2024高考讲义：统计与概率

2024高考讲义：统计与概率

目录

1.考情分析.....................................................................2

2.排列、组合、二项式定理小题组合练...........................................3

2.1.必备知识精要梳理.........................................................3

2.1.1.两个计数原，里与排列组合...............3

2.1.2.二项式定理...........................................................3

2.2.考向训练限时通关..........................4

2.2.1.考向一两个计数原理.................4

2.2.2.考向二排列组合.................5

2.2.3.考向三二项式定理.................6

3.统计图表小题组合练............................................................6

3.1.必备知识精要梳理.........................................................6

3.1.1.条形统计图及其特点..................6

3.1.2.折线统计图及其特点...................6

3.1.3.扇形统计图及其特点...................7

3.1.4.茎叶图...............................................................7

3.1.5.散点图................................7

3.2.考向训练限时通关.........................................................8

3.2.1.考向一折线疣计图及其应用............8

3.2.2.考向二柱形疣计图及其应用............................................9

3.2.3.考向三频率（数）分布表、频率分布直方图、茎叶图......................11

3.2.4.考向四饼状图及其应用.................12

3.2.5.考向五其他统计图表及应用............13

3.3.考向训练限时通关.........................15

3.3.1.考向一抽样方法................................................15

3.3.2.考向二古典概型..................15

3.3.3.考向三条件概率................................................16

3.3.4.考向四相互独立事件及二项分布........17

3.3.5.考向五正态分布................................................17

4.统计与概率大题...............................................................18

4.1.统计与统计案例..........................................................18

4.1.1.必备知识精要梳理.....................18

第1页共46页

4.2.关键能力学案突破........................................................19

4.2.1.热点一样本的数字特征的应用........................................19

4.2.2.热点二线性回归分析................................................20

4.2.3.热点三非线性回归分析..............................................22

4.2.4.热点四样本的相关系数的应用........................................24

4.2.5.热点五独立性检脸................................................26

5.随机变量及其分布.............................................................27

5.1.必备知识精要梳理.......................................................28

5.1.1.超几何分布.........................................................28

5.1.2.二项分布...........................................................28

5.1.3.正态分布...........................................................28

5.1.4.离散型随机变量的分布列............................................28

5.2.关键能力学案突破.......................................................28

5.2.1.热点一依据频率求概率的综合问题.....................................28

5.2.2.热点二离散型随机变量的分布列......................................30

6.统计与概率问题综合应用.....................................................37

6.1.必备知识精要梳理：离散型随机变量的期望与方差.........................37

6.2.关键能力学案突破.......................................................37

6.2.1.热点一离散型随机变量的期望与方差.................................37

6.2.2.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用.......................39

6.2.3.热点三■统计与概率和函数、导数的综合...............................40

6.2.4.热点四统计与概率和数列的综合......................................42

7.统计案例中的数据分析和数学运算素养........................................44

1.考情分析

计数原理和统计与概率是高中阶段数学的重要内容，也是高考中非常重要

的内容，因其与现实生活联系密切，所以成为高考命制应用题的主要来源，高

考出题频率基本是“两小一大”，排列组合应用题、二项式定理、抽样方法、样

本估计总体、相互独立事件、独立重复试验、条件概率、数字特征等，都可能

在小题中考查，难度一般不大。

统计与概率解答题是高考六道解答题必考题之一，一般以现实生活中的真

实情境为背景，考查回归分析、独立性检验、离散型随机变量的分布列、期

第2页共46页

望、方差等，常与统计图表结合，题目阅读量较大，与实际生活等联系密切,

难度中等.偶尔也可能会与函数、数列、导数等知识综合命题.

2.排列、组合、二项式定理小题组合练

2.1.必备知识精要梳理

2.1.1.两个计数原理与排列组合

(1)两个计数原理

“分类”与“分步〃的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事

件完成则是分类；

如果必须连续若干步才能将事件完成则是分步.分类要用分类加法计数原理

将种数相加；

分步要用分步乘法计数原理将种数相乘。

(2)排列数公式：=n(n-l)(n-2)・...・(n-m+l)=G^(n,m£N*,m<n)o

说明：规定0!=1；

乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式。

⑶组合数公式C：=第=叱-1)：「"1),叩=就痴(m,n£N*,

m<n)0

(4)组合数的性质

性质1:cr=c『m。

性质2：CQi=C7+C，T(mWn,m,n£N*)。

2.1.2.二项式定理

(l)(a+b)n=CRan+Cj,an-lb+...+CAan-rbr+...+C¥bn.通项(展开式的第r+1

项)：Tr+l=Qan-rbr,其中3任=0，1，…，n)叫做二项式系数。

(2)二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

_r

C„=C|{(r=O,1,2,...»n)o

②二项式系数的和等于2n,即CR+禺+C介…+C;J=2n。

③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，

第3页共46页

即禺+髭+cg+...=c：+鬣+C^+...=2n-lo

2.2.考向训练限时通关

2.2.1.考向一两个计数原理

1.（2020山东，3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去

1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安

排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

2.（2020广东珠海三模，10）甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9

楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（）

A.210种B.252种

C.343种D.336种

3。

（2020贵州毕节二诊，13）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的

“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角

三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不

能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）。

4o

（2020山东潍坊二模，15）植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小

组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树

苗，如图所示，其中A,B,C分别与E,F,G关于抛物线的对称轴对称，现

有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点

处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是（用数字作答）。

第4页共46页

5.（2020山东泰安三模，15）甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、

化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不

同的选择种数是；

若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，

则不同的选择种数是.（用数字作答）

2.2.2.考向二排列组合

6.（2020山东聊城二模，4）2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三

保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医

疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任

务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有（）

A.15B.60C.90D.540

7.（2019北京海淀一模，理8）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是

物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上

午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一

节上自习，则他不同的选课方法有（）

第一节第二节第三节第四节

地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班

生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班

物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班

物理B层2班生物B层1班物埋B层1班物理A层4班

政治1班物理A层3班政治2班政治3班

A.8种B.10种C.12种D.14种

8.（2020湖南雅礼中学高三月考，5）中国古代儒家要求学生掌握六种基本

才能：礼、乐、射、御、书、数，也称这六种才能为“六艺”,某校国学社团周末

开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”

和“数”不能相邻，“射”和“乐”必须相邻，贝『'六艺”课程讲座不同的排课顺序共有

（）

A.24种B.72种

C.96种D.144种

9.（2020天津和平区高三一模，8）在国际高峰论坛上，组委会要从6个国

内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中

既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问

第5页共46页

方式的种数为（）

A.378B.306C.268D.198

10.（2020山东济宁三模，15）5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，

那么不同的排法种数是.（用数字作答）；

5人并排站成一行、甲乙两人之间恰好有一人的概率是.（用数字作答）

2.2.3.考向三二项式定理

11.（2020海南海南中学模拟，3）已知（2x-a）6（a是常数）的展开式中含x3项

的系数为-160,则a=（）

A.1B..吗叱

12.（2020全国I,理8）（x4-f）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

13.（多选）（2020海南三亚模拟，10）对于（2x-妥了的展开式，下列说法正

确的是（______）

A.展开式共有6项

B.展开式中的常数项是-240

C.展开式中各项系数之和为1

D.展开式中的二项式系数之和为64

14.（2020山东德州二模,7）（x2-x-a）5的展开式的各项系数之和为-32,则

该展开式中含x9项的系数是（）

A.-15B.-5C.5D.15

3.统计图表小题组合练

3.1.必备知识精要梳理

3.1.1.条形统计图及其特点

条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画出长短

不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，条形统计图也叫柱形

图，条形统计图形象、直观，从图中很容易看出各种数量的多少。

3.1.2.折线统计图及其特点

第6页共46页

折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各

点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多

少，而且能够清楚地表示数量增减变化的情况。

3.1.3.扇形统计图及其特点

扇形统计图中的圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部

分，扇形的大小反映各个部分占总体的百分比的大小，扇形统计图可以很清楚

地表示各部分数量同总数之间的关系，各个扇形所占的百分比之和等于lo

3.1.4.茎叶图

统计中有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶

就是从茎的旁边生长出来的数。

,组织数值数据:茎叶图

•茎叶图（stem・and・leafdisplay）将数据组织成组（称为

茎），因此每组中的值（叶）如同长出的枝条在每行的

右边。

大学生的年龄

所调查白天调查的学生夜晚调查的学生

白天调查的学生

大学

的

的年

生161717181818茎叶茎叶

龄

19192020212216778889918899

2225273238422001225720138

夜晚调查的学生

328323

18181919202142

415

232832334145

BusinessStatistics:AFirstCourse.5e⑥2009Prentice-HaM.Inc.Chap2-13

3.1.5.散点图

表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫作散点图，它可直观地

判断两变量的关系是否可以用线性关系表示，若这些点散布在从左下角到右上

角的区域，则称两个变量正相关；

若这些点散布在从左上角到右下角的区域，则称两个变量负相关。

第7页共46页

3.2.考向训练限时通关

3.2.1.考向一折线统计图及其应用

1.（2020山东威海一模，3）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总

额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高.统计改革开放40年来我国历年

城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结

论错误的是（）

（1978—2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数

—物XlilK切BL•格尔N

A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭

B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高

C.从1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%

D.随着城乡一体化的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越

小

2.（多选）（2020山东菊泽一模，9）Keep是一款具有社交属性的健身APP,

致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式

运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅

如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据Keep记录

的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理

并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步里程逐月增加

第8页共46页

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

3.（多选）（2020山东临沂一模，10）某同学在微信上查询到2010年到2019

年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中

2019年的录取人数被遮挡了.他又查询到2010年到2019年全国高考录取率的

散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（）

2010—2019年全国高考报名人数、录取人数、山东夏季高考报名人数

1000—夕9?$四W华华之〉

•00⑹.—哟「掣独华

♦•'・・•・・

300岭-事"吵6gp侬中?

疗产疗启”

♦全■育牙艘名人制万）

一全01育号量取入效（万）

♦山东J（，高考罐名人数⑸

2010—2019年全国高考录取率

A.全国高考报名人数逐年增加

B.2018年全国高考录取率最高

C.2019年全国高考录取人数约820万

D.2019年山东夏季高考报名人数在全国的占比最小

3.2.2.考向二柱形统计图及其应用

4.（多选）（2020山东聊城二模，10）居民消费价格指数，简称CPI,是一个

反映居民消费价格水平变动情况的宏观经济指标.某年的

E当年的居民消费价格

IMI一

一上一年的居民消费价格X100,以下是2009〜2018年居民消费价格指数的柱形

第9页共46页

图。

从图中可知下列说法正确的是（）

A.2010〜2018年居民消费价格总体呈增长趋势

B.这十年中有些年份居民消费价格增长率超过3%

C.2009年的居民消费价格出现负增长

D.2011年的居民消费价格最高

5.（多选）（2020山东潍坊二模，9）我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量

很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤，比全

球人均粮食产量高了约250斤.如图是中国国家统计局网站中2010〜2019包，

我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据条形图可知在

2010~2019年中（）

■食Tt（千万电

M

646Mly■nnrrmr

6g2

M

Ms^yi口门门口门口门□「

MTtZJLJ□□□□□□OL

s2

50

2010201120122013201430IS2m6201720112019

年年年年年年年年

年末a人口汗万人）

41mni

40“

M

37

36

3M5

aLH^n_JLJLZJQLJLJQLJL

Tnnnnnnrinni

32JLJUNLJLJMLJNLjL

)l-11II11LIIILi_LIir

20103011201220132014201S2016201720182019

年年年年年年年年年年

A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增

B.20U年我国粮食年产量的年增长率最大

C.2015〜2019年我国粮食年产量相对稳定

第10页共46页

D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰

3.2.3.考向三频率（数）分布表、频率分布直方图、茎叶图

6.（2020江西南昌三模，3）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随

机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：

得分345678910

频数231063222

设得分的中位数为me,众数为m0,平均数为x,则（）

A.me=mO=xB.me=mO<x

C.me<mO<xD.mO<me<x

7.（2020山东德州二模，6）某中学共有1000人，其中男生700人，女生

300人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻

炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：每周平均体育锻炼时间不

少于4小时），现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼

时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图.已知在样本数据中，有

40位女生的每周平均体育锻炼时间不少于4小时，根据独立性检验原理

B.有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”

C.有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”

D.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”

8.（2020山东德州一模，6）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用

茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完

好，则下列结论正确的是（）

第11页共46页

i匕

32I

K60

12945678・次

A.甲得分的极差是11

B.乙得分的中位数是18.5

C.甲运动员得分有一半在区间[20,30]±

D.甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高

3.2.4.考向四饼状图及其应用

9.（多选）（2020山东枣庄二调，9产019年4月23日，国家统计局统计了

2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法

正确的是（______）

2019年第一季度人均消费支出及构成

A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元

B.第一季度居民人均收入为4900元

C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多

D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元

10.（多选）（2020山东泰安一模，9）某调查机构对全国互联网行业进行调查

统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位

分布条形图，则下列结论正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980〜1989年之间出生，80

前指1979年及以前出生。

第12页共46页

Bonn忖后从事互・同行Q点位分・阿

硝赴技术i言:w篇

\\/CBI------16M

-----------XWD1M

A.互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多

3.2.5.考向五其他统计图表及应用

11.（2020全国I,理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

V和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，

由实验数据（xi,yi）（i=b2,…，20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为

发芽率y和温度x的回归方程类型的是（〕

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

12.（多选）（2020山东泰安三模，10）某院校教师的情况如下表所示：

类别老年中年青年

年度男女男女男女

20161206024012010040

201721040320200200120

2018300150400270320280

关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正

确的是（）

A.2017年男教师最多

B.该校教师最多的是2018年

C.2017年中年男教师比2016年多80人

D.2018比2016年的青年男教师人数增长了220%

第13页共46页

13.(2020北京东城区一模，10)假设存在两个物种，前者有充足的食物和

生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.

现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数

量以x(t)表示，被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变

化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()

A.若在tl、t2时刻满足：y(tl)=y(t2),则x(tl)=x(t2)

B.如果y(t)数量是先上升后下降的，那么x(t)的数量一定也是先上升后下

降

C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值

D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到

最大值

6.3统计与概率小题专项练

必备知识精要梳理

1.概率的基本性质及常见概率的计算

(1)随机事件的概率：0〈P(A)vl；

必然事件的概率是1:

不可能事件的概率是0o

(2)若事件A,B互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B)°

(3)若事件A,B对立，则P(AUB)=P(A)+P(B)=1。

(4)古典概型的概率模型

古典概型的特点：有限性，等可能性；

事件A中所含的基本事件数

计算公式P(A)=―试验的基本事件总数―

2.条件概率：A发生的条件下B发生的概率P(B|A)二陪。

P(A)

第14页共46页

3.相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)o

4.线性回归方程：回归直线，=经过样本点的中心区刃。

5.在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Pn(k)=C^pk(l-p)n-

ko

6.正态曲线关于直线x=R对称，曲线与x轴之间的面积为1；

随机变量X满足P(a<Xwb)二《叩卬a(x)dx,记作X〜N(p,o2)。

3.3.考向训练限时通关

3.3.1.考向一抽样方法

1.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零

件进行编号,编号分别为001,002,599,600,从中抽取60个样本，如

下提供随机数表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样木

编号为()

A.522B.324C.535D.578

12.(2020止西长治质检，3)由于疫情期间大多数学生都进行网上授

课，某校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对某授课

软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量

为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的

连续偶数，则该校高三年级的人数为()

A.800B.750C.700D.650

3.3.2.考向二古典概型

3.(2020河北衡水中学高三月考，2)不透明的袋子中共有15个除了颜色外

完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个

球中恰有1个白球，1个红球的概率为(______)

4。

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(2020江西萍乡高三检测，8)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周

为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五

珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上

一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、

百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再在这4个档中随机选择两个档位各

拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()

312

A*"D。

5.(2020海南海南中学高三月考，15)一个不透明的袋中有标有号码1,

2,3,4的K片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的

卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为.

3.3.3.考向三条件概率

6.(2020河北石家庄二中高三月考，8)据统计，连续熬夜48小时诱发心脏

病的概率为0.055,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连

续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的

概率为()

A.-B.-C.-D.0.19

73535

7.(2020湖南长沙一中考前模拟，8)某校组织由5名学生参加演讲比赛，

采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一

个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()

AiBiC.|Do

345

8.(2020山东济宁二模，8)己知n是一个三位正整数，若n的十位数字大

于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数.已知a,b,ce

{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成三位正整数”，事件B为“由

a,b,c组成三位正整数为递增数"，则P(B|A)=()

312

A.-B.-C.-Do

51025

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9.(多选)甲罐中有.5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3

个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出--球放入乙罐，分别以Al,A2和A3

表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列

结论中正确的是()

A.P(B)=|

C.事件B与事件A1相互独立

D.A1,A2,A3是两两互斥的事件

3.3.4.考向四相互独立事件及二项分布

10.(2020天津，13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为:和小假定两球

是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；

甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为。

11.(2020湖南株洲一模，15)投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进

行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都

未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家

进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通

过各初审专家评审的概率均为j复审的稿件能通过评审的概率为:，各专家独

立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为.

3.3.5.考向五正态分布

12.(2020山东潍坊高三期末，3)已知随机变量彳服从正态分布N(l,a2),

若P(t<4)=0.9,则P(-2vyi]=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

13.(2020山东青岛一模，3)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人

消费额H单位：元)服从正态分布N(2000,1002),则该市某居民手机支付的

消费额在(1900,2200)内的概率为()

附：随机变量?服从正态分布NQ1,。2),则P(urv《vu+o)=0.6826,P"

2a<^<|i+2a)=0.9544,P(|i-3a<^<^+3o)=0.9974o

A.0.9759B.0.84

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C.0.8185D.0.4772

（多选）（2020山东潍坊五县市联考.10）甲、乙两类水果的鹿量（单位：kg）

分别服从正态分布NQ1,分）,N（n2,分）,其

正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

A.乙类水果的平均质量p2=0.8

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数o2=1.99

4.统计与概率大题

4.1.统计与统计案例

4.1.1.必备知识精要梳理

1.变量间的相关关系

（1）如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，那么我们说

变量x和y具有线性相关关系。

（2）线性回归方程：若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据

,AAAAZ(Xi-x)(yi-y)

(xi,yi)(i=l,2,n),则回归方程为y=bx+a,其中b=f---------

E3广幻2

1=1

2xiyj-nxyAA

异——-,a=y-bxo

£x?-nx

i=i

£XiYi-nxy

（3）相关系数:r=-，当00时，表示两个变量正相关;

'（Zx?-nx2）（Eyf-ny2）

、i=ii=l

当r<0时，表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量相关性越强;

当|r|接近。时，表明两个变量几乎不存在相关性。

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2.独立性检验

对于取值分别是｛xl,x2｝和｛yl,y2｝的分类变量X和Y,其样本频数列联

表是：

yiy2总计

X1aba+b

x2cdc+d

总计a+cb+dn

随机变量K2%+或%北短+d),其中旧+b+c+d。

4.2.关键能力学案突破

4.2.1.热点一样本的数字特征的应用

[例1](2019全国II,文19)某行业主管部门

为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查

[-0.20,[0，[0.20,[0.40,[0.60,

了100个企业，得到这些企业第一季度相对于

0)0.20)0.40)0.60)0.80)

前一年第一季度产值增长率y的频数分布表v

y的分组

企业数22453147

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长

的企业比例；

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用

该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附：V74«8.602o

解题心得(1)在预测总体数据的平均值时，常用样本数据的平均值估计，从

而做出合理的判断。

(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕

平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定。

【对点训练1】(202。辽宁辽南协作校二模，18)数据的收集和整理在当今

社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的经验数

据，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两

人中选一人为正式球员，他收集了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次

数，如下表：

场次第一场第二场第三场第四场第五场

甲283336384s

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|乙3931433933

(1)根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图(茎表示十

位,叶表示个位);

分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；

(2J求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；

(3)主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度

和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为

主教练应选哪位球员?并说明理由。

4.2.2.热点二线性回归分析

【例2】改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2003年

至2012年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)

的折线图，记产业差值为y(单位：万亿元)。

1234S67S910年

注：年份代码1一10分别对应年份2003—2012

(1)求出y关于年份代码t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2003年至2012年我国产业差值的变化情

况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；

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(3)结合折线图，试求出除去2007年产业差值后剩余的9年产业差值的平

均值及方差(结果精确到0.1)o

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=

.£(ti-t)(yj-y)A_A_

三%------,a=y-bto

9年

样本方差公式：s2=-£(yi-y)2o

ni=l

1ioioio

参考数据：9=^Eyi=10.8,X(ti-t)(yi-y)=132,2(孙靖=211.6。

10i=li=li=l

解题心得线性回归分析问题的类型及解题方法

1.求回归直线方程：

总局会大计/9日从若：

零出统■国自力*x二

2.对变量值预测：

(1)若已知回归直线方程(方程中无参数)，进而预测时，可以直接将数值代

入求得特定要求下的预测值；

(2)若回归直线方程中有参数，则根据回归直线一定经过点区已，求出参

数值，得到回归直线方程，进而完成预测。

【对点训练2】(2020河北石家庄模拟，19)下表是我国大陆地区从2013

年至2019年国内生产总值(GDP)近似值(单位：万亿元人民币)的数据表格：

年份2013201420152016201720182019

年份

1234567

代号X

中国大陆

地区GDP：y

(单位：万亿59.364.168.674.082.190.099.1

元

人民币)

以x为解释变量，y为预报变量，若以y=blx+al为回归方程，则相关指

数R汰0.9808；

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若以y=a2+b21nx为回归方程，则相关指数R为0.8457。

(1)判断y=blx+al与y=a2+b21nx哪一个更适宜作为国内生产总值(GDP)近

似值y关于年份代号x的回归方程，并说明理由；

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，求出v关于年份代号x的回归方程(系

数精确到0.01);

(3)党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会

的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口

增长为14.4亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值

的频率直方图如图所示。

以(2)的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超

过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计

值。

77

参考数据：£yi=537.2,£xiyi=2333.5。

i=li=l

参考公式：回归方程j=最+；中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

nn

A£(Xi-50(Yi-y)£XiVj-nxyAA

，=

b=------=n,2=y-bXo

£(Xi-x)2Zx沁/

1=11=1

4.2.3.热点三非线性回归分析

【例3】(2020山东聊城二模，21)个人所得税是国家对本国公民、居住在

本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税•我国在

1980年9月10日第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人

民共和国个人所得税法》.公民依法诚信纳税是义务，更是责任.现将自2013年

至2017年的个人所得税收入统计如下：

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年份201320142015