2024-2025学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数4-5指数函数幂函数对数函数增长的比较信息技术支持的函数研究巩固练习含解析北师大版必修第一册

PAGE§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*§5信息技术支持的函数探讨课后训练·巩固提升1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.m<n<p B.m<p<nC.p<m<n D.p<n<m解析:∵0<m<1,n>1,p<0,∴p<m<n.答案:C2.下面关于函数f(x)=log12x,g(x)=12x与h(x)=x-12在区间(0,+∞A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快解析:视察函数f(x)=log12x,g(x)=12x与h(x)=x-12在区间(0,+∞函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度渐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢.答案:C3.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.答案:B4.有一组试验数据如下表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y=2x+1-1 B.y=x2-1 C.y=2log2x D.y=x3解析:依据试验数据第一组(2.01,3),选项A,C,D明显不满意,故本题正确答案为B.答案:B5.设x∈(0,1),函数y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则实数p的取值范围是()A.p≥0 B.0<p<1 C.p<1 D.p>1解析:∵x∈(0,1)时,函数y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,∴xp>x,且x∈(0,1),∴p<1.答案:C6.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是()A.x>22% B.x<22%C.x=22% D.x的大小由第一年的产量确定解析:设第一年的产量为a,则第三年的产量为(1+44%)a=1.44a,所以a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,得x=0.2(负值舍去),即x<22%.答案:B7.生活阅历告知我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的改变而改变,如图请选择与容器相匹配的图象,A对应,B对应,C对应,D对应.

解析:A容器下粗上细,水高度的改变先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度改变为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的改变速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的改变为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4)(1)(3)(2)8.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要缘由.依据《中华人民共和国道路交通平安法》规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每时50%的速度削减,则至少经过他才可以驾驶机动车.(精确到1h)

解析:设nh后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,n≥log215,故至少经过4h他才可以驾驶机动车.答案:4h9.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m3污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案进行污水处理,并打算实施.方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案2:工厂污水排到污水厂统一处理,每处理1m3需付14元的排污费.(1)若工厂每月生产3000件产品,在既不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪种处理污水的方案,请通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,又该如何决策呢?解:设工厂每月生产x件产品,依方案1的利润为y1,依方案2的利润为y2,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000.因为y1<y2,故应选择方案2处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000.因为y1>y2,故应选择方案1处理污水.10.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x12的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x12,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).11.某种高档奢侈品定价为60万元/件,不加收消费税时,每月大约销售80件.若政府征收消费税,每销售100万元要征收消费税p万元,此时每月销售量削减203p件(1)将政府每月对该商品征收的总税金y万元表示为p的函数,并求出这个函数的定义域.(2)若政府在此项经营中每月收取的税金不少于128万元,问税率p%应当怎样确定.(3)在政府每月可征收的税金不少于128万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,应如何确定p的值?解:(1)由题意知,商品每月销售量为80-203p件时,y=60因为80-203p>0,p