2024-2025学年广东省惠州市惠州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过点A(1,3)和B(0,23A.30° B.45° C.60° D.120°2.直线l1：(a2−4)x+y−1=0，直线l2：x+(a−2)y+3=0，则直线l1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知两个非零向量a=(a1,A.1|a|a=1|b|b B.4.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2ECA.−13a−13b+15.已知椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设A(A.54 B.2 C.52 6.已知圆C1：x2+y2−2mx+m2−1=0和圆A.6 B.36 C.10 D.7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A−BD−C的平面角的大小为π3，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则BE⋅CF的取值范围为A.[−1,0] B.[−1,14] C.[−8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若|PB||PA|=λ(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系中，已知O(0,0)，Q(0,2)，直线l1：kx−y+k+3=0，直线l2：x+ky+3k+1=0，若P为l1A.66 B.13−32 C.14−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆x2m+y22=1，c=1，则caA.13 B.33 C.10.已知点P(−2,−1)到直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d，则d的可能取值是(

)A.0 B.1 C.13 D.11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内.若点M在四边形BCDE内(包含边界)运动，N为AE的中点，则(

)A.当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为π3

B.当MN//平面ACD时，点M的轨迹长度为22

C.当MA⊥ME时，点M到BC的距离可能为3

D.存在一个体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若13.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为32.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，14.在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆(x−1)2+(y+1)2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,0).求：

(1)BC边上的中线所在的直线方程；

(2)AB边垂直平分线方程．16.(本小题15分)

著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S=abπ，(a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长)为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：x218+y29=1．

(1)求C的面积；

(2)若直线l：x+2y−3=0交C于17.(本小题15分)

如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=3，CF=1．

(1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(2)求平面BDE与平面BDF的夹角．18.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为3的直线l过椭圆的焦点以及点(0,−23).点P是椭圆C上与左、右顶点不重合的点，且△PF1F2的面积最大值22．

(1)求椭圆19.(本小题17分)

蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为x2+(y−b)2=r2，直线x=my与圆M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线x=ny与圆M交于E(x3,y3)，F(x4,y4).原点O在圆M内.设CF交x轴于点P，ED交x

参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BC

10.AB

11.ACD

12.1713.214.(115.解：A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)．

(1)BC中点坐标为E(3,32)，直线AE的斜率kAE=1−321−3=14，

所以BC边上的中线所在的直线方程为y−32=14(x−3)，即x−4y+3=0；

(2)AB中点坐标为(32,2)，

直线16.解：(1)椭圆C的方程为x218+y29=1，

∴a2=18，b2=9，

∴a=32，b=3，

∵椭圆C的面积S=πab=92π．

(2)17.解：(1)以A为原点，AB，AD，AE分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,3)，C(2,3,0)，F(2,3,1)，

(1)设平面BDE法向量m=(x,y,z)，BD=(−2,2,0)，BE=(−2,0,3)，

则−2x+2y=0−2x+3z=0，令z=2，则x=3，y=3，所以m=(3,3,2)，

因为CE=(−2,−3,3)，设直线CE与平面BDE所成角为θ，

则sinθ=|cos〈CE,m〉|=|CE⋅m|CE||m||=|−6−9+622×22|=922，

所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值922．

(2)设平面BDF法向量n=(x,y,z)，BD=(−2,2,0)，BF=(0,3,1)，

则−2x+2y=03y+z=0，

令x=1，则y=1，z=−318.解：(1)直线l：y=3x−23，∵直线l过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为(2,0)，

则c=2，又△PF1F2的面积最大值22，则bc=22，

所以b=2，a2=6，b2=2，

故椭圆C的方程为x26+y22=1. (∗)

(2)①当直线m的斜率存在时，设m：y=k(x+2)，

代入(∗)整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2−6=0，

设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则x1+x2=−12k23k2+1，x1⋅x2=12k2−63k2+119.解：(1)当b=0，r=5，m=−12，n=2时，

圆M：x2+y2=5，

直线CD：x=−12y，由x2+y2=5x=−12y⇒x=−1y=2或x=1y=−2，故C(−1,2)，D(1,−2)；

直线EF：x=2y，由x2+y2=5x=2y⇒x=−2y=−1或x=2y=1，故E(2,1)，F(−2,−1)．

所以直线CF：y+12+1=x+2