24.1.3 弧、弦、圆心角 人教版数学九年级上册教案

24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角教学目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.教学难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.教学导入SHAPE一、知识链接1.已知△AOB，作出绕O点旋转45°，60°的图形.2.想一想圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？教学过程二、要点探究探究点1：圆心角的定义问题1观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？概念学习.顶点在圆心的角，叫做圆心角，如∠AOB.判一判判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.如图,圆心角∠AOB所对的弧为SKIPIF1<0.圆心角∠AOB所对的弦为AB.想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？探究点2：圆心角、弧、弦之间的关系观察1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？问题1在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？问题2如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？要点归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？辨一辨1.等弦所对的弧相等.()2.等弧所对的弦相等.()3.圆心角相等，所对的弦相等.()探究点3：圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用典例精析例1如图，AB是⊙O的直径，SKIPIF1<0，∠COD=35°，求∠AOE的度数.例2(教材P84例3)如图，在⊙O中，SKIPIF1<0，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.例3如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，SKIPIF1<0.求证：AB＝CD.变式1如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．变式2如图，在⊙O中，DC=AB，求证：AD=BC．课堂小结弧、弦、圆心角圆心角定义顶点在圆心的角弧、弦、圆心角的关系定理及推论在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．应用提醒①要注意前提条件；②一条弦对应两条弧；③要灵活转化.当堂检测1.如果两个圆心角相等，那么()A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于.3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．(1)如果AB=CD，那么，．(2)如果SKIPIF1<0，那么_________，．(3)如果∠AOB=∠COD，那么，．(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？4.已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：SKIPIF1<0．能力提升：如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么SKIPIF1<0成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？参考答案自主学习一、知识链接1.解：图略；2.解：是，对称中心为圆心.课堂探究二、要点探究探究点1：圆心角的定义问题1：顶点在圆心上判一判①②③不是圆心角，因为三个角的顶点均不在圆心上；④是圆心角，探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系观察：1.重合，圆是中心对称图形.重合，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性问题1在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，弦AB=弦CD.问题2成立.想一想不能去掉；如图，显然，SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0，弦AB＞弦CD.辨一辨：1.×2.√3.×探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用典例精析例1解：∵SKIPIF1<0，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°，∴∠AOE=180°-3×35°=75°.例2:证明：SKIPIF1<0,∴AB=AC．△ABC是等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例3：证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴AB=CD.变式1：证明：∵AD=BC，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴DC=AB.变式2：证明：∵DC=AB，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴AD=BC.当堂检测1.D2.60°3.（1）SKIPIF1<0∠AOB=∠COD（2）AB=CD∠AOB=∠COD(3)SKIPIF1<0AB=CD（4）解：OE=OF.理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AE=SKIPIF1<0AB，CF=SKIPIF1<0CD.∵AB=CD，∴AE=CF.∵OA=OC，∴Rt△AOE=Rt△COF.∴OE=OF.4.证明：∵AB=CD（已知），∴SKIPIF1<0.∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD．5.证明：∵OB=OD，∴∠D=∠B，∵BD∥OC，∴∠D=∠COD，∠AOC=∠B，∴∠AOC=∠COD，∴SKIPIF1<0能力提升答：SKIPIF1<