2024-2025学年度八年级数学上册勾股定理提优训练100题含答案

2024-2025学年度八年级数学上册勾股定理提优训练100题一、单选题1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，将含45°角的直角三角板．按如图所示放置，边AE,AF分别交BC,CD于点M,N，连接MN．则下列结论：①MN=BM+DN；②当M为BC的中点时，N为CD的中点；③当M为BC的中点时，△AMN的面积为15；④点A到MN的距离为6．其中正确的结论为（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为（）A．3<AC<17 B．3<AC<15 C．1<AC<6 D．2<AC<123．在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB=5,AC=3，则AD的取值范围是（）A．2<AD<8 B．3<AD<5 C．1<AD<4 D．无法确定4．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD,DE⊥BD,AB=CD,AC=CE，下列说法错误的是（）A．△ABC≅△CDE B．∠C．∠ACE=90∘5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（）A．100° B．120° C．135° D．150°6．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=4，AC=2，则AD的取值范围是（）A．1<AD<3 B．2<AD<4 C．2<AD<6 D．2<AD<37．数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB，BC，CD，DE在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=10，则点B，D到直线AE的距离之和为（）A．5 B．26 C．52 D．10二、填空题8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是．9．如图，已知点A是反比例函数y=−4x图像上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则过点B的反比例函数解析式为10．如图，在△ABC中，AD为中线，且AC=5，AD=6，则AB边的取值范围是．11．已知AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，则AD=．12．在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是．13．如图，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=4，则AD的取值范围是．14．在△ABC中，AD是中线，已知AB=8,AC=6，则中线AD的取值范围是．15．在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是．16．如图，直线y=−2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线y=kx在第一象限经过点D，将正方形向下平移m个单位后，点C刚好落在双曲线上，则m=17．AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为．18．如图所示，已知AD=CD=210，BD=2，BC=3BD，则AB的长为19．△ABC和△DCE是等边三角形，则在下图中，△ACE绕着点旋转度可得到△BCD．20．如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F．若BE=AC，AF=2，CF=8，那么BF的长度为．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=6，AD=4，则AC的取值范围是．22．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是．23．如图，在△ABC中，AC=6，中线AD=4，则AB边的取值范围是．24．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为．25．如图，△ABC是等边三角形，且AB=4，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是．26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点27．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF=60°．若AE=3，AF=4，则AB的长为．28．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．29．在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，在D在边BC上（不与点B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D旋转90°得到线段DE，连接BE．作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=2，则线段BE的长为．30．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为．31．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，32．如图△ABC中，AC=2，AB=7，∠CAB=45°，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连AD，则AD=33．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，BC的长为．34．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE，其中正确的是(写出正确结论的序号)35．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝．36．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为；37．如图，△ABC中，AB>AC，AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；②AD<12AB+AC；③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接PB，PC，则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP=DQ，连接PB，38．如图所示，在△ABC中，AB=3,AC=4，则BC边上的中线AD的长x取值范围是．39．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是．40．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是．41．在直角三角形ABC中，CA=CB，过点C的直线为l，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E、F，AE=2，BF=3，则EF=42．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点C在x轴上，BC交y轴于M，经测量发现BM=MC，已知C−2,0，点A的横坐标为−6，则点B的坐标为43．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AB=BC,∠ABC=90°点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．44．将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN＝．45．如图，在△ABC中，AB=3,AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面积是．46．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB=13,AC=5,AD=6，则：（1）∠DAC的度数为；（2）△ABC的面积是．47．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE'C=度．三、解答题48．如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线（1）若∠BED=60°,∠BAD=40°，求∠BAF的度数．（2）若AB=8,AC=6，求中线AD长的取值范围．49．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F.（1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数.50．如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD．（1）求∠BAD的度数；（2）若AB=6，AC=4，求AD的长．51．在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD，线段CD与线段AB交于点E，射线AD与射线CB交于点F．（1）①依题意补全图形；②分别求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间的数量关系，并证明．52．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E是边CD的中点，且EF⊥AE，EF=AE，连接CF，求CF的长．53．如图，这是某市工业开发区设计图纸的局部平面图，直线AB是一条河流，河旁边建有一个工厂P，点O，E在直线AB上，O是工厂P的进水口，E是污水净化后的出水口，且PE⊥AB，现计划在河旁边工厂P的同侧再建一座工厂Q，设计要求是：工厂Q也从点O处引水，OQ⊥OP，OQ=OP，污水净化后的排污出口为AB上的点F处，且FQ⊥AB.（1）请根据设计要求把图形补充完整(不需要尺规作图）。（2）已知QF=350米，PE=150米，求两个出水口E，F之间的距离（不计河的宽度）.54．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．55．如图，在等边△ABC中，放置等边△DEF，且点D，E分别在AB，BC上，AD=5．连接CF，若CF平分∠ACB，求BE56．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中一组全等三角形_______________；（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设【理解与应用】（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=4，EC=3，求线段BF的长．57．如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33m，求楼高AB.58．小明同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90∘，点C（1）试说明：△ADC（2）求两堵木墙之间的距离.59．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=260．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．（1）初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP=______时，△ABP与△CBP为积等三角形；（2）理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．61．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F(1)如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝(2)如图2，若∠ACD＝α，连接CF，则∠AFC＝（用含α的式子表示）(3)将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数62．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），求点D的坐标．63．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点F处，FD向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连结AF．（1）若∠BDE=35°，求∠C的度数；（2）若BC=6，求四边形ACDF的周长．

64．（1）方法呈现：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=2，AC=6，且线段AD的长度为整数．求AD的长度．65．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD=8cm,（1）求证：∠COE=∠B；（2）求AE的长.66．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD=150米，BC=350米，求两个排污口之间的水平距离DC．67．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC．（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为___________，CE与AD的数量关系为___________；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．68．想测量操场上与地面垂直旗杆BD的高度，小强如图1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出∠DMC=90°，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿AC，测得AB=12m.（1）请你帮小强求出旗杆BD的高度；（2）小明如图2设计一个测量方案：测得MB=CB=3米，MA=12米，根据这些条件能求出旗杆BD的高度吗?若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件.69．有两个三角形，分别为△ABC和△ADE，其中∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.（1）若按如图(1)所示位置摆放，使得AC与AD重合，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系是；（2）在图(2)中，延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若按如图(3)所示位置摆放，连接BD，CE，且BD与CE交于点F，BD与AC交于点H，请判断BD与CE之间的关系，并说明理由.70．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB'的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．71．已知：如图，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE.（1）求证：CE=CB；（2）若∠CAE=30°，CE=2，求BE的长度。72．在Rt△ABC中，∠C=90°，分别取BC、AC的中点并且同时将这两个中点绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，记旋转角为α（0°<α<90°），连接AE、CD、BD，如图所示．（备用图）（备用图）（1）当BC=AC时，求证：∠DBC=∠EAC；（2）若BC=AC=4，当B、D、E三点共线时，求线段BE的长；（3）当∠ABC=30°时，延长BD交AE于点H，连接CH，探究线段BH，AH，CH之间的数量关系并说明理由．四、阅读理解73．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．【问题解决】（1）直接写出图1中AD的取值范围：（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判断线段AD和线段EF的数量关系，并加以证明．74．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连结BE．请根据小明的方法思考：如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是选填（SSS，SAS，AAS，ASA）【问题解决】根据图2，求出中线AD的取值范围．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【拓展延伸】如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．五、综合题75．我们共同来探究下面问题：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P.（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：.（2）图2，当点C在直线AB外，且∠ACB<120°，上面的结论是否还成立?若成立请证明，不成立说明理由.（3）在(2)的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB.的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数.76．已知△ABC中，AB=AC.

（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60∘，且77．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、

（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，则有BM2+NC2＝MN2．

（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．六、实践探究题78．问题提出如图（1），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在ΔABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？（1）问题探究：①先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，易证ΔACD≌ΔBCE（SAS），请利用全等探究AF，BF，CF之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；②再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（2）问题拓展：如图（3），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在ΔABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.79．综合与实贱问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F.求证：EF=BF−CE.（1）独立思考：请证明王老师提出的问题.（2）实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，BA=BD，CE⊥AD于E，求证：AD=2CE.问题解决：（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM=AE，连接BM.若CE=2，请直接写出AG的值为.80．综合与实践（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为．（2）类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．81．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知图能得到△ADC≌△EDB的理由是．（2）求得AD的取值范围是．（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．82．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并加以证明．83．【问题情景】如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的点，连接AE，作∠EAF=45°．使AF交边CD于点F，连接EF．猜想：BE+DF=EF．

尝试探究：见解析；应用：①3②3（1）【尝试探究】如图②，延长图①中的CB至点G，使BG=DF，连接AG．小明尝试证明这个题目的部分过程如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABG=∠D=90°．

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF．

……

请你将证明过程补充完整．（2）【应用】如图②，若CE=2BE=4，其他条件不变，解答下列问题．①求DF的长；②连接FG，直接写出FG的长．84．综合与实践：【问题背景】人教版教材九年级上册P63第10题“探索研究”：等边△ABD和等边△ACE，将△ACE绕点A旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决．【探究发现】（1）如图1，小明连结BE、CD，并发现∠ADC与∠ABE的数量关系，请你探究后写出证明过程．（2）如图2，得知小明的结论后，小华又连结DE，已知AC⊥BE，AE=5，BE=12，请你求出DE的长；【拓展探究】（3）如图3，小颖画出了等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C在DE上，请你直接写出CD、CE和BC之间的数量关系．85．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．（1）【探究发现】图1中AC与BM的数量关系是___________，位置关系是___________；（2）【初步应用】如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=12，AC=5，AD=6.5，判断△ABC的形状；（3）【探究提升】如图3，在△ABC中，若AB=12，AC=8，D为BC边上的点，且BD=2CD，求AD的取值范围．七、证明题86．【背景材料】在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，老师将△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现BD=CE．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．

（1）【初步探究】志远小组在老师基础上进行探究，他们保持△ADE不动，将△ABC按如图2位置摆放，发现BD=CE仍然成立，请你帮他们完成证明；（2）【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当∠BAC和∠DAE的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BD=CE仍成立？请说明理由；（3）【拓展应用】创新小组保持老师提供的△ADE不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，∠ABC=90°，BA=BC，若DA与DB关于沿着过点D的某条直线对称，AC与DE交于点F，当点B在△ADE的斜边DE上时，连接CD，请证明△CDF为等腰三角形．87．如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，∠B=∠AED=∠C，∠EAD=∠EDA.求证：AB+CD=BC．88．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）过A的直线与斜边BC相交时，①如图2，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明：②如图3在（2）的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四边形ABFG的面积是90，则△GHC的面积为___________．89．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（依据1），∴BE=CA，在△ABE中，AB+BE＞∴AB+AC＞（1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）任务二：如图3，AB=6，AC=8，则AD的取值范围是；A．6＜AD＜8； B．6≤AD≤8（3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，求证：AD=190．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．91．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D=45°，求∠EGC的大小．92．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45度时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．93．如图，AD是△ABC中BC边上的中线.求证：AD＜12(AB+AC94．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，当将△COD绕点O顺时针旋转时，连线AC与BD之间的大小关系如何？试猜想并证明你的结论．95．如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE=EF，求证：AC=BF．96．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，AE与BD交于点O，AE、BD分别与CD、CE交于点M、（1）求证：△ACE≌△（2）求证：∠AOD=60°（3）求证：△CMN97．求证：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．98．如图，点C在线段AB上，∠A=∠B，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点．（1）求证：CF⊥DE；（2）若∠ADC=20°，∠DCB=80°，求∠CDE的度数．99．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数.100．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】（3，7）9．【答案】y=10．【答案】711．【答案】212．【答案】1<AD<513．【答案】2<AD<614．【答案】1<AD<715．【答案】1<AD<616．【答案】317．【答案】418．【答案】219．【答案】C；逆时针方向；6020．【答案】1221．【答案】2<AC<1422．【答案】3＜m＜1323．【答案】2<AB<1424．【答案】3或925．【答案】4+226．【答案】327．【答案】428．【答案】729．【答案】62或30．【答案】21031．【答案】532．【答案】1033．【答案】234．【答案】①②⑤35．【答案】336．【答案】6037．【答案】①②④38．【答案】0.5<x<3.539．【答案】120°40．【答案】2BD=MN41．【答案】5或142．【答案】2,4​​​​​​​43．【答案】3644．【答案】345．【答案】646．【答案】90°；3047．【答案】13548．【答案】（1）50°（2）1<AD<749．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AE=AD、AB=AC，又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC在△EAC和△DAB中，AE=AD∠DAB=∠EAC∴△EAC≌△DAB，（SAS）即可得出BD=CE.（2）解：由（1）△EAC≌△DAB，可得∠ECA=∠DBA，又∵∠DBA+∠DBC=60°，在△BFC中，∠ECA+∠DBC=60°，∠ACB=60°，则∠BFC=180°−∠ACB−(∠ECA+∠DBC)=180°−60°−60°=60°.50．【答案】（1）∠BAD=60°，（2）AD=10．51．【答案】（1）解：①补全图形，如图．

②解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°．

∵线段CA绕点C逆时针旋转α得到线段CD，

∴CA=CD，∠ACD=α．

∴∠CAD=∠CDA=180∘−∠ACD2=90∘−α2．

∴（2）解：线段BE，CE，CF之间的数量关系为CF=BE＋CE．证明：延长EA至点G使得EG=CE，连接CG，如图．

∴∠G=∠ECG．

∵∠CEB=∠G＋∠ECG=2∠G，∠CEB=60°＋α，

∴∠G=30∘+α2．

∵∠AFC=30∘+α2，

∴∠G=∠AFC．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°．

∴△ACF≌△CBG．

∴52．【答案】解：如解图，过点F作FG⊥DC交DC的延长线于点G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=6，∠D=90°.

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠AED=∠GEF+∠AED=90°，

∴∠DAE=∠GEF，

在△ADE和△EGF中，

∠D=∠G∠DAE=∠GEFAE=EF，

∴△ADE≌△EGF(AAS)，

∴AD=EG=6.

∵E为CD的中点，

∴DE=CE=GF=12CD=3，

∴CG=EG-EC=3，

∴53．【答案】（1）解：作图如下，（2）解：∵PE⊥AB，QF⊥AB，PO⊥OQ，∴∠PEO=∠PFO=∠POQ=90°∴∠POE+∠QOF=90°，∠Q+∠QOF=90°，∴∠POE=∠Q.∵PO=OQ，∴△PEO≌△OFQ(AAS)，∴PE=OF=150米，EO=QF=350米，

∴EF=OE+OF=500米。54．【答案】（1）7米；（2）15m；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．55．【答案】解：如图，在BC上截取EG=BD，连接FG，

∵△ABC和△DEF是等边三角形，

∴DE=EF，AB=BC，

∠DEF=∠B=∠ACB=60°，

∵∠DEC=∠BDE+∠B=∠DEF+∠FEG，

∴∠BDE=∠FEG，

在△BED和△GFE中，

DE=EF∠BDE=∠FEGBD=EG，

∴△BED≌△GFE(SAS)，

∴∠B=∠EGF=60°，BE=FG，

∵FG平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ECF=30°，

∵∠EGF=∠GFC+∠FCG，

∴∠GFC=∠GCF=30°，

∴FG=CG=BE，

∵AB=BC，BD=EG，

∴AD=BE+CG=2BE=5，

∴BE=556．【答案】（1）△ADC≌△EDB（2）1<x<4（3）BF=757．【答案】解：由题意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.则∠DCP=∠BPA.在△CPD和△PAB中，因为∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.因为DB=33m，PB=8m，所以AB=PD=33-8=25(m).故楼高AB是25m.58．【答案】（1）证明：由题意得AC∴∴∠ACD+∠BCE=90△∴△ADC（2）解：由题意得AD=2×3=6(∵△∴∴答：两堵木墙之间的距离为20cm.59．【答案】证明：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接ED，∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

在△AED和△ACD中，

AE=AC，∴△AED≅△ACD(SAS)，∴∠∵∠C=2∠B，且∴BE=DE，∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD．60．【答案】（1）3（2）2或361．【答案】（1）60°．（2）90°−1262．【答案】解：过A和B分别作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E，如图：

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACF＋∠BCE＝90°，

∵AF⊥x轴，BE⊥x轴，

∴∠AFC=∠CEB=90°，

∴∠ACF＋∠CAF＝90°，

∴∠CAF＝∠BCE，

在△AFC和△CEB中，

∠AFC=∠CEB=90∘∠CAF=∠BCEAC=BC，

∴△AFC≌△CEB（AAS），

∴FC＝BE，AF＝CE，

∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），

∴OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6，

∴CF＝OF-OC＝4，OE＝CE-OC＝2-1＝1，

∴BE＝4，

∴则B点的坐标是（1，4），

设直线BC的解析式为：y＝kx＋b，

k+b=4−2k+b=0，解得：k=43b=83，

∴直线BC的解析式为：y＝43x＋83，63．【答案】（1）解：由折叠得∠FDE=∠BDE=35°，

∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=35°+35°=70°，

∵FD向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，

∴AC//DF，

∴∠C=∠BDF=70°，

∴∠C的度数是70°．（2）解：∵FD=BD，BC=6，

∴FD+CD=BD+CD=BC=6，

∵AC=FD，AF=CD，

∵AC+FD+AF+CD=2FD+2CD=2(FD+CD)=12，

∴四边形ACDF的周长为12．64．【答案】（1）2<AD<8；（2）AD=365．【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，

∴∠BOC=90°，

∴∠AOB+∠COE=∠BOC=90°，

∵BD⊥OA，

∴在Rt△AOB中，∠AOB+∠B=90∴∠COE=∠B（2）解：在△DOB和△ECO中∠BDO=∠OEC=9∴△DOB≅△ECO(∴OE=BD=8cm∴AE=OA−OE=17−8=9，∴AE的长为9cm．66．【答案】两个排污口之间的水平距离DC为500米67．【答案】（1）BD=AE，CE=AD（2）解：DE=BD+CE，理由如下：由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∴DE=BD+CE；（3）解：存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD=CE=2cm,BD=AE=7cm，∴t=1，此时x=2；当△DAB≌△EAC时，∴AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=AD2=综上：t=1，x=2或t=968．【答案】（1）解：∵∠DMC=90°，

∴∠AMC+∠DMB=90°，

∵∠DBA=90°，

∴∠DMB+∠D=90°，

∴∠AMC=∠D，

根据题意可得：AC=BM=3m，

在△CAM和△MBD中，

∠AMC=∠D∠A=∠B=90°AC=BM，

∴△CAM≌△MBD（AAS），

∴AM=BD，

∵AM=9m，

（2）解：不能，添加条件：AE⊥MD，

先利用（1）的证明方法证出△MBD≌△CBA，

∴BD=AB=9m.69．【答案】（1）BD=CE（2）在△ABD和△ACE中，因为AD=AE，∠DAB=∠EAC=90°，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).所以∠ABD=∠ACE.又因为∠ADB=∠CDF，所以∠DFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠ABD-∠ADB=∠BAD=90°.所以∠BFC=90°.（3）BD=CE且BD⊥CE.理由如下：因为∠CAB=∠DAE=90°，所以∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠DAB=∠EAC.又因为AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).所以BD=CE，∠DBA=∠ECA.因为∠AHB=∠FHC，所以∠BFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-∠HBA-∠AHB=∠CAB=90°.所以BD⊥CE.70．【答案】（1）等边三角形；（2）9371．【答案】（1）证明：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵AB∥CD，

∴∠DCA=∠CAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∴AC是∠EAB的角平分线，

又∵CE⊥AD，CB⊥AB，

∴CE=CB；（2）解：在Rt△ACE与Rt△ACB中，

∵AC=AC，CE=CB，

∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL），

∴AE=AB．

∵AC是∠EAB的平分线，

∴∠EAB=2∠CAE=60°，

∴△AEB是等边三角形，

∴BE=AB；

在Rt△ABC中，

∵BC⊥AB，∠CAB=30°，

∴AC=2BC=4，

∴AB=AC2−BC72．【答案】（1）证明：∵BC=AC，D、E分别是BC和AC的中点，

∴CD=AE=12BC=12AC，

又∵∠DCE=∠BCA=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE，

（2）解：①如图，当点D在△ABC内时，过点C作CF⊥DE，

由（1）可知，若BC=AC，则△CDE为等腰直角三角形，其中CD=12BC=12AC=2，

当B、D、E三点共线时，

∴∠BDC=180°-∠CDE=135°，

∴∠BFC=90°，DF=EF=CF=2，

在Rt△BFC中，BF=BC2−CF2=42−（3）解：如图，过点C作CG⊥CH，交BD于点G，

由（1）同理，∠BCD=∠ACE，

又∵CD=12BC,CE=12AC，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，

由∠BCA=∠GCH=90°，同理可得，∠BCG=∠ACH，

∴△BCG∽△ACH，

∴CGCH=BGAH=BCAC，

又∵∠ABC=30°，

∴tan∠ABC=ACBC=73．【答案】（1）1<AD<5（2）AC∥BM,AC=BM（3）EF=2AD74．【答案】（1）SAS；解：（2）由（1）可知：△ADC≌△EDBSAS∴AC=EB=6，∴AB+BE>AE,AB−BE<AE，∴2<AE<14，即2<2AD<14，∴1<AD<7；（3）证明：延长AD到点H，使得AD=HD，连接BH，如图所示：同理（1）可得△ADC≌△HDBSAS∴AC=HB,∠H=∠DAC，∵AE=EF，∴∠FAE=∠AFE=∠BFH，∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴AC=BF．75．【答案】（1）AD＝BE（2）解：AD＝BE成立．

证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形

∴EC＝AC，BC＝DC，

∠ACE＝∠BCD＝60°，

∴∠ACE＋∠ACB＝∠BCD＋∠ACB，

∴∠ECB＝∠ACD，

在△ECB和△ACD中，

EC=AC∠ECB=∠ACDBC=DC，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

（3）解：∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．

如图2，设BE与AC交于Q，如图所示：

由（2）可知△ECB≌△ACD，

∴∠BEC＝∠DAC，

又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP＋∠QAP＋∠APQ＝∠EQC＋∠CEQ＋∠ECQ＝180°

∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，

∴∠APE＝60°．76．【答案】（1）解：证明：∵∠DAE=∴∠DAE+∠在△ACD与△ABE中，AD∴△ACD≅△ABE(∴CD=BE．（2）解：解：如图2：连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=∴△ADE是等边三角形，∴∵△ABE≅△ACD（理由同（1）），∴BE=CD=4,∠∴BE⊥DE,DE=AD=3，∴BD=B77．【答案】解：图②的结论是BM2+NC2+BM•NC＝MN2．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝30°，

∴∠BAM+∠QAB＝30°，

即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM；

∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，

∴∠QBH＝60°，

∴∠BQH＝30°，

∴BH=12BQ，QH=32BQ，

∴HM＝BM+BH＝BM+12BQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM+12BQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2+BM•BQ＝QM2．

∴BM2+NC2+BM•NC＝MN2．

图③的结论是：BM2+NC2﹣BM•NC＝MN2．

证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝60°，

∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM，

在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，

∴BH=12BQ，QH=32BQ，

HM＝BM﹣BH＝BM−12BQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM−12BQ）2＝QM2，

78．【答案】（1）①如图(2)，由△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

∵点D、F重合，

∴BE=AD=AF，

∵△CDE为等腰直角三角形，

∴DE=EF=2CF，

∴BF=BD=BE+ED=AF+2CF，

即BF-AF=2CF②如图(1)，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由(1)知，△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CAF=∠CBE，BE=AD，∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，

∴∠ACF=∠BCG，

∵∠CAF=∠CBE，BC=AC，

∴△BCG≌△ACF(ASA)，∴GC=FC，BG=AF，故△GCF为等腰直角三角形，则GF=2CF，

则BF=BG+GF=AF+2CF，即BF-AF=2CF；（2）解：BF-kAF=kx2+1·FC，理由如下

如图(2)，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

同理，∠ACD=∠BCF。

又∵BC＝kAC，EC＝kDC，

即BCAC=CECD=k，

∴△ACD∽△BCE，

∴∠CAF=∠CBE，

∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，

∴∠ACF=∠BCG，

∵∠CAF=∠CBE，

∴△BCG∽△ACF，

∴GCCF=BGAF=BCAC=k，79．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°∵AE⊥CE，BF⊥AE，∴∠CEA=∠AFB=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AC，∠CEA=∠AFB，∴△AEC≌△BFA，∴CE=AF，AE=BF，∵EF=AE−AF，∴EF=BF−CE.（2）证明：过B作BF⊥AE，由（1）可知△AEC≌△BFA∴AF=CE，∵BA=BD，BF⊥AE，∴AD=2AF，∴AD=2CE.（3）180．【答案】（1）∠BCE​​​​​​​；50°（2）解：∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，∴∠DCM=∠CDM=45°，

∴DM=CM，

∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）解：681．【答案】（1）SAS（2）1<AD<7（3）解：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，BD=CD∠ADC=∠GDB∴△ADC≌△GDBSAS∴BG=AC，∵AE=EF，∴∠AFE=∠FAE，∴∠DAC=∠AFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∴AC=BF．82．【答案】解：（1）1<AD<5（2）BE+CF>EF，理由如下：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）AF+CF=AB，理由如下：如图③，延长AE，DF交于点G∵AB∥CD∴∠BAG=∠G在△ABE和△GCE中CE=BE∴△ABE≌△GEC(AAS)∴CG=AB∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG=∠GAF∴∠FAG=∠G∴AF=GF∵FG+CF=CG∴AF+CF=AB．83．【答案】尝试探究：见解析；应用：①3②3（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABG=∠D=90°．

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF．

∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,

∴∠BAE+∠DAF=45°

∴∠BAG+∠BAE=45°,

即∠GAE=∠EAF,

又AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AEF,

∴EF=EG,

∴EF=BE+DF（2）①∵CE=2BE=4,∴BE=2,∴BC=CE+BE=4+2=6=CD,设DF=x,则CF=6−x,∵EF=DF+BE,∴EF=2+x，在Rt△CEF中，C∴解得，x=3,∴DF=3,84．【答案】（1）证明：∠ADC=∠ABE，理由如下：

∵△ADB与△ACE均为等边三角形，

∴∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°,∠EAC=∠ACE=∠AEC=60°,AD=AB=BD,AE=AC=CE,

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE,

∴△DAC≌△BAE(SAS)，

∴∠ADC=∠ABE；

（2）解：∵△ACE是等边三角形，BE⊥AC,

∴∠AEB=30°,

由（1）知，△DAC≌△BAE，

∴DC=BE=12,∠ACD=∠AEB=30°,

又∠ACE=60°,

∴∠DCE=∠DCA+ACE=30°+60°=90°,

又CE=AE=5，

∴DE=DC2+CE2=122+52=13；

（3）解：CD2+CE2=BC2，理由如下：

连接BE，如图，

∵∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=45°

∵∠BAC=∠EAD=90°

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

AB=AC85．【答案】（1）AC=BM，AC∥BM（2）△ABC是直角三角形；（3）4386．【答案】解：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE；（2）当∠BAC=∠DAE时，BD=CE仍成立．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，（3）如图，在等腰直角三角形ADE和ABC中，DA=EA，BA=BC，∠BAC=45°，∵DA与DB关于沿着过点D的某条直线对称，∴DA=DB，∴EA=DB，∠DAB=∠DBA，∵∠DAE=∠ABC=90°，∴∠DAB+∠BAE=∠DBA+∠CBD=90°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，EA=DB∠BAE=∠CBDBA=BC，∴△ABE≌△BCD(SAS)，∴∠CDB=∠AEB=45°，∵∠DAB=∠DBA，∴∠DBA=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠AFB=180°−∠BAC−∠DBA=180°−45°−67.5°=67.5°，∴∠CFD=∠AFB=67.5°，（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，

∴∠BAD=∠EAC．

在△ABD和△ACE中

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，（2）解：当∠BAC=∠DAE时，BD=CE仍成立．

理由：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

（3）证明：如图，在等腰直角三角形ADE和ABC中，DA=EA，BA=BC，∠BAC=45°，

∵DA与DB关于沿着过点D的某条直线对称，

∴DA=DB，

∴E