新高考数学一轮复习讲练测第3章第02讲 单调性问题（讲义）（解析版）

第02讲单调性问题知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数SKIPIF1<0在某个区间内可导，如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数；如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为减函数．2、已知函数的单调性问题=1\*GB3①若SKIPIF1<0在某个区间上单调递增，则在该区间上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足SKIPIF1<0，才能得出SKIPIF1<0在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若SKIPIF1<0在某个区间上单调递减，则在该区间上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足SKIPIF1<0，才能得出SKIPIF1<0在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数SKIPIF1<0的间断点（即SKIPIF1<0的无定义点）的横坐标和SKIPIF1<0的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数SKIPIF1<0的定义域分成若干个小区间；（4）确定SKIPIF1<0在各小区间内的符号，根据SKIPIF1<0的符号判断函数SKIPIF1<0在每个相应小区间内的增减性．注：①使SKIPIF1<0的离散点不影响函数的单调性，即当SKIPIF1<0在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，SKIPIF1<0在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数．②若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不恒为0），反之不成立．因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在这个区间为常值函数；同理，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【对点训练1】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0且导函数为SKIPIF1<0，如图是函数SKIPIF1<0的图像，则下列说法正确的是A．函数SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是函数的极小值点D．SKIPIF1<0是函数的极小值点【答案】BD【解析】先由题中图像，确定SKIPIF1<0的正负，得到函数SKIPIF1<0的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得极小值，在SKIPIF1<0时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.【对点训练2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数SKIPIF1<0的图象如图所示（其中SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数），下面四个图象中可能是SKIPIF1<0图象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由SKIPIF1<0的图象知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，等号仅有可能在x＝0处取得，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.【对点训练3】（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的大致图像如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，图像可知，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，由图像可知SKIPIF1<0，故不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0导函数SKIPIF1<0（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足SKIPIF1<0）；原函数单调递减SKIPIF1<0导函数SKIPIF1<0（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足SKIPIF1<0）．题型二：求单调区间【例2】（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】函数的定义域为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0（）A．严格增函数B．在SKIPIF1<0上是严格增函数，在SKIPIF1<0上是严格减函数C．严格减函数D．在SKIPIF1<0上是严格减函数，在SKIPIF1<0上是严格增函数【答案】D【解析】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上是严格减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上是严格增函数，故选：D.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.求导可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由函数定义域可知，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0.故选：A.【对点训练6】（2023·高三课时练习）函数SKIPIF1<0（a、b为正数）的严格减区间是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以函数SKIPIF1<0的严格减区间是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0.选项D，本题的两个单调区间之间不能用“SKIPIF1<0”连接，所以该选项错误.故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求SKIPIF1<0的定义域（2）求出SKIPIF1<0．（3）令SKIPIF1<0，求出其全部根，把全部的根在SKIPIF1<0轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0的取值范围，得函数的单调递增区间；令SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“SKIPIF1<0”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．m>1【答案】B【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故选：B.【对点训练7】（2023·陕西西安·统考三模）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为增函数，且函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为减函数，且函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，所以SKIPIF1<0，无解，综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）三次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】对函数SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不是三次函数，不满足题意，所以SKIPIF1<0.故选：A．【对点训练11】（2023·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可转化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数a的取值范围是SKIPIF1<0，故选:A【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内存在单调递增区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内存在单调递增区间，则SKIPIF1<0有解，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在其定义域的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），因为SKIPIF1<0在定义域的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，故选：D【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）在区间SKIPIF1<0上存在单调递增区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调增区间，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在子区间使得不等式SKIPIF1<0成立．SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故选B.考点：导数的应用.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以方程SKIPIF1<0的两个根分别位于区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故选：A．【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】函数SKIPIF1<0，则导数SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，∴0，4是方程SKIPIF1<0的两根，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故选：B.【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型四：不含参数单调性讨论【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.试判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调性并证明你的结论；【解析】函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，证明如下：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.【对点训练16】（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【解析】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；在SKIPIF1<0上单调递增.【对点训练17】（2023·贵州·校联考二模）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性．【解析】（1）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，显然，等号不成立，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数．【对点训练18】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求a的取值范围；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；【解析】（1）由题意知SKIPIF1<0的定义域为R.①当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，不合题意.所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0恒成立.③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上可得，a的取值范围是SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.所以SKIPIF1<0.又由（1）知SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．判断SKIPIF1<0的单调性，并说明理由；【解析】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.【解题方法总结】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数【例6】（2023·山东聊城·统考三模）已知函数SKIPIF1<0．讨论SKIPIF1<0的单调性；【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增．②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增；在区间SKIPIF1<0单调递减．③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增．若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减；在区间SKIPIF1<0单调递增．综上，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增；在区间SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减、在区间SKIPIF1<0单调递增．【对点训练20】（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，【对点训练21】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.【对点训练22】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．讨论SKIPIF1<0的单调性；【解析】由函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增.综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增.情形二：函数为准一次函数【对点训练23】（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.讨论SKIPIF1<0的单调性；【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则有当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．【对点训练24】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切点坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处切线方程为：SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，无单调递增区间.②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增综上:SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，无单调递增区间；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；【对点训练25】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.讨论SKIPIF1<0的单调性；【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增.情形三：函数为二次函数型方向1、可因式分解【对点训练26】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【解析】因为SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0不恒为零，此时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，无减区间；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.此时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.此时函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0.综上所述：当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，无减区间；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0.【对点训练27】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+0-SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0单调递减，③若SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+0-SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0④若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增.【对点训练28】（2023·北京海淀·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0．(1)若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的单调区间．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由题设知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的值为1（2）由（1）得SKIPIF1<0．1）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增极大值单调递减2）当SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或2①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减极小值单调递增极大值单调递减②当SKIPIF1<0时，（ⅰ）当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<0