2024学年淮安市高二数学第一学期期中联考试卷附答案解析

学年淮安市高二数学第一学期期中联考试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.1.经过两点的直线的斜率为（）A. B. C.D.2.圆的圆心坐标为（）A.B.C. D.3.实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（）AB.C. D.4.下列哪条直线与直线垂直（）A.B.C. D.5.椭圆的右焦点坐标为（）A.B.C. D.6.过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（）A.或 B.C.或 D.7.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知三点下列结论正确的是（）A.AB的距离为B.直线BC一般式方程为C.以BC为直径的圆方程为D.外接圆的方程为10.设m为实数，已知方程，则下列结论正确的是（）A.此方程可以表示圆B.此方程可以表示椭圆C.若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上D.当时此方程不表示任何曲线11.已知椭圆，直线圆下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为B.直线与圆相交C.圆与圆C外离D.椭圆上点到直线l距离范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.准线为的抛物线的标准方程是_______________13.在轴，轴上的截距分别为的直线方程为_____________（用一般式表示）14.过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示）（1）经过点，且与直线垂直（2）经过两直线与的交点，且与直线平行16.分别写出满足下列条件圆的方程（用标准式表示）（1）圆心为且经过点（2）经过两点且圆心在直线上（3）圆心正半轴上，并且与直线都相切17.分别写出满足下列要求的曲线方程（1）两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程（2）两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程（3）对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程18.已知一结论：若圆C的方程是，则经过圆C上一点的切线方程为.（1）由上面结论分别写出下面两个所求的切线方程（不需要解题过程）①经过双曲线上一点的切线方程②经过抛物线上一点的切线方程（2）已知椭圆方程为，A为椭圆上顶点，P为椭圆的右顶点，求椭圆上点到直线AP距离的最大值并求出点M坐标（注：若需要椭圆上经过某点的切线方程可以直接写）19.已知双曲线与椭圆有相同焦点.（1）求值并求椭圆离心率的范围.（2）若双曲线的左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程.（3）A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为．若直线AB与圆相切，求双曲线C的离心率2024学年淮安市高二数学第一学期期中联考试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.1.经过两点的直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用两点式求直线斜率.【详解】由题设，两点所成直线的斜率.故选：C2.圆的圆心坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标.【详解】圆可化为，所以圆心坐标为.故选：A.3.实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可.【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即，所以双曲线方程为.故选：A4.下列哪条直线与直线垂直（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解.【详解】直线的斜率为2,若直线m与直线垂直，则，，对于A,的斜率为2,不与直线垂直;对于B,的斜率为2,不与直线垂直;对于C,的斜率为-1，不与直线垂直；对于D,的斜率为,与直线垂直.故选:D.5.椭圆的右焦点坐标为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】写出椭圆标准方程，根据参数关系求得，即可写出右焦点坐标.【详解】由题设，椭圆标准方程为，故，所以右焦点为.故选：C6.过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（）A.或B.C.或D.【答案】D【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程.【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上，所以，故所求抛物线为.故选：D7.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解.【详解】由圆，则圆心为，半径为，由圆心为到直线的距离，所以直线被圆截得弦长为.故选：B.8.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解.【详解】由已知抛物线焦点到准线的距离为，即，则抛物线方程为，F1,0，所以直线方程为，即，设直线与抛物线交点Ax1,联立直线与抛物线，得，则，，又由抛物线可知，，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知三点下列结论正确的是（）A.AB的距离为B.直线BC的一般式方程为C.以BC为直径的圆方程为D.外接圆的方程为【答案】BCD【解析】【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论.【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误;直线BC方程为,即，故B正确；以BC为直径的圆，圆心为，半径为,所以圆的方程为,即,故C正确;设外接圆的方程为，代入三点坐标得，,解得,所以外接圆的方程为,故D正确.故选：BCD.10.设m为实数，已知方程，则下列结论正确的是（）A.此方程可以表示圆B.此方程可以表示椭圆C.若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上D当时此方程不表示任何曲线【答案】BCD【解析】【分析】根据方程的结构特征逐项计算判断即可.【详解】方程可变形为，对于A，当时，方程无解，故此方程不可以表示圆，故A错误；对于B，由，即时，此方程的图形是椭圆，故此方程可以表示椭圆，故B正确；对于C，由，解得，所以方程表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；对于D，当时，，方程无解，故此方程不表示任何曲线，故D正确.故选：BCD.11.已知椭圆，直线圆下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为B.直线与圆相交C.圆与圆C外离D.椭圆上点到直线l的距离范围为【答案】AD【解析】【分析】由题意易求离心率判断A；求得圆心到直线的距离判断B；求得两圆的圆心距判断C；利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解判断D.【详解】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率为，故A正确；由圆，可得，所以圆心，半径，由圆心到的距离，所以直线与圆相离，故B错误；由，可得，所以心，半径为，所以，圆与圆C外切，故C错误；设与直线，平行的直线为，联立，整理得，因为与椭圆有公共点，所以，解得，又与的距离为，所以，所以椭圆上点到直线l的距离范围为，故D正确.【点睛】关键点点睛：关键在于求出与直线平行且与椭圆有公共点的直线方程，进而利用两直线间的距离公式求解可得答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.准线为的抛物线的标准方程是_______________【答案】【解析】【分析】根据准线方程写出抛物线方程即可.【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为.所以抛物线标准方程为.故答案为：13.在轴，轴上的截距分别为的直线方程为_____________（用一般式表示）【答案】【解析】【分析】直接由直线的截距式方程得答案.【详解】∵直线在轴上的截距为2，在轴上截距为3，由直线方程的截距式得：，化为一般式：．故答案为：．14.过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为______【答案】##【解析】【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率.【详解】设,，则①,②,∵是线段的中点,∴故过点作斜率为的直线的方程是，∴①②两式相减可得:∴.∴.∴∴∴故答案为:.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示）（1）经过点，且与直线垂直（2）经过两直线与的交点，且与直线平行【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程；（2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程.【小问1详解】由题意，可设直线方程为，代入点，有，则，所求直线方程为；【小问2详解】联立，解得，设所求直线方程为，则，即，所求直线方程为.16.分别写出满足下列条件的圆的方程（用标准式表示）（1）圆心为且经过点（2）经过两点且圆心在直线上（3）圆心在正半轴上，并且与直线都相切【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求得圆的半径即可求得圆的标准方程；（2）求得的垂直平分线方程，联立方程组可求得圆心坐标，进而求得圆的半径即可；（3）设圆心为，根据题意可得，求解即可.【小问1详解】因为，，所以圆的半径，所以圆的方程为；【小问2详解】因为，所以的中点为，，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，由，解得，所以圆心为半径为，则圆的方程为；【小问3详解】设圆心为，则，的，故圆方程为.17.分别写出满足下列要求的曲线方程（1）两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程（2）两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程（3）对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据椭圆定义得出结合焦点坐标即可求出椭圆方程；（2）根据渐近线方程及焦点坐标列方程组求出即可写出双曲线方程；（3）先设抛物线方程，由已知可知即可得出抛物线方程.【小问1详解】设椭圆方程为，利用椭圆定义求出由求出,则椭圆方程为.【小问2详解】设双曲线方程为有又求出则双曲线方程为【小问3详解】设抛物线方程为,则焦点到准线的距离知抛物线方程为.18.已知一结论：若圆C的方程是，则经过圆C上一点的切线方程为.（1）由上面结论分别写出下面两个所求的切线方程（不需要解题过程）①经过双曲线上一点的切线方程②经过抛物线上一点的切线方程（2）已知椭圆方程为，A为椭圆上顶点，P为椭圆的右顶点，求椭圆上点到直线AP距离的最大值并求出点M坐标（注：若需要椭圆上经过某点的切线方程可以直接写）【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）①②设切线方程，分别联立双曲线、抛物线，利用得到关于的方程，结合点在曲线上求，再代回到切线方程并整理即可得答案；（2）根据题设得到直线的方程为，由过椭圆上一点的切线与直线AP平行时，点到直线距离可取最大，进而求出切线与椭圆的切点坐标（离较远的点），应用点线距离公式求答案.【小问1详解】①令切线为，联立，则，所以，且，由，所以，则，而，所以，则切线为，即，所以切线方程为；②令切线为，联立，则，且，所以，而，则，所以，则，即，所以.【小问2详解】由题知，当过椭圆上一点的切线与直线AP平行时，点到直线距离可取最大，由，则直线的方程为，由题设，类比可得过点M的切线方程为，得，代入椭圆方程，，则，故，所以或（离直线较近，舍去），所以M到直线距离最大值为.19.已知双曲线与椭圆有相同焦点.（1）求值并求椭圆离心率的范围.（2）若双曲线左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程.（3）A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为．若直线AB与圆相切，求双曲线C的离心率.【答案】（1），（