2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：空间向量与立体几何（解析版）

第11讲第一章空间向量与立体几何章末题型大总结

一、思维导图

空

间

向

量空间向量分解定理

与

立

体平行与垂直的条件

几

空间向量的直角坐标运算

何

空

间

向

量直线的方向向量与直线的向量方程

在

立

体平面的法向量与平面的向量表示

几

何

直线与平面的夹角

中

的

应二面角及其度量

用

L距离

二、题型精讲

题型01空间向量的概念及运算

【典例1】（2023春•江苏连云港•高二统考期中）平行六面体/BCD-431GA中，已知底面四边形/BCD

为矩形，Z4/8=Z4/D=120。，A4=2,AB=AD=\,贝（MG=（）

A.V2B.2C.V10D.10

【答案】A

【详解】由图可得Q=AA.+AC=AA+AC=AA.+AB+AD,

-------»2/--►\2--------2-2»2-------►►-------►

则AQ=(虫+AB+AD\=/«+AB+AD+lAA1-AB+2%-AD

故祠=］裔

+2AB・40=4+1+1-2-2+0=2,xq=|=a,

故选：A

【典例2】（2023春•江苏盐城•高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量向量％与

的夹角都是60。,且同=1,扬|=2,忖=3,试求

⑴(@+23-寸；

(2)(3a-2by(b-3c\

【答案】(1)11

(2)-|

【详解】(1)向量2,九向量)与的夹角都是60。，且同=1,同=2,忖=3,

a2=\,b2=4,c2=9,a-b=Q,a-c=|5|-|c|cos60°=-,b-c=|^|-|c|cos60o=3,

(a+26-c)2=a2+(2&)2+c2+2a-2i-2a-c-4^-c=l+16+9+0-3-12=11；

(2)(33-2&)-(^-3c)=3a-^-35-3c-2P+2ft-3c=0-y-8+18=-1

【典例3]（2023春•山东淄博•高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量

rr|i-iin,rr

/4卜|=2,%=1伞,9x=60。，则使向量q+泥与花一25的夹角为钝角的实数A的取值范围是

【答案】（-l-6,-l+G）

【详解】因为口=2阵1,〈瑟〉=60。,

所以=|a|'l^lcos^a,b^=2xlxg=1,-2|一|2-2

Cl—67—4,bB1=l,

故（。+刀）.（4。-2否）=+（分-2）。.否-2与=44+（/V-2）-24=%?+24-2,

I—»—12—2—»—*,—2

\ci+Ab\=a+24。•b+Ab—A+24+4,

|2a-2^|2=A2a2-4^a-5+462=422-4A+4=4（22-/I+1）,

因为向量2+必与苏-2坂的夹角为钝角，

i（a+Ab）-（Aa-2b）<0（2+花）.（府-2司<0

所以〈--

cos5+Ab,Aa-2bw-1（5+痴.（须一2月）片一归+闷2-2b\

［12+22-2<0

'［分+22_2H-2722+22+4-V22-A+l'

解—1—y/3<A<—1+，即2e（—1—V3,—1+V3）.

故答案为：（-1-V3,-1+A/3）.

【变式1］（2023秋•山东滨州•高二统考期末）如图，二面角4-E尸-C的大小为45。，四边形4BFE、

CDE尸都是边长为1的正方形，则B、。两点间的距离是（）

A.yp2B.百C.J3-D.-^3+V2

【答案】C

【详解】因为四边形/加E、CDE尸都是边长为1的正方形，则/E_LEF,DE1EF,

又因为二面角/一£尸一C的大小为45。，即41即=450,则（或，丽）=45°,

因为丽=诙+应+方=也一而+方，由图易知而_L或，在_L而，

------»2-------2--------»--------->---------►---------►---------►---------►

所以,ED+AB—2EA•ED+2EA,AB—2ED,AB

=Vl+l+l-2xlxlxcos45°+0-0=^3-42•

故选：C.

【变式2】（2023春•高二课时练习）如图，在长方体48CD—4耳GA中，设40=44=1，45=2,

尸是G"的中点.试确定向量存在平面BCG上的投影向量，并求配.乖.

AB

【答案】向量4P在平面BCQ上的投影向量为qq；BC&P=

【详解】因为小团，平面BCG,尸平面3CG,

所以向量4尸在平面BCQ上的投影向量为与G.

BB+8cH而+取）

所以4c•4尸t

=耶・丽+印.印+反.而+前.印

=0+0+12+0=1.

【变式3]（2023•全国•高三专题练习）已知空间向量Z,旅满足2+坂+"=0，同=1，囱=2同=近，贝安

与否的夹角为.

【答案】号/120。

【详解】由£+3+"=。，即之区）可构成三角形，

又＜a,B＞e[0,?i],故®,.

2兀

故答案为：y

题型02四点共面问题

【典例1】（多选）（2023春•高二课时练习）下列条件中，使河与4,B,C-•定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=0

D.OM+OA+OB+OC^Q

【答案】AC

【详解】空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共线，且A,B,C,M共面，则

其充要条件是x+y+z=l；

对于A,因为3-1-1=1,所以可以得出A,B,C,M四点共面；

对于B,因为；+；=所以不能得出A,B,C,M四点共面；

对于C,MA=-MB-MC＞则祝5，砺，前为共面向量，所以"与A,8,C一定共面；

对于D,\S^JOM+OA+OB+OC^O＞所以两"=-刀-砺-反，因为=,所以不能得出A,

B,C,M四点共面.

故选：AC.

【典例2】(2023•江苏•高二专题练习)设尸-48C是正三棱锥，G是“3C的重心，。是PG上的一

点，且丽=方不，若而=乂或+＞方+2卮，贝!|(x,%z)为()

A-件0B.层，「C［岩《［，岩)

【答案】B

【详解】因为三棱锥尸-4BC是正三棱锥，G是“8C的重心，

----1―■1—1——1——1—1—2—

因为。是尸G上的一点，且丽=而，

一1--■

所以PD=5尸G,

因为方=刀+割，

所以丽」丽」苏就

222

1—►1(1—►1—.2―

=-PA+-\-PB+-PC——PA

22(333J

1—►1—►1—►1—

=—PA+—PB+—PC——PA

2663

1—1—►1—►

=-PA+-PB+-PC,

666

因为丽=加+'丽+z2

所以x=y=z=L

6

所以(x,y,z)为,

故选：B

【典例3】(2023春•高二课时练习)在正方体48co-4片GA中，P为C4的中点，£为0。的中点，

厂为3G的中点，。为所的中点，直线P£交直线于点。，直线P尸交直线班।于点及，贝！1()

A.AO=-AP+-AQ+-ARB.AO=-AP+-AQ+-AR

777244

C.AO=-AP+-AQ+-ARD.AO=-AP+-AQ+-AR

366999

【答案】B

1一一

—a+b+c=AP

2

3一一一

【详解】，己而=£,AB=b>ZD=c>则，—a+b=AR

2

3——

—+c=AQ

2一—一.

a=-(AR+AQ-AP)

_233

解得b=-ARAQ+-AP

555

-1市+g而+［方

—»2—»—►—>3(2—►3—►3—►3—►2—►3—

所以/O=W(/R+/0-/2)+木/氏-10+1夕+-1/尺+10+1。)

—►1—>1―►1—►

整理得40=—/尸+—40+—ZR.

244

【变式1］（多选）（2023秋•江西吉安•高二统考期末）如图，空间四边形。45c中，M,N分别是

边CM,C5上的点，且力M=2MO,CN=2NB,点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是

（）

-5—►1—►1—►.1—►2―►1―►

A.AG=-OA+-OB+-OCB.BG=-OA——OB+-OC

636636

C.CG=-OA--OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

636636

【答案】BD

【详解】空间四边形。NBC中，AM=2M0＞函=2福，点G是线段MV的中点,

________2__►___2__►___1___2__►

ON=OC+CN=OC+-CB=OC+-(OB-OC)=-OC+-OB,

3333

—►1——»—►11—►11—►?-►1—►1—►1—►

OG=-(OM+ON)=--OA+-(-OC+-OB)=-OA+-OB+-OCD正确；

223233636f

对于A,AG=OG-OA=--OA+-OB+-OC,A错误；

636

__k___2__►i___

对于B,BG=OG-OB=-OA——OB+-OC,B正确；

636

对于C,CG=OG-OC^-OA+-OB--OC,C错误.

636

故选：BD

【变式2］（2023春•高二课时练习）如图，已知空间四边形CMBC,其对角线为05、AC,M、N分

别是对边。/、8c的中点，点G在线段上，且砺=26，现用基向量力，OB，反表示向量，设

OG=xOA+yOB+zOC,则x、了、z的值分别是（）

B

【答案】D

【详解】•;M、N分别是对边04、3c的中点,

:.OM=^OA,dJv=1（ds+oc）.

—►►►►2►

/.OG=OM+MG=OM+-MN

3

-2/—►x1.2—,

=OM+-\ON-OM\=-OM+-ON

3、J33

=;吊E+3?砺+前)

1―►1—►1—►

=-OA+-OB+-OC,

633

因止匕x=l，y=z=-.

63

故选：D

题型03平面法向量的求解

【典例1】(2023春•高二课时练习)已知4(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2),则平面4SC的一个单位法向量

是()

A.(1,1,1)B.rv3vivji

C(1V3间fV3至Q

cD.

【答案】B

【详解】因为/(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2)

所以初=(-2,2,0),AC=(-2,0,2)

令平面ABC的一个法向量为E=(x,y,z)

ii-AB=0f-2x+2y=0一

可得｛—，即｛rqc，令Ax=l,则y=z=l,所以"=(1,1,1)

n-AC=Q[-2x+2z=0

故平面NBC的单位法向量是培，即或[TTY].

MI333JI333)

故选：B.

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)已知空间四点Z(2,7,1),S(-l,-l,2),C(-l,0,-l),。(0,0,0).求

平面ABC的一个法向量为；

【答案】(1,9,3)(答案不唯一)

【详解】由题知，^8=(-3,0,1),3C=(O,l,-3).

设平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

n■AB=0(-3x+z=0

一n3ac令z=3,则x=l,7=9,/./7=(1,9,3)

n-BC=0[y-3z=0

所以平面ABC的一个法向量n=(1,9,3).

此外，所有％工(2w0"eR)都是平面N5C的法向量，任写一个皆可.

故答案为：(1,9,3)(答案不唯一).

【变式1](2023秋•云南昆明•高二昆明一中校考期末)空间直角坐标系。-型中，已知点

/(2,0,2),8(2,l,0),C(0,2,0),则平面NBC的一个法向量可以是()

A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-1,2)

【答案】A

【详解】解：由题知刀=(0,1,-2),左=(-2,1,0),

设平面48c的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AB=0[y=2z-/、

所以_，即厂c,令x=l得〃=1,2,1

所以，平面45。的一个法向量可以是3=(1,2,1).

故选：A

【变式2](2023•全国•高二专题练习)平面a经过/(-3,5,1),8(2,1,4)且垂直于法向量为为=(1,-2,3)的

一个平面，则平面。的一个法向量是()

A.(2,1,2)B.(1,2,1)C.(4,1,4)D.(0,1,0)

【答案】B

【详解】由已知)〃a，又刀=(5,-4,3),

设平面a的一个法向量是用=(x,y,z),

n.\m-AB=5x-4y+3z=0口.口1一

贝叫__/,取x=，w0,则y=2/,z=%,即加=02,。，

m'n=x-2y+3z=0

比较只有B满足，

故选：B.

题型04利用空间向量证明平行、垂直关系

【典例1】(2023秋•北京大兴•高二统考期末)如图，在三棱柱NBC-446中，CG，平面

ABC,AB=BC=®AC=A4=2.D,E,户分别为4G，8耳的中点，则直线EF与平面88的位置

关系是()

A.平行B.垂直C.直线在平面内D.相交且不垂直

【答案】D

【详解】解：如图取4c中点M,连接及密，BM

因为/3=BC=右,M为/C中点，所以

又在三棱柱/8C-44G中，CG，平面/8C,£为4G中点，所以£M//cq

则£M_L平面/8C,又/C,M8u平面/8C,所以EM_LNC,EMVMB,

又/c=A4[=2,则/A/=；/C=I,所以MB=NAB。+/"=2，

以点M为坐标原点，"4,MB,ME为X,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则8(0,2,0),C(-l,0,0),23(1,0,1),£(0,0,2),尸(0,2,1),

设平面BCD的法向量为为=(x,y,z),

n-BC=01x+2y=0

则〈__.，即■{,令>=-1,贝!jx=2,z=—4,故云=(2,-1,-4),

n-BD=0[x-2y+z=0

又访=(0,2,-1),反=(-2,0,-1)

因为力.丽=2x0+(-l)x2+(Y)x(-l)=2wO,又而灰=0+0+(_1)X(_1)=1R0

所以直线E尸与平面相交，且不垂直于平面BCD.

故选：D.

【典例2】(多选)(2023•全国•高三校联考阶段练习)如图，在正方体/BCD-481G〃中，P是线段

上的动点，则下列结论错误的是()

A.4P_L平面B.4P_L平面4Ao

C.4P〃平面4gD.4P〃平面8CQ

【答案】ABD

建系如图，设正方体棱长为2,

则A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A,(2,0,2),男(2,2,2),£(0,2,2),Dx(0,0,2),

设丽=反+几西=(0,2,0)+(0,-2/l,2/l)=(0,2-22,22),

所以设尸(0,2-22,22),0W/W1,所以后=(-2,2-24,2孙

对于A,因为8片，平面48CD,/Cu平面48。，所以BgL/C,

又因为3r)_LNC,且8综BDu平面即％,BB、CBD=B,

所以NCL平面即A，

因为k=(-2,2,0),由于0W/W1,所以不与%不一定共线，故A错误;

设平面45D的一个法向量为加=(x,y,2),DB=(2,2,0),DA=(2,0,2),

DB•应=2x+2y=0

令x=l,则y=-l,z=-l,所以应=(1,-1,-1),

Z>4•应=2x+2z=0

t=-2

若4P4平面4aD,则力=标，即＜一/=2-2彳无解,

—t—2A

所以/尸上平面4出。不成立，故B错误；

对于C,设平面45cl的一个法向量为3=(Q也c),45=(。,2,-2),4cl=(-2,2,0),

11—」-XJ_»

，令〃=1,则b=l,c=1,所以“=(1,1,1),

-n=-2a+2b=0

AP-n=—2+2—22+22=0，

且/尸。平面4BC1,所以/尸〃平面48。，故c正确；

对于D,设平面3CQ的一个法向量为力=(d,e,/),丽=(2,2,0),西=(0,2,2),

p=2d+2e=0一

，令d=L则e=-lj=l,所以p=(l,-l,l),

-p=2e+2f=Q

方・力=-2-2+22+22=42-4不恒等于0,

所以NP〃平面3G。不一定成立，故D错误.

故选:ABD.

【典例3］（2023春高二课时练习）如图，在直四棱柱A8CD-4片GA中，底面48。）为等腰梯形，ABHCD,

48=4,BC=CD=2,AA1=2,尸是棱A8的中点.求证：平面44。。〃平面尸CC1.

A____C,

AFB

【答案】证明见解析

【详解】因为Z8=4,8C=CD=2,尸是棱的中点，

所以BF=BC=CF,所以△8CF为正三角形.

因为ABCD为等腰梯形，4B=4,BC=O2,

所以ZBAD=ZABC=60°.

取/尸的中点M,连接DM,

则DW248,所以DM_LCO.

以。为原点，所在直线分别为》轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系,

贝1JD(0,0,0),D,(0,0,2),A(V3,-1,0),F(V3,1,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),

所以西=(0,0,2),53=(73-1,0),CF=(V3,-l,0),西=(0,0,2),

所以国//兀，DAHCF^

又。O，cq不重合，。4c尸不重合，

所以。D1〃CG，DA//CF,

因为CC”CFu平面厂CC],00,0/0平面尸CC],

所以叫〃平面"G,DAII平面FCC〉

又DRCD4=D,。。],。4（=平面明£>[。，

所以平面44。。〃平面尸C。

【典例4]（2023•江苏•高二专题练习）如图，在三棱锥P-48c中，PB工平面ABC,AB上BC,AB=PB=2,

BC=2C,£、G分别为尸。、尸/的中点.

P

（1）求证：平面8CG_L平面P/C；

（2）在线段/C上是否存在一点N,使尸N,BE?证明你的结论.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在，证明见解析

【详解】（1）证明：•.•尸8,平面NBC,BCu平面4BC,

BCLPB,

又AB，BC,AB[}BP=B,平面尸48

:.8C_L平面尸4B,Hu平面尸4B,

BCLPA.

又AB=PB=2,为等腰直角三角形，G为斜边P4的中点，

BG1PA,XSG^\BC=B,BG,BCu平面3CG,

P4_L平面3CG,尸Zu平面上4C,

平面BCG_L平面尸NC；

（2）解：以点8为坐标原点，切为x轴，BC为了轴，3尸为z轴建立空间直角坐标系，则”（2,0,0）,

C（0,2A/3,0）,尸（0,0,2）,E（0,73,1）,

设存在点NeZC,使尸N，8£,点N的坐标设为N（X0，A，0）,

所以5E=(0,百,1),丽=(%,%,—2),

由相似三角形得/=去，即甘=当，

IAb||nC|22<3

”=2A/3-V3x0.

PN=(x0,2A/3-V3x0,-2j,

又PNLBE,

屉•丽=0.

/.0xx0+V3x(2A/3-V3x0)+lx(-2)=0,

4

=ye[0>2]，

故存在点Ne/C,使PNLBE.

【变式1](2023春•高二课时练习)在正方体4BCD-48©。中，P，。分别为48，的中点，则

()

A./与，平面43。B.异面直线/月与4c所成的角为30°

C.平面/片。〃平面8G0D.平面4。，平面4〃尸

【答案】D

【详解】对于选项A,假设/4，面43。，则/耳，4。，这与已知/耳与4G不垂直相矛盾，所以假设

不成立.

故选项A错误；

对于选项B,连接。£,DAl,

因为AB{//DC,,所以/DG4为异面直线ABX与4G所成的角或补角,

又因为△4G。为等边三角形，所以4匕4=60°,故选项B错误；

对于选项C,

因为42〃80,AD"/BCi，由面面平行的判定定理可得平面平面灰）G，而平面与平面

BOC］相交，所以平面/4口与平面BC©也相交，故选项C错误；

对于选项D,以Z）为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示，

设正方体的棱长为I,则。(0,0,0),4(1,1,1),c(o,i,o),尸卜;0；可得西=0,1,1),5c=(0,1,0),

=,设平面用CO的法向量为4=(x,y,z),

n-DB,=x+y+z=0一,、

则x_，可取x=l,贝lJv=0,z=—1,即々=(1,0,—1),

nx-DC=y=0

n2•DB[=a+b+c=0

设平面耳。尸的法向量为“2=（。也。），则，——»1

n-DP=a-\■—b=0

9一2

可取。=1,则6=-2,c=l,可得平面耳。尸的一个法向量为后=（1,-2,1）,

由多=1+°-1=°，所以即平面耳C。平面片DP,故选项D正确.

故选：D.

【变式2］（多选）（2023春•高二课时练习）如图，平行六面体/3CD-44GA的体积为48血，

yr

ZAMB=ZA/D,44=6,底面边长均为4,且//MB=尸分别为，及CC；,CQ的中点，则下列选

A.MN//APB.4c，平面BZW

C.APl^CD.4尸〃平面MNC

【答案】ABC

【详解】解：因为底面为边长为4的菱形，且所以四边形的面积为4x4xsin（=86,

又平行六面体48co-的体积为48血，所以平行六面体Z5CD-44GA的高为4=2n,

8V3

因为乙4/8=/440,所以4在底面的投影在/C上，设4在底面的投影为O,

贝1|4。=2几,又41=6,所以Q4=y/AA；-GM；=26,又/C=46=20/,

所以。为/C的中点，以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则/(2g,0,0),C(-273,0,0),5(0,2,0),D(0,-2,0),M(V3,l,0),

4(0,0,276),#(-3^3,0,76),P(-3A/3,-1,276),

所以砺=卜4百,一1,旬，AP=(-573,-1,276),4C=(-273,0,-276),

CM=(373,1,0),丽=13百2,痛)

因为加片彳下，所以MV、4尸不平行，故A错误;

又丽・荏=卜2百卜卜3百）+（-2*0+卜2次卜痛片0,所以BN与4c不垂直，故B错误;

因为万•丽=卜26卜卜5百）+卜2灰,2卡片0,所以ZP与4c不垂直，故C错误;

n-MN=0-4月x-y+屈z=0

设平面MAC的法向量为〃=（x,y,z）,贝1|<—,即

n-CM=03gx+了=0

不妨取1（行,-3而1卜

所以/尸•〃=J^x(―5>^)+卜3代")x卜1升lx26"=0,所以

又/尸。平面ACVC,所以/尸〃平面MVC,故D正确;

故选：ABC

【变式3］（2023•江苏•高二专题练习）如图，在四棱锥P-48CD中，底面4BCD为矩形，侧棱P4,底

面48cD,AB=s/3,BC=1,PA=2,E为P。的中点.

P

⑴求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面P45内找一点N,使平面上4c.

【答案】(1)十工

14

⑵答案见解析

【详解】(1)设zcn8£>=。，连。£、AE,则。E〃,

二AEOA即为/C与PB所成的角或其补角

在ZUQE中，AO=\,OE=-PB=—.AE=-PD=—,

2222

715

“皿二”卫工二二1377

2OE,AO.S14,

2x--x

2

即AC与PB所成角的余弦值为近.

14

(2)分别以AB.4P为1轴、V轴Z轴，建立空间直角坐标系，如图,

Z八

C

X

则可得N（0,0,0）、8（0,百,0）、C（l,百,0）、0（1,0,0）、尸（0,0,2）、E'，。」]，

万=（0,0,2）,就=（1,百,0）

设N（0,y,z）,则屉=[g,fl-z],由于平面尸ZC,

（—►—►2—2z=f）

NE•AP=GG

所以______,化简得1r-,可得y=组，z=l,

NE・AC=0--V3y=0-6

,12

因此，点N的坐标为0,^,1,

I6J

A

从而侧面尸48内存在一点N,当N到48、4P的距离分别为1和立时，平面尸/C.

6

【变式4]（2023•江苏•高二专题练习）如图，在直三棱柱/3C-44G中，4鸟=4。，尸为的中

点，D,£分别是棱8C,上的点，且/。工8C.

B

（1）求证：直线4月〃平面ADE；

（2）若“8C是正三角形，E为G。中点，能否在线段48上找一点N,使得4N〃平面/DE?若存在，确

定该点位置；若不存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵在直线用3上存在一点N,且BN=：BB1,使得&N〃平面NOE.

【详解】（1）在直三棱柱/8C-446中,

VAB=AC,/。_18。,，。是3。的中点，

又；尸为耳G的中点:.DF//AA},\^DF=AAif

四边形是平行四边形，.14尸〃ND

AXF<Z平面ADE,ADu平面ADE,^AXFH平面ADE.

（2）在直线用8上找一点N,使得4N〃平面ZDE,证明如下：

在直三棱柱/3C—4BG中，-：DFHAAX.-.DF1AD,DF1DC

又•；4D_LBC:.D4DC,Z)尸两两垂直，

以。为原点，QC为x轴，D4为了轴，。产为z轴，建立空间直角坐标系,

设44=2,AAX=2t,

QN在线段上,^BN=ABB1,O<A<1,则N(—1,0,2加)，

则A(O,V3,0),D(0,0,0),E(l,0,/),5(-1,0,0),

司(-1,0,2/),4(0,62),则方=(0,G,0),DE=(l,0,t),lJV=(-l,^3,2lt-2t),

设平面的法向量五=(x,y,z),

贝"2=后=0,取得—1),

[五-DE=x+£z=0

___.1

•♦•/[N〃平面/。5，二.4N・方=/+0+2»-2%=0,解得力二一，

12

...在直线48上存在一点N,RBN'BB、,使得4N〃平面/DE.

题型05异面直线所成角

【典例1】(2023春•贵州•高二贵州师大附中校联考阶段练习)如图，圆锥的轴截面N3C为等边三角形,

。为弧N8的中点，£为母线3C的中点，则异面直线48和。E所成角的余弦值为()

A.IB.正C.变D.-

3344

【答案】C

【详解】解法一：

c

D

图1

如图1,取/C中点产，连接EF,DF,。为N3的中点，连接OD,CO,OE,。尸,

易知CO，底面048,

因为COu平面N3C,所以平面/5C1底面Q1B.

又平面4BCc底面。43=/3,DOLAB,

所以DO_L平面48c.

因为EOu平面N3C,所以DO_LO£.

同理可得，DOLOF.

设底面半径为r，EF=r,DE=DF=^DO2+OE2=M-

因为瓦尸分别为CB,C/的中点，所以EF//AB,

则在SE厂中，NDE尸或其补角等于异面直线48和DE■所成的角.

DE?+EF2-DF22+1-2_A/2

所以cos/DEF=

2DE-EF2A/2-1-4

解法二:

如图2,。为48的中点，连接OD,C。，

易知CO,底面Q1B,

因为COu平面N3C,所以平面/3C1底面。18.

又平面4BCc底面OAB=4B,DOLAB,

所以。O_L平面48c.

图2

以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设48=2,

则/(0,-1,0),5(0,1,0),。(1,0,0),E

2,2

所以通=（0,2,0）,DE

ABDE

记所求角为凡贝l]cosO=

\AB\-\DE\

故选：c.

【典例2】（2023•全国•模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面/BCD是边长为2的正方形，£为下

底面圆周上一点，满足前=2成，则异面直线NE与所成角的余弦值为（）

【答案】B

【详解】法一：如图，连接EQ并延长，交底面圆于尸，连接尸q,FB,易知/E//B尸且/E=8尸,

E

所以/尸叫为异面直线AE与BO、所成的角或其补角.

因为港=2靛，贝匕/。2£=60°，所以为正三角形，故4E=BF=1.

由圆柱的性质知0尸=QB=《BC?+O©=V5,

法二：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则4（0,0,0）,5（0,2,0）,&（0,1,2）,E

Zb

―►।V311___.

所以4E=-y,-,0,5a=(O,—l,2),

I---►----»iAF•RC')<)

所以异面直线4E与BQ所成角的余弦值为MsZ£,BQ卜弱病=3

10

故选：B

【典例3】(2023•江苏•高三专题练习)如图，已知正三棱柱/3C-446的各条棱长都相等，P为仲

上一点，常=2还，(0<A<l),APC1AB.

(1)求人的值;

(2)求异面直线PC与AQ所成角的余弦值.

【答案】(叫

(2)正

8

【详解】(I)设正三棱柱Z8C-446的棱长为2,

分别取AC,4G中点为。a点，连结OBQO1.

因为“BC为等边三角形，所以OBL/C,OA=1,OB=6

又。,a点分别为取AC,4G的中点，所以oox//AAx.

又由正三棱柱的性质可知，幺4,平面N3C,所以平面N8C.

以点O为坐标原点，分别以OB,OC,O。1所在的直线为x,y,z轴，如图建立。-中Z空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,5（V3,0,0）,/（0,-1,0）,C（0,l,0）,O,（0,0,2）,4（0,-1,2）,Q（0,1,2）,

UUUzI—\---»/r—\LXLILL

所以，45=（6,1,-2）,/B=（j3,l,0）,布=（0,2,2）,4c=（0,2,-2）,

UULUHULLL1L111,、

所以尸C=40—4尸二（0,2,—2）—4（J3,1,—2）=（—J34—4+2,—2+22）.

因为所以屈.方=0，

所以有一3%—％+2=0,解得4=：.

2

UUDrfV331

（2）由（1）可知，PC=—,—,—1,

I22J

UUHIU

/零用'PCAC,0+3-2<2

所以COS（PC,4G）=IUUTHuf.=—F=-L=——.

所以\/园园|V8.V48，

所以，异面直线尸。与ZG所成角的余弦值为半.

【变式1】（2023春•山东济南•高一山东省实验中学校考阶段练习）已知四面体4BCD满足48/3C,

BCLCD,4B=BC=CZ）=2G，且该四面体的体积为6,则异面直线/。与3c所成角的大小为（）

A.45°B.60°C.45°或60°D.60°或30°

【答案】C

【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到CE=3,建立空间直角坐标系，得到各点坐标，

根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，

JZ=1X-X2V3X2V3XC£1=6,解得CE=3,

32

故OE=4CD1-CE2=J12-9=V3>

以E4,FC,尸G为x,P,z轴建立空间直角坐标系,

/（2后0,0）,8（2百,2后0）,C（0,2^,0）,。（0,6,3）或0（0,3a3）,

AD=(-273,后3)或访=卜2百,3瓜3),SC=(-2^3,0,0),

设异面直线AD与BC所成的角的大小为e,0<6»<90°,

\AD-BC\1241

Pf)Qf)—J----------L则6=45。；

R-KI273x276-2

阿•西12J

或cose二

|Zo|-|sc|2百x4百2

综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为45。或60°.

故选：C

【变式2］（2023•江苏•高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱