山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学（A卷）试卷（含解析）

2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线平行的直线是（）A. B. C. D.【答案】D解析：，对于A：，可知两直线重合，不符合；对于B：，所以不平行，不符合；对于C：，所以不平行，不符合；对于D：，，且，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C解析：若可得得一个焦点坐标为，即充分性成立；若“点为C的一个焦点”，则可得，即，可知必要性成立，因此，“”是“点为C的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B解析：∵，∴三点共线，且又∵轴，∴设，则，，∵点在上，∴，即.故选：B.4.已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B解析：因为不全为零的实数、、满足，则直线的方程可化为，即，由可得，即直线过定点，因为，即点在圆内，圆的圆心为原点，半径为，当时，圆心到的距离取最大值，且最大值为，所以，直线被圆截得的弦长的最小值为.故选：B.5.已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（）A.10 B.49 C.50 D.1201【答案】D解析：椭圆C：的一个焦点为，过点，∴，∴，∴.故选：D.6.已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A解析：点在C上，右焦点，，则，解得，所以离心率，故选：A．7.直线l：与圆的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】C解析：由整理得：，可知圆圆心坐标为，半径为，再由直线l：恒过点，由圆心到点的距离为，可知，所以点在圆的内部，即直线l与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C解析：∵，∴，∵，∴设，则，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴椭圆方程为：.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.圆 D.椭圆【答案】CD解析：一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（）A.l与圆A相交 B.当点P，A，B共线时，C.时，的面积为2或6 D.满足的点P恰有2个【答案】BCD解析：对于A，由抛物线，即，则准线，由圆整理可得，则圆心，半径r=1，由圆心到直线y=-1的距离为，则圆与直线相切，故A错误；对于B，由题意作图如下：由共线，且，当时，，则，，，，故B正确；对于C，由，则令，，解得，当时，的高为，面积为，如下图：当时，的高为，面积为，如下图：故C正确；对于D，由题意可作图如下：.由抛物线整理可得，则其焦点，易知，由直线的斜率，线段中点，则线段的中垂线方程为，整理可得，联立，消可得，，所以线段的中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确.故选：BCD.11.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（）A.双曲线的离心率B.若，则的渐近线方程为C.若，则的渐近线方程为D.若，则的渐近线方程为【答案】AC解析：对于A，，，，，，，又与第二象限内的渐近线交于点，，即，，，A正确；对于B，由A知：，又，，直线即为双曲线的一条渐近线，，，又，，，，，，，整理可得：，，，，即，解得：，的渐近线方程为，B错误；对于C，，，，，，整理可得：，即，，，的渐近线方程为，C正确；对于D，，，，，，，，整理可得：，，，，的渐近线方程为，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与x轴相切，则__________.【答案】解析：由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径，由圆与轴相切，则，解得.故答案为：.13.已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.【答案】①.②.解析：∵圆的标准方程：，∴圆心为0,1，半径，∴，即，即抛物线C：，F0,1联立方程组，解得或（∵舍去）∴∴或∵直线与轴重合，∴点到直线的距离为，由对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等，∴取，直线，∴点到直线的距离，故答案为：①4②14.已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2解析：由椭圆，则，，易知为椭圆的左右焦点，由为椭圆上的点，则，可得，所以，联立，解得，当时，取得最小值，则取得最小值如下图：；当时，取得最大值，则取得最大值，如下图：.所以的最大值与最小值的比值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.（1）求C的面积；（2）若直线l：交C于A，B两点，求.【答案】（1）（2）【小问1解析】由椭圆C的方程可知，，所以，椭圆C的面积；【小问2解析】联立，得，设，则，，∴，所以，.16.已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.【答案】解析：解：将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离为，到的距离为，易知F1-1,0，F21,0，则，，所以，解得或(舍去)，故.17.已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.（1）求的周长的取值范围：（2）求的面积S的最大值.【答案】（1）（2）12【小问1解析】由题可得，，则，故，所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为，连接，由对称性可知，，故，则的周长为，设，，因为三点构成三角形，故不共线，所以，故且，则，因为，故，所以的周长；【小问2解析】，不共线，故，所以，S的最大值为12.18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【小问1解析】由题可知，其中，所以,又点在椭圆上，所以，即，解得，所以椭圆E的方程为．【小问2解析】由椭圆的方程，得，所以，设，其中，因为，所以，又点在椭圆上，所以，联立方程组，得，解得或（舍），当时，，即或．所以当的坐标为时，直线的方程为；当的坐标为时，直线的方程为．综上，直线的方程为或.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1），（2）（3）曲线C存在切立方，理由见解析【小问1解析】根据“切立方”的定义，设直线方程，可得，，，，；【小问2解析】由正方形A的方程为，则，由正方形A为双曲线的一个“切立方”，则，联立整理得，则，整理得，即，由图可知，则，所以【小问3解析】由曲线，设切点为，联立，