数学课堂导学：二倍角的正弦、余弦和正切

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。二倍角与降幂公式【例1】已知sin(+x)sin(—x)=，x∈(,π），求sin4x的值.思路分析：注意到+x+—x=,可用诱导公式变形后计算.解:由sin(+x）sin（—x)=可得sin（+x）cos(+x)=,即sin（+2x)=，∴sin（+2x)=,即cos2x=。又∵x∈（,π),∴2x∈(π，2π).∴sin2x=.∴sin4x=2sin2xcos2x=。友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练1已知sinα=,α∈（,π），求sin2α，cos2α,tan2α的值。解析：∵sinα=,α∈(，π)，∴cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=2××（)=，cos2α=1—2sin2α=1-2×(）2=，tan2α=.变式提升1(2006上海高考，文6）函数y=sinxcosx的最小正周期是___________。解析:化简,得y=sin2x，∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(+x）=,〈x〈，求的值。思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=Sin2xtanx（x+）.∵cos(+x)=,<x<，∴sin(x+）=Tan（x+)=,sin2x=—cos（+2x）=—[2cos2（+x)—1］=。∴原式=×(）=。友情提示分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角.角的关系往往是解题的突破口。类题演练2求下列各式的值：（1）(cos-sin）(cos+sin）;(2）—cos2。解析:（1)（cos-sin）（cos+sin)=cos2—sin2=cos=。（2）-cos2=（2cos2-1)=cos=。变式提升2已知θ∈（，）,｜cos2θ|=,则sinθ的值是（）A.B.C。D.解析:∵θ∈(,)，∴sinθ<0,且2θ∈（,3π).∴cos2θ〈0.∵｜cos2θ|=，∴cos2θ=-.由cos2θ=1-2sin2θ，得sin2θ=，∴sinθ=.∴应选C.答案:C3。升降幂公式的应用【例3】求函数y=sin6x+cos6x的最值。思路分析：见“高次”降为“低次”,利用a3+b3=（a+b)（a2-ab+b2）和sin2x+cos2x=1求解.解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x）（sin4x—sin2xcos2x+cos4x）=（sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1—3sin2xcos2x=1-sin22x=cos4x,∴当x=(k∈Z)时,y取最大值为1.当x=+（k∈Z)时，y取最小值.友情提示遇到高次就降幂，sin2x+cos2x=1，sin2x=,cos2x=都起到了降幂的作用,在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练3已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x。（1)求f(x）的最小正周期；(2）若x∈［0，]，求f（x)的最大值、最小值。解：（1）因为f(x）=cos4x—2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x—sin2x=cos（2x+)，所以f（x)