第05讲 基本不等式（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲基本不等式（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分基本不等式求范围导数综合2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分基本不等式求最值圆锥曲线大题综合2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形2022年新Ⅱ卷，第12题,5分基本不等式求最值三角换元及三角函数相关性质2021年新Ⅰ卷，第5题,5分基本不等式求最值椭圆方程及其性质2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分基本不等式求最值空间向量及立体几何2020年新Ⅱ卷，第12题,5分基本不等式求最值指对函数的性质及单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”2.能正确处理常数“1”求最值3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。知识讲解1．基本不等式如果，那么（当且仅当时取“=”）.说明：①对于非负数，我们把称为的，称为的.②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有.④结构特点：和式与积式的关系.2．基本不等式求最值（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值（简记为：积定和最小）.（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.3．几个重要不等式（含基本不等式链）（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）或（）；（5）考点一、直接用基本不等式求和或积的最值1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．22．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为．2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为.考点二、巧用“1”或常数关系求最值1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为.3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．3考点三、拼凑法求最值1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则．3．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为.1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．考点四、换元法求最值1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为．1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为.2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点五、二次与二次（一次）的商式求最值1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最大值为.2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为．1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为．2．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值.考点六、两次应用基本不等式求最值1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为.1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为.2．（2023·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.考点七、条件等式变形求最值1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是.3．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为．2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是．3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是．考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是．2．（2023高一上·全国·专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是．3．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．2．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（

）A．12 B．24 C． D．考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足.(1)若，求的最小值；(2)证明：.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：(1)；(2).1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．(1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：．3．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．考点十、基本不等式多选题综合1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（

）A． B．C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值为2．（2024·广东广州·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在，使得 D．3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B． C． D．4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为．6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是．7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为8．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为．9．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为．10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为.一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（

）A．2 B． C．1 D．2．（2024·江苏盐城·模拟预测）的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．64．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则.7．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时，．8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为．9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为；的取值范围为．三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）