数学学案：投影与直观图

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1.1。4投影与直观图1．了解平行投影、中心投影的主要特征和关系．2．会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，会画出某些建筑物或零件的直观图．3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．平行投影（1）平行投影：在一束________光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投射线是________的(如下图)．(2）平行投影的性质：①直线或线段的平行投影仍是________或________．②平行直线的平行投影是________或________的直线．③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段__________．④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形________．⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比________这两条线段的比．【做一做1】当图形中的直线或线段不平行于投射线时，下列关于平行投影性质的叙述正确的个数是（)．①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的投影仍是平行直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④矩形的平行投影一定是矩形．A．1B．2C．3D．42．直观图（1)定义：当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的____________可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的__________．(2)空间图形的直观图画法:__________。（3）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤是:①在已知图形中取互相__________的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________（或________），它们确定的平面表示水平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．（4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox,Oy，再作Oz轴,使∠xOz＝________，∠yOz＝________。②画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段,在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度________，平行于y轴的线段,长度为原来的________．⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．斜二测画法的作图规则可以简要地说成：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度)”．【做一做2－1】关于“斜二测画法"，下列说法不正确的是()．A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的eq\f(1，2）C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同,所得的直观图可能不同【做一做2－2】如图，该直观图所表示的平面图形是(）．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形3．中心投影一个________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影(如图)．在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．【做一做3】相片放大和电影都是__________投影；几何画图和工程制图都是__________投影．1．中心投影与平行投影的区别与联系剖析:中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，但应注意的是:(1）画实际效果图时，一般用中心投影法．如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点；(2）中心投影和平行投影的区别在于:平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点；（3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图．经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多,但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；（4）画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．2．斜二测画法的作图技巧剖析：(1）在已知图中建立直角坐标系，理论上是在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等．(2)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线．原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．（3)在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图．在斜二测画法中,直观图与原图存在如下关系：①平行性不变;②共点性不变；③平行线段的长度比不变．正因为这样，所以直观图的形状虽然有很大变化，但我们仍能借助于直观图结合几何体的概念，想象出原图的形状和性质．3．教材中的“思考与讨论”如果一个平面图形所在的平面与投射面平行,试问，中心投影后得到的图形与原图形有什么关系？剖析：若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似．题型一平行投影的性质应用【例1】如果图形所在的平面不平行于投射线,那么下列说法正确的是（)．A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．正方形的平行投影一定是矩形D．正方形的平行投影一定是菱形反思：平行投影的性质是分析原图形与其投影的关系的理论依据．题型二画直观图【例2】画出一个锐角是45°的平行四边形的直观图．分析：画水平放置的平面图形的直观图时,建系至关重要，应将尽量多的点放在坐标轴上，这样，点在直观图中的位置更容易确定．反思：画平面图形的直观图时，首先要在原图中建好坐标系，再依据作图规则逐步作出．【例3】有一个正三棱锥,底面边长为3cm,高为3cm，画出这个正三棱锥的直观图．分析：根据斜二测画法，先选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．反思：正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到,应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中,可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为:先画底面、找底面的中心、作高连线．题型三直观图的还原【例4】图形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，∠A′＝45°，请画出它的实际图形．分析：eq\x（已知直观图是一个锐角为45°的平行四边形)→eq\x（建立直观图的坐标系)→eq\x（建立平面直角坐标系)→eq\x(还原实际图形）反思：还原图形的过程是画直观图的逆过程，它主要包括平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍等．题型四易错辨析【例5】利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别,直观图形是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的一种图示，而平行投影的情况就较多了．1下列命题中真命题的个数是（)．①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形;③三角形的平行投影一定是三角形．A．0B．1C．2D．32下列说法正确的是()．A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形,则这两个图形一定是全等三角形3（2011·福建福州高一期末)利用斜二测画法,作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中对应的函数表达式是（）．A．y＝－x＋1B．y＝x－1C．y＝－2x＋2D．y＝2x－24若线段AB平行于投影面，O是线段AB上一点，且eq\f(AO,OB)＝eq\f(m，n),则O的平行投影O′分线段AB的平行投影A′B′的长度之比eq\f（A′O′，O′B′)为________．5用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．答案：基础知识·梳理1．(1）平行平行(2)①直线线段②平行重合③平行且等长④全等⑤等于【做一做1】B①③正确．2．(1)平行投影（平面图形）直观图（2)斜二测画法(3)①垂直45°135°②平行③不变一半（4)①90°90°②45°（或135°）90°③平行④不变一半【做一做2－1】C画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°,所以C项不正确．【做一做2－2】B因为在直观图中三角形的两条边平行于坐标轴，所以原来的平面图形是直角三角形．3．点光源【做一做3】中心平行典型例题·领悟【例1】B结合平行投影的性质去判断．【例2】解：如图①，四边形ABCD是以∠A为45°的平行四边形，以AB所在的直线为x轴，过点D且与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系．画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA,O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f（1,2)OD，经过点D′作D′C′∥x′轴且使D′C′＝DC。连接A′D′,B′C′,所得四边形A′B′C′D′即是所给平面图形的直观图，如图③。【例3】解：（1）先画出边长为3cm的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；（2)过正三角形的中心O′建立z′轴，画出正三棱锥的顶点V′,使V′O′＝3cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图②所示；（3）擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图,如图③.【例4】解：（1)在原图中建立如图①所示的坐标系x′O′y′，再建立一个直角坐标系,如图②所示;①②（2）在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′；（3）过点B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD即为A′B′C′D′的实际图形．【例5】C正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即命题③④为假命题,故选C.随堂练习·巩固1．A若平面图形所在平面与投射线平行，则上述三个命题中的平面图形的平行投影都是线段，可知三个命题都不成立．故选A.2．B直角坐标系的选取不同时,图形的直观图也会不同，所以选项A，C，D错误，但平行关系不会发生变化．3．D由直观图还原规律可得A,B在直角坐标系中的位置如图所示．令函数关系式为y＝kx＋b，将A（1,0)，B(0,－2）代入上式得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0,,b＝－2，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－2,））∴函数表达式为y＝2x－2