《常微分方程》教学大纲

《常微分方程》教学大纲适用范围：202X版本科人才培养方案课程代码：13140011课程性质：专业必修课学分：3学分学时：48学时（理论48学时）先修课程：高等数学后续课程：应用随机过程适用专业：金融数学开课单位：理学部一、课程说明《常微分方程》是金融数学专业的一门专业必修课。本课程主要讲授微分方程的基本概念，一阶微分方程、高阶微分方程和线性微分方程组的一般理论和求解方法，为后续课程的学习提供基础。该课程注重培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，通过学习和练习使学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，能够运用常微分方程的理论和方法对金融科学中的数学模型进行分析。二、课程目标通过本课程的学习，使学生达到如下目标：课程目标1：掌握微分方程的基本概念和一阶微分方程、高阶微分方程和线性微分方程组等微分方程的一般理论和求解方法等内容。课程目标2：通过学习常微分方程的求解和证明推导，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。课程目标3：通过对微分方程的分析训练，培养学生应用微分方程理论和方法分析金融领域相关模型的能力。课程目标4：通过介绍微分方程的发展史，以及通过微分方程模型解释事物发展规律，培养学生的辩证思维。三、课程目标与毕业要求《常微分方程》课程教学目标对金融数学专业毕业要求的支撑见表1。表1课程教学目标与毕业要求关系毕业要求指标点课程目标支撑强度1.工程知识1.2能够将学科专业知识方法用于金融领域相关问题的识别、推演、分析。1.3能够将相关知识和建模方法用于金融领域相关问题解决方案的比较、综合与交流。课程目标1：掌握微分方程的基本概念、以及一阶微分方程、高阶微分方程和线性微分方程组等微分方程的一般理论和求解方法等内容。课程目标2：通过学习常微分方程的求解和证明推导，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。课程目标3：通过对微分方程的分析训练，培养学生应用微分方程理论和方法分析金融领域相关模型的能力。课程目标4：通过介绍微分方程的发展史，以及通过微分方程模型解释事物发展规律，培养学生的辩证思维。H注：表中“H（高）、M（中）”表示课程与相关毕业要求的关联度。四、教学内容、基本要求与学时分配理论部分理论部分的教学内容、基本要求与学时分配见表2。表2教学内容、基本要求与学时分配教学内容教学要求，教学重点难点理论学时对应的课程目标1.绪论1.1常微分方程模型1.2常微分方程基本概念教学要求：了解几种常微分方程模型的建立方法；了解雅克比矩阵和函数的相关定义和应用；理解并掌握线性方程与非线性方程、阶、解（通解，特解，隐式解）、初值条件、初值问题等概念。重点：常微分方程的基本概念。难点：某些物理过程的微分方程模型的构建。21、42.一阶微分方程的初等解法2.1变量分离方程与变量变换2.2线性微分方程与常数变易法2.3恰当微分方程与积分因子2.4一阶隐式微分方程与参数表示教学要求：理解分离变量法、常数变易法、凑微分法、积分因子法、参数法等一阶微分方程的解法；熟悉一阶微分方程的各种类型，掌握方程类型的判定；熟练掌握可分离变量方程和一阶线性微分方程的解法。重点：分离变量法和常数变易法。难点：恰当方程与积分因子及其一阶隐式方程的求解。161、2、3、43.一阶微分方程的解的存在定理3.1解的存在唯一性定理和逐步逼近法3.2解的延拓3.3奇解教学要求：理解微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法、了解方程解的延拓和奇解的概念。重点：解的唯一性定理和逐步逼近法。难点：解的延拓定理和奇解的概念。61、2、3、44.高阶微分方程4.1线性微分方程的一般理论4.2常系数线性微分方程的解法4.3高阶微分方程的降阶教学要求：理解线性微分方程的解的性质和结构；掌握特征值法、待定系数法、常数变易法等，能够针对不同类型的方程熟练使用相应的方法；能够对高阶微分方程进行降阶。重点：高阶常系数微分方程的解法。难点：齐次线性微分方程解的性质与结构、求解非齐次线性微分方程的常数变易法。141、2、3、45.线性微分方程组5.1线性微分方程组的一般理论5.2常系数线性微分方程组教学要求：理解线性微分方程组的基本概念与相关性质和线性微分方程组解的存在唯一性定理；掌握常数矩阵的齐次线性微分方程组的基解矩阵的计算方法；了解非齐次微分方程组特解的求法。重点：微分方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的基解矩阵的计算。难点：常系数线性方程组的指数矩阵和基解矩阵的计算。101、2、3、4合计48五、教学方法及手段本课程教学以课堂讲授为主，利用超星学习通平台，选取网络优质视频资源，结合MATLAB数学软件，配合多媒体课件等共同完成课堂授课内容；课下采取自学、分组任务、课后作业等形式，对课堂授课内容进行巩固和提高；采用QQ、钉钉等实时交流工具，加强和学生之间的交流和沟通。采用启发式、讨论式教学和案例教学等共同完成课堂授课内容，促进学生积极思考，开发学生的潜能，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力，以例题讲解和思路讲解相结合的方式，提高学生理解力，掌握分析和解决问题的能力。六、课程资源1.推荐教材：（1）王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2020.2.参考书：（1）柳彬.常微分方程[M].北京:北京大学出版社,2021.（2）郭真华,方莉,赵婷婷.现代常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2020.（3）马知恩,周义仓,李承志.常微分方程定性与稳定性方法(第二版)[M].北京:科学出版社,2022.3.期刊：（1）刘禹希,王密.基于常微分方程中迭代数值解法的剖析——以Picard方法为例[J].佳木斯大学学报,2022,40(4):161-170.（2）冯依虎,杨星星.用积分因子法求解高阶非线性微分方程[J].黑河学院学报,2022,13(04):184-185.（3）罗红英,俞元洪.一类二阶半线性微分方程的振动性[J].山东科技大学学报(自然科学版),2021,40(06):69-75.（4）钱志祥.变系数线性微分方程的解法探究[J].兰州文理学院学报(自然科学版),2021,35(06):21-27.（5）PhuongLe.Methodofscalingspheresforintegralandpolyharmonicsystems[J].JournalofDifferentialEquations,2021,298:132-158.（6）ZhongTan,ZhongerWu.TimeperiodicstrongsolutionstotheKeller-SegelsystemcoupledtoNavier-Stokesequation[J].JournalofDifferentialEquations,2021,298:95-131．4.网络资源：（1）林智,童雯雯.常微分方程[Z/OL].北京:中国大学MOOC,2019[2022].https://www.icourse163.org/course/ZJU-1206672801?tid=1207002201.（2）袁荣,刘志华.常微分方程[Z/OL].北京:中国大学MOOC,2020[2021]./course/BNU1461790174?from=searchPage&outVendor=zw_mooc_pcssjg_.（3）韩茂安,丁玮,刑业朋等.常微分方程[Z/OL].北京:中国大学MOOC,2020[2021]./course/SHNU-1003376024?tid=1003617020.七、课程考核对课程目标的支撑课程成绩由过程性考核成绩和期末考核成绩两部分构成，具体考核/评价细则及对课程目标的支撑关系见表3。表3课程考核对课程目标的支撑考核环节占比考核/评价细则课程目标1234过程性考核课堂表现10（1）根据课堂出勤情况和课堂回答问题情况进行考核，满分100分。（2）以平时考核成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√√4222作业20（1）主要考核学生对各章节知识点的复习、理解和掌握程度，满分100分。（2）每次作业单独评分，取各次成绩的平均值作为此环节的最终成绩。（3）以作业成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√1055阶段测验10（1）根据每次阶段测验情况单独评分，满分100分。（2）每次阶段测验单独评分，取各次测验成绩的平均值作为此环节的最终成绩。（3）以阶段测验成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√433期末考核60（1）卷面成绩100分，以卷面成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。（2）主要考核一阶微分方程、高阶微分方程和线性微分方程组等微分方程的一般理论和求解等内容。（3）考试题型为：选择题、填空题、计算题和综合题等。√√√401010合计：100分5820202八、考核与成绩评定1.考核方式及成绩评定考核方式：本课程主要以课堂表现、作业、阶段测验、期末考试等方式对学生进行考核评价。考核基本要求：考核总成绩由期末试卷成绩和过程性考核成绩组成。其中：期末试卷成绩为100分（权重60%），试题类型为填空题、选择题、计算题和综合题等类型，试卷中基本知识、基本理论、基本技能的试题分值不超过50%，综合应用题、分析题不低于50%；课堂表现、作业和阶段测验等过程性考核成绩为100分（权重40%）；过程性考核和考试试题分值分配与教学大纲各章节的学时基本成比例。2.过程性考核成绩的标准过程性考核方式重点考核内容、评价标准、所占比重见表4。表4过程性考核方式评价标准考核方式所占比重(%)100≥x≥9090>x≥8080>x≥7070>x≥60x<60课堂表现25积极参与教学活动，踊跃回答问题，准确率大于90%。认真参与教学活动，回答问题准确