第02讲 平面向量的数量积（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第02讲平面向量的数量积（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示2024年新Ⅱ卷，第3题,5分数量积的运算律已知数量积求模垂直关系的向量表示模长的相关计算2023年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数平面向量线性运算的坐标表示2023年新Ⅱ卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算2022年新Ⅱ卷，第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示坐标计算向量的模逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15题,5分数量积的运算律无2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用5会用数量积解决向量中的最值及范围问题【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。知识讲解1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示数量积|a||b|cosa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．考点一、求平面向量的数量积1．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．22．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数3．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（

）A． B． C． D．1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．52．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则．3．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．4．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（

）A． B． C．9 D．18考点二、辨析数量积的运算律1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件2．（湖北·高考真题）已知为非零的平面向量．甲：乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（上海·高考真题）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·模拟预测）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与垂直 D．5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．考点三、模长综合计算1．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．13．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（

）A．2 B． C．2或 D．3或4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，向量满足，且，则（

）A． B．5 C． D．251．（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，则的最小值为.3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（

）．A． B． C．4 D．24．（2024·湖南长沙·三模）平面向量满足：，，，且，，则.考点四、夹角综合计算1．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．64．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．1．（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为.3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则．考点五、垂直综合计算1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件2．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．1．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量，，若，则实数（

）A．-1 B．-2 C．1 D．23．（2023·浙江宁波·一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（

）A．， B．，C．， D．，考点六、求投影向量1．（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．考点七、数量积范围的综合问题1．（湖南·高考真题）设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．64．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．32一、单选题1．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（

）A． B．2 C． D．34．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（

）A． B． C．1 D．二、填空题8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则.9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量，满足，则m的值为.10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则.一、单选题1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（

）A．0 B． C． D．2．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l与过点；乙：（O为坐标原点），则（

）A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量为8．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（

）A．在上的投影向量为B．C．D．若，则三、填空题10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.1．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．4．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．16．（2022·全国·高考真题）已知向量．若，则．7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．8．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．29．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则.12．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则．13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件14．（2021