C,，不满足题意；对于D,，满足题意；故选：D.5．【答案】C【详解】设圆台的高为，根据圆台的母线长、高和上下底面半径之差构成直角三角形，由勾股定理可得.已知，，，则.代入圆台体积公式，可得.6．【答案】B【详解】，所以向量在方向上的投影向量为，故选：B．7．【答案】B【详解】,故点到直线的距离为,故选：B8．【答案】A【详解】根据题意，得到，，，.那么丙组数据的平均数，根据方差公式得到..则丙组数据的方差为10.故选：A.9．【答案】ACD【详解】将这10个数据从小到大排序：，故极差为，A正确，中位数为，故B错误；众数为31，C正确，，故该组数据的第80百分位数为，故D正确；故选：ACD．10．【答案】ABD【详解】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点，取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确.对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确.对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面，如图，棱长是2的正方体，可求得,，，，作则.则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确.11．【答案】ABC【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC12．【答案】【详解】点关于平面对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为.故答案为：.13．【答案】【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.14．【答案】【详解】在中，由，可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，把三棱锥放置在长方体中，可知三棱锥的外接球的直径为：，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设.因为.又因为，且.所以.（2）由（1）知.首先计算.根据向量运算法则.因为底面为正方形，，所以，.又，所以.由于，且，.而，所以.那么.根据向量的模长公式，所以.16．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）如图，连接,由于，分别是，的中点.则,则四边形为平行四边形，,平面,平面,则平面.（2）如图，可建空间直角坐标系，则,,设平面法向量为，则，即，解得，故.根据点面距离公式，则点到平面的距离.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，，因为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，进而.因为，所以.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0，，，，，所以，.因为，所以，则，，又，平面，所以平面.（2）由（1）得，，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为.易得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，则，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，且相交于，又且平面，故平面，又平面，故.在上取使得，连接，因为，可得四边形为矩形，且，又，故为等腰直角三角形，故.因为为的中点，故，又，，则，故，故.又，，，平面，故平面.又平面，故，即得证.（2）由（1）可得平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.则，，，设，则，，.设平面的法向量，则，即，令有，，故.故直线与平面所成角的正弦值为，即，即，故，则，化简可得.即，解得或（舍）.故.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3).【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z