《信号与系统》课件第1章

第1章信号与系统的基本概念1.1绘出下列信号的波形图：

(1)f1(t)=(3-2e-t)ε(t)；

(2)f2(t)=(e-t—e-3t)ε(t)；

(3)f3(t)=e-|t|ε(—t)；

(4)f4(t)=cosπt［ε(t—1)—ε(t—2)］；

(5)f5(t)=e-tε(cost)；

(6)f6(t)=(1—

)［ε(t+2)—ε(t—2)］；(7)f7(t)=3ε(t+1)—ε(t)—3ε(t—1)+ε(t—2)；

(8)f8(t)=e-t+1ε(t—1)；

(9)f9(t)=cosπt［ε(3—t)—ε(—t)］；

(10)f10(t)=r(t)—r(t—1)—r(t—2)+r(t—3)，式中r(t)=tε(t)。

解此题练习连续信号的波形图表示方法。除应熟悉常用连续指数、正弦和斜升信号波形外，还应特别注意阶跃函数的基本性质以及信号平移、翻转操作对信号波形的影响。题解图1.1

1.2绘出下列信号的图形：

解此题练习离散信号的图形表示方法。要求熟悉常用指数和正弦序列的图形表示、阶跃序列的定义和基本性质以及序列平移和翻转操作对序列图形的影响。题解图1.2

1.3试写出题图1.1各信号的解析表达式。题图1.1

1.4判定下列信号是否为周期信号。若是周期信号，则确定信号周期T。

解(1)若有两个周期分别为T1和T2的连续信号相加，当T1/T2为有理数时,其和信号亦是周期信号,相应周期为T1和T2的最小公倍数；否则,当T1/T2为无理数时,其和信号是非周期信号。因sint的周期T1=2πs,

sin2t的周期T2=πs，且T1/T2=2为有理数,故f1(t)是周期信号,它的周期为2πs。

(2)因sin2t的周期T1=πs,

cosπt的周期T2=2s,且T1/T2=π/2为无理数，故f2(t)是非周期信号。

(3)因cost的周期为T1=2πs,

sin的周期为T2=

且T1/T2=为无理数,故f3(t)是非周期信号。

(4)在f4(t)中，的周期分别为

其最小公倍数是1392π,故

f4(t)是周期信号，周期为1392πs。

(5)信号Asint的周期为2π,自乘三次后，没有改变信号瞬时值变化周期，故f5(t)是周期为2πs的周期信号。

(6)因

均是周期为3的周期序列，故f6(k)也是以3为周期的周期序列。

1.5已知连续时间信号x(t)和y(t)分别如题图1.2(a)、(b)所示，试画出下列各信号的波形图：

(1)x(t-2)； (2)x(t-1)ε(t)；

(3)x(2-t)； (4)x(2t+2)；

(5)y(t+2)； (6)y(t+1)ε(-t)；

(7)y(-2-t)； (8)y(－1)；

(9)x(t)+y(t)； (10)x(t+1)·y(t－1)。题图1.2

解

(1)将x(t)波形右移2个单位,得到题(1)波形如题解图

1.5-1所示。

题解图1.5-1

(2)将x(t)波形右移1个单位,再结合单位阶跃信号的单边特性，画出题(2)波形如题解图1.5-2所示。题解图1.5-2

(3)由于x(2-t)=x［-(t-2)］,故可将x(t)波形“翻转”后，再右移2个单位,画出题(3)波形如题解图1.5-3中的f3(t)所示。题解图1.5-3

(4)按照“展缩-平移”方式，将x(t)波形“压缩”后，再左移1个单位；或者按照“平移-展缩”方式，先将x(t)波形左移2个单位,再将波形“压缩”，均可画出题(4)波形。波形绘制过程如题解图1.5-4所示。题解图1.5-4

(5)将y(t)波形左移2个单位，即得题(5)波形(见题解图

1.5-5)。题解图1.5-5

(6)将y(t)波形左移1个单位，再截取t<0部分，即为题(6)波形(见题解图1.5-6)。题解图1.5-6题解图1.5-7题解图1.5-8

(9)两个连续信号相加,任一时刻的和信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。题(9)信号波形如题解图1.5-9所示。题解图1.5-9

(10)两个连续信号相乘，任一时刻的积信号值等于两信

号在该时刻的信号值之积。题(10)信号波形如题解图1.5-10

所示。题解图1.5-10

1.6已知离散时间信号x(k)和y(k)分别如题图1.3(a)、(b)所示，试画出下列序列的图形：

(1)x(k+2)；

(2)x(k+2)ε(1-k)；

(3)y(k)［ε(k-1)-ε(-k-1)］；

(4)y(k)-y(-k)；

(5)x(k)+y(k)；

(6)x(k+2)y(k-2)。题图1.3

解与连续信号类似,对于序列信号,也可以应用图形翻转、平移操作，结合信号的基本运算，直接画出给定序列的图形。

(1)将x(k)图形左移2个单位,画出题(1)序列图形如题解图1.6-1所示。题解图1.6-1

(2)先画出x(k+2)图形,并考虑到ε(1-k)=ε［-(k-1)］,仅在k≤1时取值为1,故在x(k+2)图形中,截取k≤1部分就是题(2)序列的图形(见题解图1.6-2)。题解图1.6-2

(3)因为

所以题(3)序列图形如题解图1.6-3所示。题解图1.6-3

(4)先画出y(k)、y(-k)图形，然后进行相减运算，得到题

(4)序列图形如题解图1.6-4所示。题解图1.6-4

(5)和序列图形如题解图1.6-5所示。题解图1.6-5

(6)先画出x(k+2)、y(k-2)图形，再进行相乘运算，画出积序列图形（见题解图1.6-6）。题解图1.6-6

1.7已知信号x(t)、y(t)的波形如题图1.2所示，分别画出

的波形。

解通过观察x(t)和y(t)波形，直接画出

波形(见题解图1.7)。应特别注意，当x(t)、y(t)的信号值发生跳变时,会在相应时刻的波形中呈现冲激信号，其冲激强度取决于信号值跳变的方向和幅度。题解图1.7

1.8已知信号f(t+1)的波形如题图1.4所示，试画出

的波形。题图1.4

解首先，应用信号平移、展缩操作，由f(t+1)波形画出

波形，然后求导并画出

的波形。具体过程参见题解图1.8。题解图1.8

1.9分别计算题图1.3中信号x(k)、y(k)的一阶前向差分、一阶后向差分和迭分。

解

x(k)的一阶前向差分:

x(k)的一阶后向差分:

x(k)的迭分:

y(k)的一阶前向差分:

y(k)的一阶后向差分:

y(k)的迭分:

1.10画出下列各信号的波形图：

(1)f1(t)=ε(t2-4)；

(2)f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1);

(3)f3(k)=ε(k2-4)；

(4)f4(t)=δ(2t-4)。

解

(1)f1(t)=ε(t2-4),波形如题解图1.10-1所示。题解图

1.10-1

(2)f2(t)=δ(t+1)-δ(t-1),波形如题解图1.10-2所示。题解图

1.10-2

(3)f3(k)=ε(k2-4),波形如题解图1.10-3所示。题解图1.10-3

(4)f4(t)=δ(2t-4)=

δ(t-2),波形如题解图1.10-4所示。题解图1.10-4

1.11计算下列各题。

1.12如题图1.5所示电路，输入为is(t)，分别写出以i(t)、u(t)为输出时电路的输入输出方程。题图1.5

解对题解图1.12，写出节点a的KCL方程:

i=is—iL

①

或写成

iL=is—i ②

写出节点b的KCL方程:

③

写出回路l的KVL方程:

④

(1)将式④代入式③得

⑤

再将式②代入式⑤,整理得以i为输出时的输入输出方程:

(2)将式①代入式④得

⑥

再将式③代入式⑥,

并整理得以u为输出时的输入输出方程为

题解图1.12

1.13如题图1.6所示电路，输入为us(t),试写出u(t)为输出时电路的输入输出方程。题图1.6

解为简化微、积分算符表示，本题采用第2章将要介绍的微、积分算子概念求解。画出p算子电路模型如题解图1.13所示，图中i1(t)和i2(t)为网孔电流。列出网孔方程：题解图1.13

因为所以

电路输入输出方程为

1.14设某地区人口的正常出生率和死亡率分别为α和β，第k年从外地迁入的人口为f(k)。若令该地区第k年的人口为y(k)，写出y(k)的差分方程。

解设第(k－1)年的总人口数为y(k－1),经一年后净增人口数为(α－β)y(k－1),第k年迁入的人口数为f(k),故第k年的总人口数为上述三部分之和，即

y(k)=y(k－1)+(α－β)y(k－1)+f(k)

整理得

y(k)-(1+α－β)y(k－1)=f(k)

这是一个一阶差分方程。

1.15某经济开发区计划每年投入一定资金，设这批资金在投入后第二年度的利润回报率为α%，第三年度开始年度的利润回报率稳定在β%。试建立预测若干年后该经济开发区拥有的资金总额的数学模型。

解设k年后开发区拥有资金总额为y(k),第k年投入资金为f(k)。按题意，第(k－1)年投入资金f(k－1)在第k年度增长为(1+α)f(k－1),而资金y(k－2)在第k年度增长为(1+β)y(k－2)。因此，k年后开发区拥有的总资金额可表示为

y(k)=(1+β)y(k－2)+(1+α)f(k－1)+f(k)

或写成

y(k)－(1+β)y(k－2)=f(k)+(1+α)f(k－1)

显然，这是一个二阶差分方程。

1.16写出题图1.7所示电路的状态空间方程。(以iL、uC为状态变量，i和u为输出。)题图1.7

解标记节点a、回路l、支路电流iC(t)如题解图1.16所示，分别写出节点a的KCL方程和回路l的KVL方程：题解图1.16整理式①、②得状态方程：

观察电路图，直接写出输出方程:

1.17写出题图1.8系统的输入输出方程。题图1.8题解图1.17

解

(a)标记辅助变量x(t)及其导函数x′(t)如题解图1.17(a)所示，并在两加法器输出端写出辅助等效方程：

①

②

对式①、②求导得

③

④应用式③、②、①，将式④改写为

整理得系统输入输出方程:

或者，根据系统输入输出方程与等效方程①、②之间的系数对应关系直接写出上述输入输出方程。

(b)标记y′(t)、y″(t)如题解图1.17(b)所示，因为

所以,系统输入输出方程为

(c)标记x(k)、x(k－1)如题解图1.17(c)所示,在加法器输出端写出辅助等效方程：

①

②

由式①、②得

③

④将式①、③代入式②并考虑到式④,可得

所以，离散系统输入输出方程为

(d)标记x(k)、x(k－1)、x(k－2)如题解图1.17(d)所示，写出辅助等效方程：

①

②由式①、②分别写出:

③

④

⑤

⑥

将式①、③、④代入式②,并注意式⑤、⑥之间的关系，最后整理得离散系统输入输出差分方程为

1.18设系统的初始状态为x(t0)，输入为f(t)，全响应为y(t)，试判断以下系统是否为线性系统，并说明理由。

解

(1)否(不满足系统响应可分解性)。

(2)否(不满足零状态线性)。

(3)否(不满足零输入线性)。

(4)是(分别满足响应可分解性、零输入和零状态线性)。

1.19设系统的初始状态为x1(0)和x2(0)，输入为f(·)，全响应为y(·)，试判断下列系统的性质(线性/非线性，时变/时不变，因果/非因果，稳定/不稳定)。

解

(1)是线性、时不变、因果、稳定系统。

(2)是非线性、时不变、因果、不稳定系统。

(3)是非线性、时不变、因果、稳定系统。

(4)是线性、时变、非因果、稳定系统。

(5)是非线性、时不变、因果、稳定系统。

(6)是线性、时变、非因果、不稳定系统。

1.20证明连续时间线性、时不变系统具有以下微分特性和积分特性。

若

则

式中，yzs(t)为系统在激励f(t)作用下产生的零状态响应，初始观察时刻t0=0。

证因为

令Δt－→0,结合导函数定义，有

所以微分特性成立。

1.21设某线性系统的初始状态为x1(0－)、x2(0－)，输入为f(t)，全响应为y(t)，且已知：

试求当f(t)=0，x1(0－)=5,

x2(0－)=3时的系统响应y(t)。

解零输入线性，包括零输入齐次性和零输入可加性。因激励f(t)=0,故系统零状态响应yzs(t)=0。对于零输入响应，

已知根据零输入线性，可得

所以，系统响应

1.22在题1.21的基础上，若还已知f(t)=ε(t),

x1(0－)=

x2(0－)=0时，有

试求f(t)=3ε(t),x1(0－)=2,x2(0－)=5时，系统的响应y(t)。

解系统的线性特性包括全响应的分解特性、零输入和零状态响应的线性特性。

因为所以，根据系统的线性特性，当f(t)=3ε(t),

x1(0－)=2,

x2(0－)=5时,有

1.23某线性系统，当输入为ε(t)，初始状态x1(0－)=1,

x2(0－)=2时，系统的全响应y(t)为

当系统初始状态不变，输入为3ε(t)时，全响应为

(1)求初始状态为x1(0－)=1,

x2(0－)=2时，系统的零输入响应yzi(t)；

(2)求输入为2ε(t)时系统的零状态响应yzs(t)。

解设初始状态x1(0－)=1,

x2(0－)=2时,系统的零输入响应为