30.5 二次函数与一元二次方程的关系 同步练习

第三十章二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系基础过关全练知识点1二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线y=-x2+2x-3与x轴相交的情况是()A.没有公共点 B.有一个公共点 C.有两个公共点 D.有三个公共点[变式1·求出a、b、c]小明在解二次函数y=ax2+bx+c时，只抄对了a=1，b=4，求得图像过点(-1，0).他核对时发现所抄的c值比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是()A.只有一个交点 B.有两个交点 C.没有交点 D.不确定[变式2·条件与结论互换]已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴有两个交点A(-1，0)，B(3，0)，抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是()A.5 B.-1 C.5或1 D.-5或-12.(2023湖南郴州中考)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点，则c=.

3.已知二次函数y=(x+a+2)(x-a)(a为常数，且a≠-1).(1)求证：无论a取何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点；(2)点M(n-3，y1)，N(n，y2)在二次函数的图像上，且y1>y2，直接写出n的取值范围.知识点2利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴是直线x=-1，其部分图像如图所示，由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=()A.-1.3 B.-2.3 C.-3.3 D.-4.35.下表是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x与y的部分对应值，判断方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是()X…6.176.186.196.20…Y…-0.03-0.010.020.06…A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20能力提升全练6.(2023河北中考)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为()A.2 B.m2 C.4 D.2m27.(2023湖南衡阳中考)已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x-3-m=0的根为x1，x2(x1<x2)，关于x的方程x2+2x-3-n=0的根为x3，x4(x3<x4)，则下列结论正确的是()A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2 C.x1<x2<x3<x4 D.x3<x4<x1<x28.(2022四川自贡中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若a=-1，且函数图像经过(0，3)，(2，-5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴的交点及顶点的坐标；(2)在下图中画出(1)中函数的大致图像，并根据图像写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，函数图像经过P12-c,y1，Q(1+3c，y2)两点，试比较y1 备用图素养探究全练9.(2023河北武邑二模)在平面直角坐标系中，拋物线y=-12x(x-2t)+t+1的顶点为A，与y轴相交于点B，点C(2t-1，(1)当t=0时，求点A的坐标.(2)抛物线上点B，C之间的部分记作M(包含B，C两点).①若M与x轴只有一个公共点，求t的取值范围；②已知D(2，t-1)，E(2，t+3)，F(-2，t+3)，G(-2，t-1)，顺次连接DE，EF，FG，GD，若M落在四边形DEFG内(不包含边界)的部分随着x的增大，y先增大再减小，求t的取值范围.

第三十章二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系答案全解全析基础过关全练1.A∵b2-4ac=22-4×(-1)×(-3)=-8<0，∴抛物线与x轴没有公共点，故选A.[变式1]B根据题意得a=1,b∵所抄的c值比原来的c值大2，∴原来c的值为1，∴抛物线的解析式应该为y=x2+4x+1，∵Δ=42-4×1×1=12>0，∴抛物线与x轴有两个交点.故选B.[变式2]C已知抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=h，抛物线y=a(x-h-m)2+k的对称轴为直线x=h+m，当点A(-1，0)平移后的对应点为(4，0)时，m=4-(-1)=5；当点B(3，0)平移后的对应点为(4，0)时，m=4-3=1.故m的值为5或1.9解析∵抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点，∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4c=0，解得c=9.故答案为9.3.解析(1)证法一：令y=0，则(x+a+2)(x-a)=0，解得x1=-a-2，x2=a，∵a≠-1，∴-a-2≠a，∴无论a取何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点.证法二：二次函数y=(x+a+2)(x-a)=x2+2x-(a2+2a)的图像与x轴总有两个交点，即方程x2+2x-(a2+2a)=0总有两个不相等的实数根，Δ=22-4×1×(-a2-2a)=4a2+8a+4=4(a+1)2，∵a≠-1，∴4(a+1)2>0，即方程x2+2x-(a2+2a)=0总有两个不相等的实数根，故二次函数y=(x+a+2)(x-a)的图像与x轴总有两个交点.(2)n<12详解：二次函数图像的对称轴是直线x=-a-2+a2=-1，图像开口向上，∵点M(n-3，y1)，N(n，y2)在二次函数的图像上，且y1>y2，∴|n-3-(-1)|>|n-(-1)|，解得n<4.C由函数图像关于对称轴对称，对称轴为直线x=-1，方程一根为x1=1.3，可知方程另一根满足-1-x2=1.3-(-1)，∴x2=-3.3，故选C.5.C根据表格得到，当x=6.18时，y=-0.01，当x=6.19时，y=0.02，则在6.18和6.19之间，必有一个x的值使得y=0，∴方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是6.18<x<6.19.故选C.能力提升全练6.A令y=0，则-x2+m2x=0①，x2-m2=0②，解①得x=0或x=m2，解②得x=-m或x=m，由于四个交点中每相邻两点间的距离都相等，所以m2=2|m|，解得m=±2或0(舍去)，∵抛物线y=x2-m2的对称轴为直线x=0，抛物线y=-x2+m2x的对称轴为直线x=m22∴这两个函数图像对称轴之间的距离为2，故选A.7.B∵m>n>0，关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1，x2(x1<x2)，关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为x3，x4(x3<x4)，∴可设直线y=m与抛物线y=x2+2x-3交于A，B两点，直线y=n与抛物线y=x2+2x-3交于C，D两点，根据草图(如图)可得x1，x2，x3，x4分别是点A，B，C，D的横坐标，∴x1<x3<x4<x2，故选B.8.解析(1)∵a=-1，且函数图像经过(0，3)，(2，-5)两点，∴a=−1,c=3,-5=4a+2当y=0时，0=-x2-2x+3，解得x1=1，x2=-3，∴抛物线与x轴交点的坐标为(1，0)，(-3，0).∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(-1，4).(2)函数的大致图像如图所示：当y=3时，3=-x2-2x+3，解得x1=0，x2=-2，由图像可知当-2≤x≤0时，函数值y≥3.(3)∵a+b+c=0且a>b>c，∴a>0，c<0，b=-a-c，且一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x1=1，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之差等于a-c，且x1x2=ca<0，∴方程的另一个根为x2=1+c-a∴抛物线的对称轴为直线x=1+c-∴-b2a=1+c-a∴a+c=-b=2a+ac-a2，∴(a-1)(a-c)=0，∵a>c，∴a=1，∴b=-1-c，∴y=x2-(1+c)x+c，∵P12-c,y1，Q(1+3c，∴y1=12-c2-(1+c)12-c+c=2c2y2=(1+3c)2-(1+c)(1+3c)+c=6c2+3c，∴y2-y1=(6c2+3c)-2c2+12∵b>c，∴-1-c>c，∴c<-12，∴4c+516∴y2>y1.素养探究全练9.解析(1)当t=0时，抛物线的解析式为y=-12x(x-2×0)+0+1=-12x2∴抛物线的对称轴为y轴，当x=0时，y=1，∴点A的坐标为(0，1).(2)①令-12x(x-2t)+t+1=0，即-12x2+tx+t+1=0，∵Δ=t2-4×-12(t+1)=(t+1)2∴抛物线y=-12x(x-2t)+t+1与x轴有两个交点当x=0时，y=t+1，当x=2t-1时，y=-12(2t-1)(2t-1-2t)+t+1=2t+1∴点B的坐标为(0，t+1)，点C的坐标为2t当M与x轴只有一个公共点时，分两种情况：当点B在x轴上方，点C在x轴上或x轴下方时，有t+1>0,当点C在x轴上方，点B在x轴上或x轴下方时，有t+1≤0,2t∴t的取值范围是-1<t≤-14②∵y=-12x(x-2t)+t+1=-12(x-t)2+∴抛物线顶点A的坐标为t,∵D(2，t-1)，E(2，t+3)，F(-2，t+3)，G(-2，t-1)，∴四边形DEFG是边长为4的正方形，线段EF所在直线为y=t+3，线段GD所在直线为y=t-1，线段GF所在直线为x=-2，线段DE所在直线为x=2.∵