第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程单元检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册一、单选题1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A． B．或 C． D．以上都不对3．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（

）

A． B． C． D．4．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．25．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（

）A． B． C． D．26．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（

）A．B．的最大值为25C．的最小值为9D．若，则的面积为三、填空题9．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将AB表示为的函数，则AB的最大值是.10．请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程：.11．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为.12．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．四、解答题13．设椭圆的离心率为，短轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.①若直线与轴相交于点，且，求的值；②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？14．如图，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若两点关于原点对称，求双曲线的离心率.15．已知动点与点的距离比其到直线的距离小1.(1)求动点的轨迹方程；(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.16．已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若，求的余弦值；(3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.参考答案：题号12345678答案CACBBBABDAB1．C【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及圆的切线长定理可得，再借助两点间距离公式列式求解即得.【详解】依题意，，设椭圆的半焦距为，点，令的内切圆切的切点分别为，，联立解得，则，消去得：，所以椭圆的离心率.故选：C2．A【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点，于是得，解得，所以所求椭圆方程为.故选：A3．C【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：C.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）.4．B【分析】根据条件先确定出双曲线的顶点坐标，然后根据所过点求解出的值，由此可求的值，则离心率可求.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以顶点在轴上，因为椭圆的左右顶点为，所以，因为双曲线过点，所以，所以，所以，所以，故选：B.5．B【分析】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果.【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，有，又F1,0，所以，联立，得，设，则，由抛物线的定义，.故选：B.

6．B【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于的等式，即可得解.【详解】对于抛物线，，可得，，故该抛物线的焦点为，由题意可知，椭圆的右焦点为，则，解得，故选：B.7．ABD【分析】根据椭圆、双曲线、圆的标准方程得出相应的的取值范围，可得ABD正确，再根据抛物线标准方程可C错误.【详解】由椭圆标准方程可知当且时，即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确；由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确；由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误；根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确.故选：ABD8．AB【分析】利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可.【详解】设Px,y，则，.对于A，有，，故A正确；对于B，有，且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，有，故C错误；对于D，此时，所以.从而，故D错误.故选：AB.9．2【分析】对进行分类讨论，和分开讨论，将AB表示为的函数，通过转化结合基本不等式求解.【详解】由题意知，，当时，切线的方程为，点A，的坐标分别为，，此时；当时，同理可得；当时，设切线方程为，

由得，设A，两点两点坐标分别为x1,y1，，又由于圆相切，得，即，所以，由于当时，，所以，，，当且仅当时，，综上，AB的最大值为2．故答案为：210．（答案不唯一）【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在y轴上，可得，即可得解.【详解】设所求双曲线的方程为，因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以，则可取，所以所求双曲线的方程为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）11．/【分析】根据圆和曲线y2=2pxp>0关于轴对称，设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线y2=2pxp>0关于设切线方程为，，所以2k1+k2由解得：或，即，所以，解得：．故答案为：.12．/【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造中点坐标与的关系，结合离心率公式即可求解.【详解】设直线与椭圆相交于，由，直线的斜率，由，得，整理得，所以，故椭圆的离心率为.故答案为：.13．(1);(2)①，②不存在.【分析】（1）利用椭圆方程的知识，即可求解；（2）①利用直线与椭圆联立方程组，把转为坐标关系，再结合韦达定理，即可求解；②先假设存在平行关系，再利用斜率关系转化为坐标关系，同样结合韦达定理，求解判断.【详解】（1）由题意，有，，，解得，故椭圆的方程为.（2）根据题意可知直线，与联立，得，其中Δ=设，，.①由，则有，即，有，解得.②由椭圆方程可知上下顶点，假设存在直线平行于直线，有，有，又，有，得，有，代入，得，则有，代入，有，整理，得，有，显然矛盾，故不存在实数，使直线平行于直线.14．【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为，连接，依题意，是以为顶点的等腰直角三角形，两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，设，则，由，即，整理得故双曲线的离心率为：15．(1)(2)最小值为，或【分析】（1）利用抛物线的定义得解；（2）设，求出即得解.【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等，所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，因此动点的轨迹方程为.（2）设，由两点间的距离公式得：，当，即时，，即当或时，点与点的距离最小，最小值为.16．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知；（2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出；（3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在.【详解】（1）由题意可知：，解得，所以双曲线的方程为：；（2）因为，所以，且，所以,所以的余弦值为.（3）假设存在满足要求，当的斜率不存在时，，由解得，所以，所以不垂直