2024中考数学考试易错模型03 最值模型（八大易错分析+变式训练+易错题通关）（解析版）

易错模型03最值模型

易错模型一：将军饮马模型

模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)

【模型解读】在一条直线m上，求一点P,使产8最小;

(1)点A、8在直线m两侧：(2)点4、8在直线同侧:

A

/B

A'

【最值原理】两点之间线段最短。上图中＜’是A关于直线机的对称点。

模型2.求多条线段和(周长)最小值

【模型解读】在直线〃上分别找两点P、。，使R1+PQ+QB最小。

(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧，一个点在外侧:

A

in

、g\

B'

（3）两个点都在内侧:

B'

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、3位于直线〃?,〃的内侧，在直线〃、/〃分别上求点。、E点,使得围成的四边形

AOE4周长最短.

2）已知点A位于直线〃的内侧，在直线〃?、〃分别上求点。、。点8I+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例I.（2023•广东广州•校考一模）如图，在-ABC中，的面积为加，AB=2五,8。平分/A8C,

E、F分别为BC、B/）上的动点，则CF+E尸的最小值是（）

A

C.2D.石

【答案】D

【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，

通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.过点C作C”_LA8,垂足为”，交BD于尸点，

过/点作正，_L4C,垂足为£,则b+E/为所求的最小值，根据工AC的面积为加，A8=2夜，结

合三角形的面积公式求出C"=6,即可解答.

（详解］解：如图，过点C作_LA4,垂足为“，交于尸点，过尸点作FE'1BC,垂足为E'.则CF+EF

为所求的最小值,

•••BO是NA8C的平分线，・•・"7=£尸，・・・C〃是点C到直线A8的最短距离（垂线段最短）,

,**A8c的面积为Jid,AB-2\/2>*,•CH--=\/5,

Tb+E/的最小值是。尸+£/=。/+/77=677=方.故选：D.

例2.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，正方形48C。的边长为4,点七在边4c上，且BE=l,F为

对角线上一动点，连接C尸，EF,则C/+E尸的最小值为.

【答案】717

【分析］连接AE交8。于♦点F,连接C广，根据正方形的对称性得到此时CF+£E=AE最小，利用勾股

定理求出AE即可.

【详解】解：如图，连接AE交3D于一点八连接。尸,

•・•四边形A8CO是正方形，.••点A与点C关于8。对称，・・・4尸=。尸,

：.CF+EF=AF+EF=AE.此时C/+M最小,

•・•正方形A8CO的边长为4,・・.4）=4,N4BC=90。，•・•点E在A8上，且破=1,

***AE=VAB2+BE2=44,+F=JT7，即CF+EF的最小值为J万根答案为：JT7.

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

练习1.（2022•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，菱形A3CD,点A、3、C、。均在坐标轴上，ZABC=120°,

点A（-3,0）,点E是C£＞的中点，点/＞是。C上的一动点，则PD+PE的最小值是（）

A.3B.5C.2&D.-V3

【答案】A

【分析】直线AC上的动点P到£。两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由。关于直线AC的对称点

B,连接8瓦则线段"的长即是PD+PE的最小值.

【详解】如图：连接//，•・•菱形A4CO,・・・8、。关于直线4C对称,

•・•直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小

・•・根据“将军饮马''模型可知花长度即是PQ+PE的最小值.

,・•菱形A88,ZABC=120°,点4（-3,0）,AZCDB=60°,ZDAO=30°,OA=3,

.・.OD=&AD=DC=CB=2g;丛CDB是等边三角形?.BD=2石

•・•点七是CQ的中点，，。£=48=>/5,且8£1。。，JBEZBD'DE】=3故选:A.

【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.

练习2.（2023・山东济宁•九年级校考期末）如图，44是〈。的直径，点C、。是：O上的点.且OD〃BC,

AC分别与BD、OD相交于点E,F.若：O的半径为5,ZZXM=80°,点P是线段AB上任意一点，则PC+PD

的最小值是.

【答案】5G

【分析】利用圆周角定理得到NAC8=90。，再证明O/_LAC,然后根据垂径定理得，AO=C£>，作。点关

于AB的对称点C',交于P,连接。C,如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+P。的值最小，

再计算出NOOC'=120。，作OHJ.力C于〃，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三

边的关系求出从而得到PC+尸D的最小值.

【详解】解：・・•川是。。的直径，・・・NAC8=90°,

♦：OD〃BC,AZOEA=90°,：.OFLAC,AAD=CD^

作C点关于AB的对称点C',CD交八B于P,连接点C,如图,

•:PC=PC,・•・PD+PC=H?+PC=OC',・••由两点之间线段最短可知，此时尸C+0。的值最小，

,?AD=CD././COD=/AOD=80°./ROC=20°.

•・•点C和点C'关于AB对称，・•・NCOB=20°,ZDOC=120c,

作于〃，如图，则NOD"=30。，则CH=DH,

在RtO”£）中，OH=-OD=-,DH=4OD~-OH~=^OH~-OH1=sf30H=—,

222

••・DC'=2O〃=5G，・••尸C+尸。的最小值为5百.故答案为：5省.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径

定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.

练习3.（2023•湖北黄冈•统考模拟预测）如图，点E是线段8C上的一个动点，A8+QC=2a,8C=4,且

/8=NC=135,则AE+OE的最小值是一.

【答案】2M

【分析】作点A关于线段BC的对称点片连接BF,DF,DF交BC于点、O,连接AO,过点/作FH/3C,

交DC的延长线于点”，过点。作。G_L"尸，交切的延长线于点G,由题意易得N尸8C=/0C8=135。，

则有B厂〃C”,然后可得四边形班HC是平行四边形，进而可得?〃-4,推出。”=2&，勾股定理求出

的长即可得解.

【详解】解:作点A关于线段4c的对称点儿连接班;尸交BC于点O,连接40,过点尸作

交QC的延长线于点〃，过点。作。GJ_",交尸，的延长线于点G,如图所示：

由轴对称的性质可知：ZABC=ZFBC-1350-ZDCB,AO=FO,AB=BF,

/.BF//CH,,:FH〃BC,・•・四边形8/HC是平行四边形，：.FH=BC=4、BF=CH=AB,

VAB+DC=2x/2»:・CH+CD=DH=20，

当点上与点0重合时，则AE+OE的最小值即为FO的长，

•:FH〃BC,；・/FHC=/DCB=135°,,NDHG=45。,

VDGA.HF,ZDG//=90°,：.N/7DG=45。=NO/7G,

GH=GD,DH=yjGH2+DG2=>J2DG，*'eGH=DG=DH=2,・，.FG=FH+GH=6

•**FD=ylFG2+DG2=2x/10»・••即AE+OE的最小值为2屈；故答案为2加・

【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质,

熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键.

1.已知幺。8=30。，在NAOB内有一定点、P,点M,N分别是Q4,。8上的动点，若.PMN的周长最小值

为3,则0P的长为（）

A.1.5B.3C.3君D.3正

【答案】B

【分析】根据题意画出符合条件的图形，^.W\OD=OE=OP,ZDOE=60°,得出等边三角形DOE,求出

DE=3,求出PMN的周长=即可求出答案.

【详解】解：作P关于。4的对称点。，作?关于。8的对称点E,连接。E交。4于M,交。6于M连接

PM,PN,则此时「PMN的周氏最小，

连接ODOE,

•:P、。关于。4对称，

：・OD=OP,PM=DM、

同理。石=OP,PN=EN、

：，OD=OE=OP,

•••P、。关于Q4对称，

：.OALPD,

•：OD=OP,

/.^DOA=NPOA,

同理NQO4=N£YM,

^DOE=2ZAOB=2x30。=60。，

•：OD=OE,

・•.出是等边三角形，

:.DE=OD=OP,

*/PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3,

・•・OP=3

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形.

2.如图，在矩形A8C。中，AB=8,4）=4,点E是矩形48。内部一动点，且4£。=90。，点尸是AB边

上一动点，连接P。、PE,则PO+尸石的最小值为（）

AB

c.10D.46一2

【答案】A

【分析】根据々EC=90°得到点的运动轨迹，利用''将军饮马”模型将夕£进行转化即可求解.

【详解】解：如图，设点。为的中点，由题意可知，

点E在以BC为直径的半圆。上运动，作半圆。关于人8的对称图形（半圆O,）,

点E的对称点为耳，连接。为，贝！尸石=夕耳，

・•・当点。、P、£、。，共线时，PD+庄的值最小，最小值为。目的长，

如图所示，在Rl力C。中，6=8,8=6、

/.ZX>'=>/82+62=10»

又•.。6=2,

,

DEt=DO-O'El=8,即尸。+尸E的最小值为8,

故选：A.

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE进

行转化时解题的关键.

3.如图，正方形ABC。中NNCD=22.5。，点P是。V上一点，若8=8,CM=J5，则PM+叨的最小

值是.

【分析】连接AC,在AC上取一点使CAT=CM=夜，连接尸M',DM',结合全等三角形的性质,

PM+PD=PMr+PM>MfD,可确定PM+PD的最小值是MD的长，再求出MD的长即可.

【详解】解：连接4C,在4c上取一点使OVT=CM=0，连接RW',DM',过点M'作ME上CD

/.ZACD=45°,

■:Z7VCD=22.5°,

：・NCP=AMCP,

CM'=CM

在△ATCP和，MCP中，NM'CP=NMCP,

CP=CP

△MCP^MCP(SAS),

・•・PM'=PM.

・•・PM+FD-PM'+PMNM'D，

:.PM+PD的最小值是MD的长.

在RtMCE中，C"=&,NMCE=45。，即ZW'CE为等腰直角三角形,

・•・M£=CE=1,

•・•CD=8,

：.DE=CD-CE=7,

在Rt/AfDE'p,

由勾股定理，得M'DNME'DE?=Jf+7"=5丘，

:.PM+P/）的最小值是5&.

故答案为：5\/2.

【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的

性质，根据“将军饮马问题”利用轴对称将问题转化为用•条线段的长表示PM+PD的最小值是解题的关键.

4.如图，等边.AGC的边K为6,A。是3。边上的中线，用是AD上的动点，K是A6边上•点，若AE-2,

求成7+8W的最小值.

【答案】2疗

【分析】连接C£，与AO交于点则CE就是8M+ME的最小值，在直角△C"'中，求得CE的长，即可.

【详解】解：连接CE,与AD交于点ML

•・•等边,A8c中，AO是8c边上的中线，

，AO是的中垂线，

•••CE=CM'+ME=8W+M£的最小值.过点。作

BE=AB-AE=6-2=4,AF—BF—3,EF-3-2-\,CF-\62—32-3-75»

・・・.=/（3可+12=2百

；・8M+ME的最小值为2万.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，两点间线段最短，连接CE,从而把两线段和的最小值

转化为两点间线段最短是本题的关键.

易错模型二：将军饮马模型（遛马造桥）

模型1.将军遛马模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）C

【模型解读】已知八、8是两个定点，P、。是直线机上的两个动点，P在。的左侧，且PQ间长度恒定，在

直线，〃上要求2、Q两点，使得南+PQ+Q△的值最小。（原理用平移知识解）

（1）点A、8在直线〃?两侧:（2）点A、8在直线/〃同侧:

C

___________—

pQQ\

■

BB

图1图2

（1）如图1,过A点作4。〃机,且AC长等于PQ长，连接3C,交直线m于Q,Q向左平移。。长，即为。点，

此时P、。即为所求的点。

（2）如图2,过人点作AE〃九且AE长等于PQ长，作8关于用的对称点夕,连接夕E,交直线/〃于Q,Q向

左平移PQ长，即为P点，此时尸、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

模型2.将军过桥（造桥）模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）°

【模型解读】

【单桥模型】已知，如图1将军在图中点4处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：

桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+N8最小值即可.问题在于AM、N8彼此分离，所以首先通过平移，使AM

与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时4点落在位置（图2）.

问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

图1图2图3

【双桥模型】已知，如图4,将军在图中点4处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造,

问：桥建在何处能使路程最短？

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于A/^+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移

使其连接到一起.4。平移至AQ,NB平移至M*,化"+QM+N8为AQ+QM+M?.（如图5）

当*、Q、M、力共线时，4Q+Q历+M8取到最小值，再依次确定P、N位置.（如图6）

【最值原理】两点之间线段最短。

例I.（2022•四川内江•统考中考真题）如图，矩形A8C。中，AB=6,AD=4,点、E、尸分别是AB、DC±

的动点，EF〃BC,则AP+CE的最小值是.

【答案】10

【分析】延长8c到G,使CG=ER连接/G,证明四边形"GC是平行四边形，得出CE=FG,得出当

点A、F、G三点共线时，AP+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可.

【详解】解：延长8C到G,使CG=EF,连接FG,

•:EF〃CG,EF=CG,，四边形£FGC是平行四边形，

:,CE=FG,：,AF+CE=AF+FGf，当点4、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG,

由勾股定理得，AG=ylAB2+BG2=762+（4+4）2=10,，A臼CE的最小值为10,故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、尸、G三

点共线时，AHCE的值最小，是解题的关键.

例2.（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CV处处转弯，河宽相同，从A处到达8处，

须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A

到6的路程最短，请确定两座桥的位置.

【答案】见解析

【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点A向下平移至点尸，点B向右平移至点G,构造平行四边形进

行求解即可.

【详解】解：如图所示，将点A向下平移至点尸，使质的长等于河宽，将点8向右平移至点G,使8G的

长等于河宽：连接G尸，与河岸相交于点石'，次：过点W作。。18于点过点E作EELCE于点E,

贝IJDD，即为两桥的位置.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行

四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答.

练习I.（2022.四川自贡•中考真题）如图，矩形A3CO中，AB=4,BC=2,G是A。的中点，线段）■在

边A8上左右滑动；若EF=1,则GE+C/的最小值为.

【答案】3&

【分析】如图，作G关于A4的而称点G：在C。上截取C〃=l,然后连接“G交A4于£,在£3上截取

EF=\,此时GE+”的值最小，可得四边形七FC"是平行四边形，从而得到GH=EG%EH=EG+CF,再由勾

股定理求出“G的长，即可求解.

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G,在CO上截取C3二l,然后连接，G交AB于E在EB上截

取£7三1,此时GE+C/的值最小，

：.GE=GE,AG=AG',二•四边形H8CO是矩形，：,AB//CD,AD=BC=2：,CH//EF,

'：CH=EF=\,/.四边形EFCH是平行四边形，,EH=CF,GH=EG'+EH=EG+CF,

VXB=4,BC=AD=2,G为边AO的中点，：,AG=AG=1DGf=AD+AG'=2+\=3>,DH=4-1=3,

,HG=yjDH?+DC?=市+32=34，即GE+b的最小值为3a.故答案为：3五

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+C尸最小时

E,尸位置是解题关键.

练习2.（2023・广西,二模）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离

AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，

M点为靠近A村庄的河岸上点，则AM十BN的最小值为（）

A.2713B.1+3石C.3+历D.屈

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB，，与靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一条

河岸，则MN〃BB1且MN=BB，，于是MNBB，为平行四边形，故MB，=BN；根据“两点之间线段最短"，AB'

最短，即AM+BN最短，此时AM+BN=AB\

【详解】解：如图，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB：与靠近A的河岸相交于M,作MN垂

直于另一条河岸，则MN〃BB，且MN=BB1于是MNBB，为平行四边形，故MB，=BN.

根据“两点之间线段最短”，AB，最短，即AM+BN最短.

•・・AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，・••在RT^ABC中，AC=VAB2-BC2=6,

在RT^ABC中，BC=l+3=4千米，.IAB-JAC?+B,C?=2旧千米;故选A.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路径问题，要利用“两点之间线段最短“，但许多实际问题没这么简单，需

要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往

往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

练习3.（2023春・湖北武汉•八年级统考期中）如图，在YA8C。中，AB=2,4）=5,M、N分别是A。、BC

边上的动点，且NAAC=NMN8=60。，则8W+MN+N。的最小值是_______.

【答案】V37+2

【分析】由NMN8=60。可知MN为定长，在人。、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点

间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离.

【详解】作用石〃A8交3C于点£,在40取。尸=MN,连接延长48至点使3£=ME，连接8午，

AB〃ME,:"MEN=ZABC=/MEN=9。,MEN为等选三角形,：.ME=EN=MN、

ABCD，.：AO〃8C,二•四边形ABEM为平行四边形，

同理得四边形的EM与四边形ENZ）尸为平行四边形，;.ME=EN=MN=AB=2,BE=BM，EF=ND,

:,BM+MN+ND=RE+EN»ND=RE+EF»2NH'F+2.

RfB'HA中HA=；B'A=2,B'H=J84一B'H?=2g，

RtZHF中BFMJB'H'HF=J12+（2〃+A£>—在Di=J12+5）=后,

:.BM+MN+ND之屈+2,HM+MN+即的最小值是历+2.

【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离

和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置.求解长度时若有特殊

角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法.

1、（2023秋・河南南阳•九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形ABC。中将沿射线6。平移,

得到AEGF,连接比'、GC.求EC+GC的最小值为

【答案】4石

（分析】将^ABC沿射线CA平移到△ABC的位置，连接CE、AE、DE,证出四边形ABGE和四边形EGCD

均为平行四边形,根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得CE=CE,CG=DE,可得EC+GC=CE+ED,

当点C、E、D在同一直线时，CE+ED最小，由勾股定理求出CD的值即为EC+GC的最小值.

【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△ABC，的位置，连接CE、AE、DE,

•・•AB〃GE〃DC且AB=GE=DC,A四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，

AAE/7BG,CG=DE,AAE1CC,由作图易得，点C与点C关于AE对称，CrE=CE,

XVCG=DE,・・・EC+GC=CE+ED,当点C、E、D在同一直线时,CE+ED最小，

此时，在RSCPE中，CB=4,BD=4+4=8,CD="IF=4后，

即EC+GC的最小值为4石，故答案为：4石.

【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将

两条线段的和转化为同一条线段求解.

2、12023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2&,ZABC=60°,点E、F在对角线BD上运动，

且EF=2,连接AE、AF,则Z^AEF周长的最小值是（）

D

A.4B.4+73C.2+2/D.6

【答案】D

【分析】作AH〃BD,使得AH=EF=2,连接CH交BD丁F,则AE十AF的值最小，进而得出aAEF周K

的最小值即可.

【详解】解：如图作AH〃BD,使得AH=EF=2,连接CH交BD于F,则AE+AF的值最小，即△AEF的

周长最小.

H

VAH=EF,AH〃EF,・•.四边形EFHA是平行四边形，・・・EA=FH,・.・FA=FC,・・・AE+AF=FH+CF=CH,

•・,菱形ABCD的边长为2石，NABC=60。，・・・AC=AB=25

•・•四边形ABCD是菱形，AAC1BD,VAH//DB,.\AC±AH,.,.ZCAH=90°,

在RSCAH中，CH=+=JQ可+2?=4，AE+AF的最小值4,

•二△AEF的周长的最小值=4+2=6,故选：D.

【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键.

3.(2023・四川成都・模拟预测)如图，菱形"CQ的4C边在1轴上，顶点C坐标为(TO),顶点。坐标为(0,3),

点E在V轴上，线段£尸〃x轴，且点尸坐标为(8,6),若菱形48CQ沿工轴左右运动，连接AE、DF,则

运动过程中，四边形A。庄周长的最小值是.

【答案】13+3>/5

【分析】由题意可知A。、E尸是定值，要使四边形4万上周长的最小，4E+。产的和应是最小的，运用“将

军饮马”模型，根据点E关于AOH勺对称点为0,过点A作AF/Z，DF,当0,A,B三点共线时，

AE^DF=0A+AFi=0Flt为所求线段和的最小值，再求四边形AO尸E周长的最小值.

【详解】•・•点C坐标为（T。），点。砸标为（0,3）,・・・0。=4,。。=3,

，在RSCO。中，8=Joe?+必=5,•••四边形ABCQ是菱形，・・・/1。=。。=5,

连接。4,过点4作4F/〃。”交EF于点B,

则四边形ADFB是平行四边形，FF!=AD=5,：.EFI=EF-FF]=3,

•・•点E,。关于AD对称,：.OA=AE,

当。，A,B三点共线时，AE+DF=OA+AFI=OFI,为所求线段和的最小值，

在RtAOEF,中，0F,=JOE?+EF：762+32=3后，二四边形4）庄周长的最小值：

AD+EF+AE^DF=4D+EF+0a=5+8+3后=13+3石.

【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解

直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质.

易错模型三：费马点模型

【模型解读】

结论1：如图，点M为△48C内任意一点，连接AM、BM.CM,当M与三个顶点连线的夹角为120。时,

MA+MB+MC的值最小,

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120。，此时费马点就

是最大角的顶点A。(这种情况一股不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)

【模型证明】以为一边向外作等边三角形△ABE,将8M绕点B逆时针旋转60。得到BM连接EM

•••△48E为等边三角形，・・・AB=BE,NABE=60。.而NM8N=60。，:・/ABM=/EBN.

AB=BE

在AAMB与aENB中，*.*/ABM=/EBN，△AMBgAENB(SAS).

BM=BN

连接MM由△AMBgZXENB知，AM=EN.'；/MBN=60。,BM=BN,，△8MN为等边三角形.

：・BM=MN./.AM+BM+CM=EN+MN+CM.・••当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小.

此时，ZBMC=\S00-ZWB=120°；ZAMB=ZENB=\S00-ZB/VM=120°；

ZZMC=360°-ZBMC-N4M4=120°.

费马点的作法：如图3,分别以△A4C的/W、4c为一边向外作等边和等边△ACR连接CE、BF,

设交点为M,则点M即为△人AC的费马点.

【最值原理】两点之间，线段最短。

结论2：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP,求.SP+.vBP+zCP最小值。(加权费马点)

【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持3P不变，xAP+yBP+zCP=y(-AP+BP+-CP),如图，B、P、P2.4四点共线时，取得最小值。

①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知

三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时线段前可以有不为1的系数出

现，即:加权费马点。

例1.（2023•广东深圳•二模）如匡，_"石是等边三角形，M是正方形A8C。对角线8。（不含8点）上任

意一点，BM=BN,ZABN=\5°（点N在44的左侧），当AM+8M+CM的最小值为6+1时，正方形的边

【答案】五

【分析】首先通过SAS判定△AMBaMNB，得出AW=EN,因为ZABD+ZABN=60。，8W=得出_MNB

是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM,而且为最小值，我们可以得出£。二行+1，作辅助线，过点£

作斯工8c交C8的延长线于凡由题意求出N£BF=30。，设正方形的边长为x,在凡△瓦C中，根据勾

股定理求得正方形的边长为友.

【详解】:一ABE为正三角形，ZABE=60°,AB=BE：-ZNBE=ZABE-ZABN=45°

AD

是正方形A8C。的对角线，，ZABD=45°，ZABD=NNBE.

BM=BN

在44M8和/XENB中=A^AMB^^ENB(SAS)：.AM=EN

AB=EB

在△M8N中，/ABD+NABN=3乂•：BM=BN,，△M8N为等边三角形，:.MN=BM.

••/M+8M+CM最小值为V3+1.，EN+MN+CM的最小值为6+1即CE=G+1.

过点E作EFJ.BC交CB的延长线于F,可得/即尸=90。-600=30\

设正方形的边长为x,则8/三乂，，EF=；.

22

亭+幻员］）

在RZXEFC,•.*EF1+FC2=EC2.A（1）2+2=（2

解得x=0（负值舍去）.，正方形的边长为正.故答案为：0.

【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角

三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键.

例2.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，A5=6,且乙48060。,M是菱形

内任一点，连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为.

【答案】66

【分析】以8M为边作等边△8MM以BC为边作等边△BCE,如图，则△由全等三角形的

对应边相等得到CM=NE,进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.根

据等腰三角形“三线合一''的性质得到BH1AE,AH=EH,根据30。直角三角形三边的关系即可得出结论.

【详解】以BM为边作等边ABMN,以8c为边作等边4BCE,则8M=BN=MMBC=BE=CE,

NMBN=/CBE=60。,:・/MBC=/NBE,：・/\BCM*ABEN,:・CM=NE,：.AM+MB+CM=AM+MN+NE.当

A、"、N、£四点共线时取最小值AE.・：AB=BC=BE=6,/ABH=/EBH=6O°,：.BH1AE,AH=EH,/BAH=30。,

；・BH=；AB=3,AH=△BH=3M，^AE=2AH=6y/3.故答案为6G.

A、

D

M

B

N

E

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当

的辅助线是解答本题的关键.

练习I.（2023•成都实外九年级阶段练习）如图，在/A8C中，ZC4B=9O°,AB=AC=1,2是A8C内一

点，求24+依+PC的最小值为

2

【分析】将△4尸C绕点C顺时针旋转60。得△。/C,可得PC=PF,DF=AP,将B4+P8+PC转化为

FD+BP+PF,此时当以尸、F、。四点共线时，Q4+P8+PC的值最小,最小值为8。的长；根据勾股

定理求解即可.

【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转60。得△Q"C,连接PF、AD.DB,过点。作。£_LBA,交4A的

延长线于点£;・・・4P=。"，ZPCF=ZACD=60°,PC=FC,AC=CDt

:.'PCF、△4CO是等边三角形，:,PC=PF,AD=AC=\,ZD^C=60°

/.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

•••当B、P、F、。四点共线时，尸A+P8+PC的值最小，最小值为8。的长;

VZC4B=9O°./。。=60。，,\ZEAD=30°,

ADE=\AD=\,：,AE=yjAD2-ED2=—

222

，8£=1+且，ABD=\lBE2+DE2+,

22

•••%+PB+PC的值最小值为处在.故答案为：瓜+历

22

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转60。得△£＞人7,将三条线段的长

转化到•条直线I..

练习2.（2023・广东广州•一模）如图，在R/A/WC中，N84C=90。，/W=AC,点〜是/W边上一动点，作

PD上BC于点D,线段AO上存在一点Q,当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则P7A.

【答案】3+6

【分析】如图I，将△BQC绕点B顺时针旋转60。得到△BNM,连接QM当点4,点。点N,点M共线时,

QA+QB+QC值最小，此时，如图2,连接MC,证明4M垂直平分8C,证明AO=B。，此时P与。重合，

设PD=x,则O0=x-2,构建方程求出x可得结论.

【详解】解:如图1,将△BQC绕点B顺时针旋转60。得到△8NM,连接QM

4（尸）

A

M

图2

：・BQ;BN,QC=NM,ZQBN=60°,，△BQN是等边三角形，

/.BQ=QN,QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

；・当点A，点。，点N,点M共线时，QA+Q/+QC值最小，此时，如图2,连接/WC

•・•将△BQC绕点B顺时针旋转60。得至必BNM,:,BQ=BN,BC=BM,NQBN=600=NCBM,

•••△8QN是等边三角形，△CAM是等边三角形，：・/BQN=NBNQ=60。,RM=CM,

♦：BM=CM,AB=AC,:.AM垂直平分AC,VADYI3C,N8QD=60。,:.BD;也QD,

9：AB=AC,NB4C=90。，ADA.BC,：,AD=BD,此时尸与。重合，iSPD=x,则。Q=x-2,

.,..v=tan60°x（x-2）=x/3（x-2）,：.x=3+&,：.PD=3+&.故答案为：3+6.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是

正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

I.（2023•江苏•九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且NA8C=60。，M是菱形内任一

点，连接AM,BM,CM,贝IJ4M+8M+CM的最小值为.

D

【答案】6G

【分析】以RW为边作等边以6c为边作等边△6CE,如图，则△6CM乌△笈石N,由全等三角形的

对应边相等得到CM=NE,进而得到人M+MB+CM=AM+MN+NE.当人、M、N、E四点共线时取最小值人石.根

据等腰三角形“三线合一''的性质得到8〃J_AE,AH=EH,根据3。。直角三角形三边的关系即可得出结论.

【详解】以BM为边作等边△BMN,以BC为边作等边ABCE,则8M=B2MMBC=BE=CE,

NMBN=NCBE=60°,：・/MBC=/NBE,:・/\BCM*4BEN,:・CM=NE,：.AM+MB+CM=AM+MN+NE.当

A、M、N、E四点共线时取最小值A£.

•:AB=BC=BE=6,NABH=NEBH=60。，；.BHLAE,AH二EH,ZBH=~AB=3,AH=BH=373,

：.AE=2AH=6y/3.故答案为6VL

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质.难度比较大.作出恰当

的辅助线是解答本题的关键.

2.（2021•山东滨州•中考真题）如图，在“8C中，ZACB=90°,NB4C=30。，AB=2.若点P是.ABC内

一点，则。4+依+PC的最小值为.

B

【答案】V7

【分析】根据题意，首先以点人为旋转中心，顺时针旋转aAPB到AAP，用，旋转角是60。，作出图形，然后

根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到%+PB+PGPP+PE+PC,再根据两

点之间线段最短，可以得到附+PB+尸C的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得CB，的值，从而

可以解答本题.

【详解】以点A为旋转中心,顺时针旋转"P3到"P心旋转角是60。,连接8夕、PF,C9,如图所示,

则NB4P'=60。，AP=AP\PB=PB,；.AAPP是等边三角形,：.AP=PPf,:.a+PB+PC=PP+PB*PC,

•:pp+PB+pear,LPP'+PW+PC的最小值就是czr的值，即PA+PB+PC的最小值就是ar的值，

VZBAC=30°,N848'=60。,AB=AB,=2,AZCAB^O0,AB'=2,AC=AB*cosZBAC=2xcos300=2x^-=y/3,

2

/.CB'=ViAC2+AB,2=>/7>故答案为：币.

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合

适的辅助线，得出以+P8+PC的最小值就是CQ的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想.

3.（2021.辽宁丹东.中考真题）已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点，.如果AHC

是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足NAPB=NBPC=NCPA=120°.（例如:

等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=@,BC=26P为八3c的费马点，则

PA+PB+PC=:若A8=2G,8c=2M。=4,2为ABC的费马点，则%+P8+PC=.

【答案】52x/7

【分析】①作出图形，过分别作/。32=/£心尸=30。,勾股定理解直角三角形即可

②作出图形,将△APC绕点A逆时针旋转60。，尸为"BC的费马点则B,P,PC四点共线,即

PA+P