2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）3．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点P，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB4．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．65．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，BC′＝2，则A′C的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（4分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，则下列表述正确的是（）A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元7．（4分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O48．（4分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（）A．45° B．60° C．65° D．70°9．（4分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣210．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为．12．（4分）将抛物线y＝2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为．13．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°1B1（A、B分别与A1、B1对应），则∠A1OB的度数为度．14．（4分）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示．15．（4分）如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．16．（4分）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取2+mx＝16，按照图1，构造图2，∠ACB＝90°，连接CD，若．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，求证：BE＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：在⊙O中作出点D，使得点D是∠A所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，交BC于点E．探究OE与AC的数量关系，并证明你的结论．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．（1）若方程的两根相等，求k的值．（2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，求k的值；若不存在23．（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0）≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）24．（12分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AC＝6，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，使得FN＝AD，连接DF，猜想线段HN，MH，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN，CM，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AC＝6，在旋转过程中，求出GR的最小值；若不存在25．（14分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．（1）判断二次函数y＝x2﹣1是否为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，并说明理由．（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若，求b的值．（3）函数（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数（t为常数，t＞0）2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．

2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C中的三个图形都不是中心对称图形，选项D的图形是中心对称图形．故选：D．2．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）7﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣7），故选：D．3．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点P，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴圆心O在AD上，∴∠ACB＝∠AOB，故选：B．4．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2﹣7x﹣m＝0的一个根，∴26﹣5×2﹣m＝4，解得m＝﹣6．故选：A．5．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，BC′＝2，则A′C的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，∴AB＝A'B＝5，BC＝BC'＝2，∴A′C＝4，故选：B．6．（4分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，则下列表述正确的是（）A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元【解答】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，每天可多售出4顶，∴所列方程中（200﹣x）表示每顶帐篷的利润，（60+，∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数．故选：C．7．（4分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＜0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，所以点O2是原点；故选：B．8．（4分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（）A．45° B．60° C．65° D．70°【解答】解：连接OD，∵∠DAB＝25°，∴∠BOD＝2∠DAB＝50°，∴∠COD＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝70°，故选：D．9．（4分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，  ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，BO＝DO，∵AB＝2，∴DO＝1，AO＝，∴AC＝2，∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，∴A，D'，∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2，又∵∠ACB＝30°，∴D'E＝﹣5，CE＝D'E＝3﹣，∵重叠部分的面积＝△ABC的面积﹣△D'EC的面积，∴重叠部分的面积＝×＝8﹣；②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3﹣，故选：A．10．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3【解答】解：如图所示，直线l，直线与新图象有3个交点，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，则点A（3，将点A的坐标代入y＝x+m并解得：m＝﹣6，二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6，联立y＝x3﹣x﹣6、y＝x+m并整理得：x2﹣8x﹣6﹣m＝0，Δ＝2+4（6+m）＝2，解得：m＝﹣7，故答案为：﹣7或﹣2．由图可以看出：当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，故选：D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（﹣1，3）．【解答】解：点A（1，﹣3）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，故答案为：（﹣1，3）．12．（4分）将抛物线y＝2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+2．【解答】解：将抛物线y＝2x2先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度2+6，故答案为：y＝2（x﹣1）3+2．13．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°1B1（A、B分别与A1、B1对应），则∠A1OB的度数为70度．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1（A、B分别与A3、B1对应），∴∠A1OA＝100°，又∵∠AOB＝30°，∴∠A5OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝100°﹣30°＝70°，故答案为：70．14．（4分）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示7.5小时．【解答】解：这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数、8小时，所以所调查学生睡眠时间的中位数为＝7.3（小时），故答案为：7.5小时．15．（4分）如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴AD＝CD，∴△ADC为等腰直角三角形，把△DAB绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，如图，∴DE＝DB，CE＝AB＝1，∠DCE＝∠A，∴△DBE为等腰直角三角形，∵∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCE+∠DCB＝90°，∴点B、C、E共线，∴BE＝BC+CE＝2+3＝3，∴BD＝BE＝．故答案为：．16．（4分）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取2+mx＝16，按照图1，构造图2，∠ACB＝90°，连接CD，若6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝BD＝，∴AB＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝，∵，∴，即＝，∴5m＝3，∴25m2＝3（m2+16），解得m＝6或m＝﹣5，根据题意m＞0，∴m＝6；经检验，m＝2是原方程的解；故答案为：6．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．【解答】解：这里a＝1，b＝3，∵△＝3+4＝13＞0，∴x＝，则x1＝，x2＝．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边平行且相等），∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行内错角相等），∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°（垂直定义），在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝×＝，当x＝+2时＝1+6．20．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个【解答】解：设前三季度生产量的平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝144，解得：x6＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：前三季度生产量的平均增长率为20%．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：在⊙O中作出点D，使得点D是∠A所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，交BC于点E．探究OE与AC的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）结论：AC＝2OE．理由：∵＝，∴OD⊥BC，∴CE＝EB，∵OA＝OB，∴AC＝2OE．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．（1）若方程的两根相等，求k的值．（2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，求k的值；若不存在【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k+1）]8﹣4（k2+k+5）＝4k2+2k+4﹣4k7﹣4k﹣12＝4k﹣5．∵原方程有两个相等的实数根，∴4k﹣8＝5，∴k＝2；（2）不存在，∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+8＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．∴a+b＝2（k+7），ab＝k2+k+3，∵，∴a2+b5＝16，∴（a+b）2﹣2ab＝16，∴[﹣5（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，∴k4+3k﹣9＝2，∴k＝，∵一元二次方程x2﹣8（k+1）x+k2+k+8＝0（k为常数）的两个实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k4+k+3）≥0，∴k≥3，∴不存在常数k，使得．23．（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0）≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）【解答】解：（1）∵长方形的长 AD＝4米，宽 ，抛物线的最高点 E到 ，∴OH＝AB＝3米，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1米，8），0），由题意知抛物线的函数表达式为 y＝ax2+8，把点 ，0）代入，得 a＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为 y＝﹣x8+1；（2）∵M（m，0），∴N（m，﹣m2+7），∴MN＝﹣m6+1，∴C矩形MNFG＝2（MG+MN）＝5[2m+（﹣m2+1）]＝﹣m2+7m+2，∵﹣＜0，且≤m≤1，∴当m＝1时，C有最大值，∴长方形窗户框架的成本为×10＝55（元），∴395+55＝450（元），答：每个B型活动板房的成本是450元；（3）根据题意，得 W＝（n﹣450）[100+2+20000，∵﹣6＜0，∴当 n＝550 时，且最大值为20000，答：公司将销售单价n定为 550 ，每月销售B型活动板房所获利润W最大．24．（12分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AC＝6，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，使得FN＝AD，连接DF，猜想线段HN，MH，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN，CM，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AC＝6，在旋转过程中，求出GR的最小值；若不存在【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AB＝AN＝10，∵∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∵AC＝6，∴BC＝＝＝6＝＝8，∴BN＝BC+CN＝16；即BN的长为16；（2）HN﹣MH＝CD，证明如下：在NM上取点Q，使NQ＝CD，如图：由△ABC绕点A顺时针旋60°转得到△ANM得：AN＝AB，∠BAN＝60°，∴△ABN是等边三角形，∴∠ANB＝60°，∴∠FNQ＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣∠ANM＝120°﹣∠ANM，在△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，由旋转性质知∠ANM＝∠ABC，∴∠ADB＝∠FNQ，∵FN＝AD，∴△FNQ≌△ADC（SAS），∴∠FQN＝∠ACD，FQ＝AC，∴180°﹣∠FQN＝180°﹣∠ACD，即∠FQH＝∠ACB，由旋转性质知∠M＝∠ACB，∴∠FQH＝∠M，∵AM＝AC，∴FQ＝AM，∵∠FHQ＝∠AHM，∴△FQH≌△AMH（AAS），∴QH＝MH，∵HN﹣QH＝NQ，∴HN﹣MH＝CD；（3）在旋转过程中，GR存在最小值8过B作BP∥MN交MC延长线于P，连接NC∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AC＝AM，∠ACB＝∠AMN＝90°，∴∠ACM＝∠AMC，而∠BCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝90°﹣∠ACM，∠NMP＝∠AMN﹣∠AMC＝90°﹣∠AMC，∴∠BCP＝∠NMP，∵BP∥MN，∴∠P＝∠NMP，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∴BP＝MN，在△BPG和△NMG中，，∴△BPG≌△NMG（AAS），∴BG＝NG，即G是BN中点，∵点R为BC的中点，∴GR是△BCN的中位线，∴GR＝NC，要使GR最小，只需NC最小，而AN＝AB＝10，