猜想04整式的乘法与因式分解（易错必刷30题10种题型专项训练）

猜想04整式的乘法与因式分解（易错必刷30题10种题型专项训练）一．幂的乘方与积的乘方（共4小题）二．同底数幂的除法（共2小题）三．多项式乘多项式（共4小题）四．完全平方公式的几何背景（共4小题）五．完全平方式（共2小题）六．平方差公式（共3小题）七．平方差公式的几何背景（共3小题）八．整式的除法（共3小题）九．因式分解的意义（共2小题）十．因式分解的应用（共3小题）一．幂的乘方与积的乘方（共4小题）1．（2023春•顺义区期中）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．10【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，∴2a+2b＝2a•22b＝2a•（22）b＝2a•4b＝5×7＝35，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．2．（2023春•宝塔区期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．，【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128，∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6∵x，y均为正整数，∴或∴x+y＝5或4，故选：C．【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．3．（2023秋•叙州区校级月考）给出下列等式：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝（a+2b）9；②25•25＝26；③a2m＝（﹣am）2；④a2m＝（﹣a2）m．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝﹣（a+2b）9，故①错误；②25•25＝210，故②错误；③a2m＝（﹣am）2，故③正确；④a2m＝（﹣a2）m（m为偶数），故④错误；所以，上列等式，其中正确的有1个，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023秋•东城区校级期中）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝12．【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an，又由am＝2，an＝3，即可求得答案．【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12．故答案为：12．【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：（ab）n＝anbn（n是正整数）与同底数幂的乘法法则：am•an＝am+n（m，n是正整数），注意公式的逆用．二．同底数幂的除法（共2小题）5．（2023秋•龙华区校级期中）下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7 B．（a3）2＝a5 C．（﹣ab3）2＝﹣a2b6 D．a9÷a6＝a3【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、a3与a4不能合并，故A不符合题意；B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；C、（﹣ab3）2＝a2b6，故C不符合题意；D、a9÷a6＝a3，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．（2023秋•叙州区校级月考）已知，，那么2016m﹣n＝（）A．0 B．1 C．2016 D．20162【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，零指数幂进行计算，即可解答．【解答】解：＝＝＝，∵，∴m﹣n＝0，∴2016m﹣n＝20160＝1，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．三．多项式乘多项式（共4小题）7．（2023秋•长沙期中）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m、n的值分别是（）A．m＝1，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝5，n＝﹣6 D．m＝5，n＝6【分析】运用多项式乘多项式的计算方法求解（x﹣2）（x+3），再分别求得m，n的值．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，∴m＝1，n＝﹣6，故选：B．【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．8．（2023秋•榆树市校级月考）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．9．（2023秋•洛阳期中）[知识回顾]有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3．[理解应用]（1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值；（2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值；（3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）令2m﹣3＝0，解出m的值即可；（2）将原式中的y看作系数合并同类项，令x的系数为0，求出y值即可；（3）设AB＝x，根据图形分别将S1和S2用x、a和b表示出来，求出S1﹣S2的表达式并合并同类项，令x的系数为0，求出a和b的等量关系即可．【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，∴m＝．（2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝﹣3（2﹣5y）x﹣9．∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，∴2﹣5y＝0，∴y＝．（3）设AB＝x，由图形得S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab．∵S1﹣S2的值始终保持不变，∴（a﹣2b）x+ab与x无关，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．【点评】本题考查多项式乘多项式及合并同类项，熟练运用它们是本题的关键．10．（2022秋•南昌期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是﹣1，n的值是﹣6；（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+，①求（a﹣2）（b﹣2）的值；②求++1的值．【分析】（1）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；（2）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出（a+b）、ab的值，①把（a+b）、ab的值代入整理后的整式计算即可；②通分后，配方，再把（a+b）、ab的值代入后计算．【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣6，故答案为：﹣1，﹣6；（2）∵，∴a+b＝﹣2，，①（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝＝，②＝＝＝＝13．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，等式的恒等性、整体性、配方是解题的关键．四．完全平方公式的几何背景（共4小题）11．（2023秋•安溪县期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）；（2）若实数a，b，c满足2a•4b•8c＝16，a2+4b2+9c2＝30，求2ab+3ac+6bc的值．【分析】（1）用两种方法计算正方形的面积：一是先计算正方形的边长，再根据正方形的面积公式计算；二是对各部分图形的面积求和进行计算．这两种方法计算的结果相等；（2）将2a•4b•8c＝16中的幂和16化为以2为底的幂，得到a、b、c的关系式，将该关系式等号两边同时平方并按照（1）中的等式展开，再利用a2+4b2+9c2＝30求出2ab+3ac+6bc的值即可．【解答】解：（1）（方法一）S正方形＝（a+b+c）2，（方法二）S正方形＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）．（2）∴2a•4b•8c＝2a•22b•23c＝2a+2b+3c＝16＝24，a2+4b2+9c2＝30，∴a+2b+3c＝4，∴（a+2b+3c）2＝a2+（2b）2+（3c）2+2（a•2b+a•3c+2b•3c）＝a2+4b2+9c2+2（2ab+3ac+6bc）＝16，即30+2（2ab+3ac+6bc）＝16，解得2ab+3ac+6bc＝﹣7．【点评】本题考查完全平方公式及其几何背景、同底数幂的乘法等，熟练掌握它们是本题的关键．12．（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．（2）用（1）中得到的公式计算．（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．13．（2023秋•方城县月考）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【分析】（1）先表示面积，再求关系．（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数．（3）通过（1）中结论计算．【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，面积为（a+b）2；还可以用1张A，B，两张C拼出，∴面积还可以为：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，∵S1+S2＝20，∴a2+b2＝20∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．14．（2023•永修县开学）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为m﹣n（用含m，n的式子表示）；（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；（ii）若a+＝3，求a2+的值．【分析】（1）观察图形即可．（2）通过面积找到三者间的关系．（3）利用（2）中关系计算即可．【解答】解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n）；故答案为：m﹣n．（2）图②中画有阴影的小正方形的边长（m﹣n），面积为：（m﹣n）2，（图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：（m+n）2﹣4mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（3）（i）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29．（ii）a2+＝﹣2＝9﹣2＝7．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，观察图形，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．五．完全平方式（共2小题）15．（2023秋•滨海新区校级期中）若x2+mx+49是一个完全平方式，那么m的值为（）A．7 B．14 C．﹣14 D．±14【分析】首末两项是x和7这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7积的2倍．【解答】解：∵x2+mx+49是一个完全平方式，∴①x2+mx+49＝（x+7）2+（m﹣14）x，∴m﹣14＝0，m＝14；②x2+mx+49＝（x﹣7）2+（m+14）x，∴m+14＝0，m＝﹣14；∴m＝±14；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式的运用．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．16．（2022秋•青云谱区期末）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是10x或﹣10x或．【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答．【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的项是10x或﹣10x，②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，∴可添加的项是，综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或，故答案为：10x或﹣10x或．【点评】本题主要考查了完全平方、多项式，掌握满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，分情况讨论是解题关键．六．平方差公式（共3小题）17．（2023秋•路南区期中）若x+y＝5，x﹣y＝6，则x2﹣y2的值为（）A．1 B．11 C．30 D．35【分析】根据平方差公式，进行计算即可解答．【解答】解：∵x+y＝5，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×6＝30，故选：C．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．18．（2023秋•尧都区期中）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（）A．6 B．12 C．24 D．36【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2﹣b2+12b＝（a+b）（a﹣b）+12b＝6（a﹣b）+12b＝6a﹣6b+12b＝6a+6b＝6（a+b）＝6×6＝36，故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是能够正确利用平方差公式进行因式分解．19．（2023秋•衡南县期中）下列能使用平方差公式的是（）A．（x+3）（x+x） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（m+n）（﹣m﹣n） D．（3m+n）（3m﹣n）【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：（x+3）（x+x），不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（m+n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）2，不符合平方差公式的特点，∴选项C不符合题意；∵（3m+n）（3m﹣n），符合平方差公式的特点，∴选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．七．平方差公式的几何背景（共3小题）20．（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．21．（2022秋•海珠区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积＝a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．22．（2023•无为市校级开学）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是A；（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．（2）利用（1）中得到的平方差公式计算．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选A．（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．∴6（2a﹣b）＝24，∴2a﹣b＝24÷6＝4．故答案为：4．②＝＝＝＝．【点评】本题考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键．八．整式的除法（共3小题）23．（2023秋•龙华区校级期中）计算（x2y）3÷（2xy）3的正确结果是（）A． B． C． D．【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．【解答】解：（x2y）3÷（2xy）3＝x6y3÷8x3y3＝x3，故选：D．【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．24．（2023秋•朝阳区校级月考）一个三角形的面积是8（a2b）3，它的一边长是（2ab）2，那么这条边上的高为（）A．2a4b B．4a4b C．2a3b D．4a3b【分析】依据题意，由三角形的面积公式可得高，进而计算可以得解．【解答】解：由题意，∵三角形的面积＝边×高÷2，∴高＝2×面积÷边．又一个三角形的面积是8（a2b）3，它的一边长是（2ab）2，∴这条边上的高为2×8（a2b）3÷（2ab）2＝16a6b3÷4a2b2＝4a4b．故选：B．【点评】本题主要考查了整式的除法的应用以及三角形的面积计算公式，解题时要熟练掌握并理解是关键．25．（2023春•房山区期末）计算：（8a4+6a）÷2a＝4a3+3．【分析】依据题意，由整式的除法运算法则可以得解．【解答】解：原式＝8a4÷2a+6a÷2a＝4a3+3．【点评】本题主要考查了整式的除法，解题时需要熟练掌握并准确计算．九．因式分解的意义（共2小题）26．（2023秋•晋江市期中）下列从左到右的变形为因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3 C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．xy﹣1＝xy（1﹣）【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．【解答】解：∵a（x﹣y）＝ax﹣ay是单项式乘单项式运算，∴选项A不符合题意；∵x（x﹣2）+3不是整式的乘积形式，∴选项B不符合题意；∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）是因式分解，∴选项C符合题意；∵xy（1﹣）中含有分式，∴选项D不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义进行求解．27．（2023秋•东城区校级期中）因为x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，则（x+3）（x﹣2）＝0，x＝﹣3或x＝2，反过来，x＝2能使多项式x2+x﹣6的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，求m的值；（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，试求a，b的值；（3）在（2）的条件下，把多项式x3+ax2﹣5x+b因式分解的结果为（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．【分析】（1）由已知条件可知，当x＝4时，x2+mx+8，将x的值代入即可求得；（2）由题意可知，x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的值；（3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2﹣5x+b，提取公因式x，则由题意知（x﹣1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【解答】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，∴x＝4时，x2+mx+8＝0，∴16+4m+8＝0，∴4m＝﹣24，∴m＝﹣6，∴m的值为﹣6．（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，∴x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，∴，解得，∴a、b的值分别为2和2．（3）∵a＝2，b＝2，∴x3+ax2﹣5x+b可化为：x3+2x2﹣5x+2，∴x3+2x2﹣5x+2＝（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．十．因式分解的应用（共3小题）28．（2023春•渠县校级期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是等腰三角形．【分析】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．29．（2023秋•乐至