2022-2023学年上海延安中学高二（上）期末数学试题及答案

2022年延安中学高二年级期末试卷一、填空题（每小题3分，共36分）A3)1.，B两点关于原点对称，则点B的坐标为______.2.两条平行直线4x−3y+5=0和4x−3y−5=0的距离为______.(a+1x+4y−3=0)ax+2y−1=0和直线平行，则实数的值为______.a3.已知直线4.5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0的夹角的大小为______.325.(−0)是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为______.A1,0()B0()=2−P6.7.8.，两点，则满足的动点的轨迹方程为______.A(−2)x+y−100=，B两点关于直线对称，则点B的坐标为______.d=(−)12是平面的一个单位法向量，且l⊥，则向量nn的l是直线一个方向向量，坐标为______.9.经过点)x2y2r2+=x=5，则另一条切线的，可作圆的两条切线，已知其中一条切线的方程为方程为______（用一般式表示）BCa,2,a1=(−)AC=(2a,b+−4)，且AB⊥AC10.，，则为______.x2y2+=1()A59于B，Cy过点分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆的周长为______.两点，后者交轴于点，则Dx+2y−1=0上的一个动点，Q4x4−2x2y−x3+2x+1=02P12.为直线为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为______.二、选择题（每小题3分，共12分）y2x2−=15413.双曲线的焦点坐标为（）(0)()1(3,0)(3)D.A.B.C.方向向量是a，平面的法向量是n，则“a⊥n”是“l”的（）14.设直线lA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件()在圆x+y+ax+a=0外，则实数的取值范围为（）22a15.已知点(+)(0)A.C.B.D.(−0)(+)()(+),0x22y22x=a−=1的两条渐近线分别交于M，N两点，P为该双曲线上的任意一16.已知直线与双曲线ab1点，设O为原点，nON，=+m，n为实数，则的值为（）A.1B.2C.3D.4三、解答题（共52分）l:ax+y−a=0l:x−ay+6a−3=0.217已知直线和直线1（1）求证：对任意实数，直线和各经过一个定点（依次设为A和BA，B的坐标；all21（2）设直线和交于点P，求证：点P的轨迹是一个圆，并求其标准方程.ll1218.如图，四面体各棱长均为，E，F分别为棱DA，的中点，又设=a，DB=b，=c；（1）用向量a，b，c的线性组合表示向量，；（2）求向量，的夹角的大小.ABCD−ABCDAA1上的点，且1==1；19.已知正方体的棱长为，E，F分别为棱，11111如图所示，建立空间直角坐标系O−；利用所学空间向量知识，求：EFC（1A到平面的距离；1EFCABCD（2）平面与平面所成的锐二面角的大小.11111()的两条渐近线与圆(x+2)2+y=5在x轴的上方部分交于A，k2x2−y2=1k0220.如图，双曲线两点.Bk+1x)b，的+bx+c=0的两个根，求c（1）已知A，B两点的横坐标x和x恰为关于的方程x2212值；（2）如果线段AB的长为k的值.(Pa中，)是轴正半轴上的一点；过P作斜率为−1的直线，交二xOyy21.，在平面直角坐标系1次函数y=x2图象于Q，R两点；如图，把平面xOyy沿轴折起来，成为一个直二面角24Q−OP−R；如图3，建立空间直角坐标系O−.xOy（1）如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面上，设S是该曲线上的一点；如果的最小值，并求此时S在空间直角坐标系O−a=3，试求中的坐标；π=QPR（2）如图3，如果（的值.aPRQPR2022年延安中学高二年级期末试卷一、填空题（每小题3分，共36分）A3)1.，B两点关于原点对称，则点B的坐标为______.【答案】(−1,2,−3)【解析】【分析】两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标、竖坐标全部相反，故得解.)，B两点关于原点对称，A2,3【详解】因为所以B点坐标为(−1,2,−3).(−1,2,−3).故答案为：4x−3y+5=0和4x−3y−5=0的距离为______.2.两条平行直线【答案】2【解析】【分析】根据平行线间距离公式即可求解.5-(-)d==2，【详解】根据平行线间距离公式可得242+(-)故答案为：2ax+2y−1=0和直线(a+1x+4y−3=0a平行，则实数的值为______.)3.已知直线【答案】1.【解析】【分析】利用两直线平行列方程即可求得.a12ax+2y−1=0可化为：y=−x+(a+1x+4y−3=0可化为：)【详解】直线，直线2a+134y=−x+.4aa+1−=−24a=1.因为两直线平行，所以，解得：1342故答案：1.4.5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0的夹角的大小为______.π【答案】【解析】4【分析】分别求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求得.3【详解】直线5x−y+2=0的方向向量为=()，直线3x+2y−7=0的方向向量为m=−m1,5，2所以直线5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0的夹角的余弦值为：311+5−232,n==，mn2212+521+−22π，所以直线5x−y+2=0和直线3x+2y−7=0π因为两直线的夹角的夹角为.24π故答案为：435.(−0)是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为______.2x2y2−=1【答案】【解析】45【分析】由已知得a=2，【详解】由已知得a=2，c=3，再利用2=c2−a2，进而得解.bc32=c=3，ax2y2又b2=c2−a=9−4=5，所以双曲线的标准方程为2−=1.45x2y2−=1.故答案为：45A(1,0)B0)−=2两点，则满足的动点的轨迹方程为______.6.，Py=0(x)【答案】【解析】PA−PB=2=AB【分析】根据即可求解.A(0)，B0)PA−PB=2=AB,是两个定点，则满足【详解】由于因此动点的轨迹是AB的延长线上且点在x轴上点()的右侧（包含BB0=()y0x1，故答案为：y=0(x)(−)，两点关于直线+−=对称，则点B的坐标为______.A2xy1007.B【答案】【解析】b−2(−=−1+a5a−5b+22B(a,b)【分析】设点，由题意可得，求解即可.+−10=02B(a,b)【详解】解：设点，x+y−10=0k=1，因为直线的斜率为b−2(−=−1+a5则有，a−5b+2+−10=022a=8解得：b=15，所以点B的坐标为.故答案为：8.d=(12是直线l的一个方向向量，n是平面的一个单位法向量，且l⊥，则向量n的−)坐标为______.34123412【答案】(,,)或(−,−,).131313131313【解析】【分析】根据线面关系确定d与n共线的关系，再根据单位向量即可求解.是平面的一个单位法向量，d=(12是直线l的一个方向向量，l⊥−)n【详解】根据，所以d与n共线，且n是单位向量，3,4,12)341212)3+4+(12)3412n=(,,)n或=(−,−,)所以+42+(12)2131313d22131313d334123412故答案为：(,,)或(−,−,).1313131313139.经过点)x2+y=r22的两条切线，已知其中一条切线的方程为x=5，则另一条切线的，可作圆方程为______（用一般式表示）4x−3y+=0【答案】【解析】x+y2=r2的圆心为(0)5yk(x5)，−=−2根据切线的基本性质即可求解.【详解】由题意，圆x+y=r2的圆心为(0)，半径为，即r=5，22y−=kx−5)，即−y−5k+15=0(设另一条切线的方程为，−5k+1543=5，解得，k=所以2k+1420x−y−+15=04x3y0.−+=所以另一条切线的方程为，即334x−3y+=0故答案为：.10.a,2,a1，=(−)AC=(2a,b+−4)，且AB⊥AC，则BC______.为【答案】【解析】a,b【分析】根据向量垂直的数量积为，可求得，再利用向量的减法及模长公式可求解.−)AC=(2a,b+−4)，且AB,2b,a1【详解】，⊥AC，ABAC=2a2+bb+2)−4(a−)=0，+b+)=0，解得ab=(−)−(−)=(−)+b2−2a+b+2=(a−)2==1a22即又BCACAB4=−2,04BC=12+32+(4)=262故答案为：26x2y2()A+=1于B，C两点，后者交轴于过点分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆的周长为______.59D点，则【答案】12【解析】【分析】根据直线方程可得与轴的交点，进而可知(角形即可求解周长.D2E2),()为椭圆的焦点,故根据椭圆的焦点三y=2(x-)10?y2x+2，故直线与轴的交点坐标【详解】由题意可知：直线方程为：()E2ADAD(−)D2轴的交点坐标为,为,方程为：y=3(x-)10?y3x-2，故直线与x2y2(−)()为椭圆的焦点故+=1可知a=b=,D2E25故由椭圆方程,,59BC+CD+AD=CE+CD+BE+BD=2a+2a=4a=12的周长为，故答案为：1212.为直线x+2y−1=0−2xy−x+2x+1=0上的一个动点，则上的一个动点，为曲线4x4232线段长度的最小值为______.【答案】5【解析】11112y=2x2−x++1y=−x+的最小值即为与平行的直22x22线与4x4−2x2y−x3+2x+1=0相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距2离公式求解.112x+2y−1=0y=−x+【详解】直线可化为：.24x4−2x2y−x3+2x2+1=0.x0.对于曲线x=01=0不成立，所以当时，代入1111=2−x++1，导数为y=4x−−23所以4x4−2x2y−x3+2x2+1=0可化为y2x22x2x1212=−x+4x42xyx2x2+1=0−2−3+y所以线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行线间的距离.设切点().Q,n1111224m−−=−4m=m=3m32m21由题意可得：，即，解得：或1112n=2m2−m++1n=2m2−m++12n=3−22m222m42m=−2.2n=3+422222+23−−1Q,3−4当时，；24==512+222222−+23+−1Q−,3+24.当时，24==512+22长度的最小值为5.综上所述：线段故答案为：5.二、选择题（每小题3分，共12分）y2x2−=1的焦点坐标为（13.双曲线）54()()1(3,0)(3)D.1,0A.B.C.【答案】D【解析】c【分析】根据双曲线的标准方程确定，从而可以确定焦点坐标.【详解】双曲线a2=b=4，2所以c且焦点所以焦点坐标为2=a2+b2=5+4=9，轴，()3.故选：D.14.设直线l的方向向量是a，平面的法向量是n，则“a⊥n”是“l”的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】BB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由l，得：an，则a“⊥n”是“l”的必要条件，⊥而a⊥n不一定有l，也可能l故选：B.“⊥n”不是“l”的充分条件，则a.()在圆x+y+ax+a=0外，则实数的取值范围为（1）2215.已知点(+)(0)A.C.B.D.(−)(+)()(+),01,0【答案】C【解析】【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得.【详解】因为点()在圆x+y+ax+a=0外，222a−a0a(−)(+)1,0.所以4，解得：12+1+a1+a02故选：Cx22y22x=a−=1的两条渐近线分别交于M，N两点，为该双曲线上的任意一16.已知直线与双曲线ab1点，设O为原点，nON，=+m，n为实数，则的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】(+−)P,【分析】求出双曲线渐近线方程，得到M，点坐标，进而得到N，代入双曲线方程，即可得出结果.b【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=x，ax=ay=b()(−)Na,b.Ma,b代入可得，不妨设，=m,b+n,b=(+,−nb)，()()由=+nON可得P(+,−nb).(+)2(−)nb2na因为，点在双曲线上，有−=1，a2b21(+)即mn2−(−)2=1，所以==4.mn1，所以故选：D.三、解答题（共52分）l:ax+y−a=0l:x−ay+6a−3=0.217.已知直线和直线1（1）求证：对任意实数，直线和各经过一个定点（依次设为A和BA，B的坐标；ll21（2）设直线和交于点，求证：点的轨迹是一个圆，并求其标准方程ll.120)6)B【答案】（）证明过程见详解；A（2）证明过程见详解；(x−2)2+(y−2=10【解析】kk=−1证明AP⊥BP2定圆心和半径即可求解.【小问1详解】1:ax+y−a=0l:a(x−+y=0，1可以转化为：l0);所以经过定点A1l2:x−ay+6a−3=0l:x+(6−y)a−3=02可以转化为：，lB(3,6).所以经过定点2【小问2详解】l:ax+y−a=01联立解得，l2:x−ay+6a−3=02−6a+3ax=y=2+1a，6a2−2a+1a2所以P(a2−6a+36a2−2a+1,)，a2+1a26a2−2a+1a6a2−2a+1−0a2a2k===−a，所以APa2−6+3−6a+2−1−2a−6+12+1a2+1a6a2−2a+1−6+3−61a2a2kBP===，a2a−2a2−6aa−3a2+1a+12kk=−1，所以所以APBP，⊥所以点的轨迹是以AB为直径的圆，1圆心为：(2,，半径为R=−2+(6−0)=10.2=10，2标准方程是：(x−2)2+(y−2所以圆18.如图，四面体的各棱长均为2，E，F分别为棱DA，的中点，又设=a，DB=b，=c；（1）用向量a，b，c的线性组合表示向量，；（2）求向量，的夹角的大小.DF=b+c【答案】（）BE=a−b,22223（2）arccos−【解析】）根据空间向量的线性运算即可求解，（2）根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】()BE=−=a−b,=+=b+c2222【小问2详解】2为正四面体，所以a，b，c两两夹角为60由四面体各棱长均为，可知四面体，因此1a=b=c=ab=ac=bc=22=2，22BEDF=a−bb+c=ab+ac−b−bc=−b=−2，224422212a−b=a+b−ab=，b+c=b+c+cb=34224422a−bb+c−22BE==，12BEa−bb+c2223，π，所以BE=−由于BEABCD−ABCDAA1==1；上的点，且119.已知正方体的棱长为，E，F分别为棱，11111如图所示，建立空间直角坐标系；利用所学空间向量知识，求：EFC（1A到平面的距离；1EFCABCD所成的锐二面角的大小.1（2）平面与平面11113147【答案】（）31414（2）【解析】ACEFC）求出点的坐标，利用点A到平面的距离为，即可求解；1n（2）利用空间向量方法求面面夹角.【小问1详解】由已知得(C0,0,0)，()，(E)，A3)F3,0,21=)CF=3,0,2)1=(3)则1E设平面，，1n=(x,y,z)，EFC的法向量为1n+3y+z=0x=2=(−−)n3，则则，令nCF=3x+2z=01AC+3+96614314EFC===所以点A到平面的距离为14+1+9n14147小问2详解】n=(−−)3，EFC由（）知，平面的法向量为1)，ABCDCC=(0,31平面的法向量为1111EFCABCD所成的锐二面角为，则1111设平面与平面19331414314cos=cosC,n===，即=，Cn14314314EFCABCD所成的锐二面角为1所以平面与平面.111114k2x2−y2=1(k0)的两条渐近线与圆(x+2)2+2y=5在x轴的上方部分交于A，B20.如图，双曲线两点.k+1x)b，的+bx+c=0的两个根，求c（1）已知A，B两点的横坐标x和x恰为关于的方程x2212值；（2）如果线段AB的长为k的值.【答案】（）b=c=−1；（2）.【解析】y=x的方1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为程，再根据A，B两点的横坐标x和xb,c为方程的两个根，从而可求出；12(x,−B(x,)（2）由题意得，再根据两点间的距离公式和根与系数的关系可求出k的值.1122【小问1详解】y=由题意可知双曲线的两条渐近线方程为，y=，得(x+2)2+k2x2=5由，(+)2+y2=5x2化简得(k2+x2+4x−1=0，k+1x+bx+c=0的两个根，)因为A，B两点的横坐标x1和x恰为关于的方程x222所以b=c=−1；【小问2详解】(x,−B(x,)由题意得，2112AB=(x−x)2+k2(x+x)2=2，所以所以1212(x−x)2+k2(x+x)2=4，1212所以+k2)x21+(2k2−2)xx++k2)22=4，12+k+k22)(x21+22)+(2k2−2)xx=4即即，12)(x+x)2−4xx=4，121241x+x=,xx=12由（）可知，122+12+1kk16+1所以+k2)+4=4，(k222k+1化简得k2+1=5，解得k=2或k=2（舍去）中，()是轴正半轴上的一点；过P作斜率为−1的直线，交二Pa.xOyy21.，在平面直角坐标系1次函数y=2图象于Q，R两点；如图2，把平面xOy沿y轴折起来，成为一个直二面角x4Q−OP−R；如图3，建立空间直角坐标系O−.xOy（1）如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面上，设S是该曲线上的一点；如果的最小值，并求此时S在空间直角坐标系O−a=3，试求中的坐标；π=QPR（2）如图3，如果（的值.aPRQPRS27,7,0)【答案】（）有最小值为217，此时；a=24.（2）【解析】）根据已知求出点Q在图1中的坐标，然后转化为在图3的坐标根据已知设出S的坐标，根据两点之间的距离公式列出关系式，即可求出最小值；（2）联立直线与二次函数的方程可解出Q,R=22(a+1+)的坐标，进而得到，=22(a+1−).然后根据坐标关系可得出Q,R在空间直角坐标系下的坐标，得到2πRQ2=24a+32，在【小问1详解】中，根据余弦定理可解出QPR=.然后即可得到等量关系，求出结果.3y=−x+3a=3时，直线方程为.解：当14y=x2x=2x=−61联立直线方程与二次函数y=x2的方程可解