数学学案：例题与探究应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1在一次夏令营活动中,同学们在相距10海里的A、B两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的C岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解C岛与B岛或A岛的距离.为此他们测得从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和C岛之间的距离是多少海里？思路分析：根据题意不难将题意中所述的数据反映在图形上，结合图形分析不难得到结果.解:如图1-2-3,在△ABC中，由题意,知∠CAB=60°,∠ABC=75°，图1—2—3∴∠ACB=45°。由正弦定理，得BC=海里.绿色通道：根据题目的叙述正确画出示意图，然后在相应三角形中应用正弦定理就可以达到目的,真正把数学融入实际生活.变式训练如图1-2—4所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD=a和∠ACD=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ADC=δ，试求AB的长.图1-2—4思路分析：对于AB，可以在△ABC中求解，也可以在△ABD中求解,若在△ABC中,需求出AC、BC，再利用余弦定理求解。而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内利用正弦定理求解.解：在△ACD中,已知CD=a，∠ACD=α，∠ADC=δ，由正弦定理，得AC=.在△BCD中，由正弦定理，得BC=。在△ABC中,已经求得AC和BC，又因为∠ACB=α-β，所以用余弦定理。就可以求得AB=。例2如图1-2—5所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°,求此山的高度CD。图1-2—5思路分析：本题主要问题可能会出现在题目中所述的角度不能正确的分辨上,从而导致出错。只要能正确根据题目的叙述,将问题转化为一个数学问题,从而容易将问题解决。要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可。解:根据已知条件，可以计算出BC的长。在△ABC中,∠A=15°，∠C=25°—15°=10°，根据正弦定理,，得BC=≈7。4524km。∴CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047m。答：山的高度约为1047米。绿色通道：此类问题主要容易错在角度的具体位置找不对，另外在具体问题中有时可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中应用相应定理去解决问题,这些都要根据具体题目的已知条件具体分析.变式训练如图1—2-6所示，为了测量上海东方明珠塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖的仰角为75。5°，前进38.5m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度。图1—2—6思路分析：由于CD难以直接求解，我们可借助解直角三角形求解，只要能计算出BC的长,则在Rt△BCD中,可得塔高CD,而BC的长可在△ABC中利用正弦定理求得.解:∵∠CAD=75。5°,∠CBD=80°,∴∠ACB=4。5°.在△ABC中，由,得BC=≈477m.∴CD=BC·sin80°≈470m,即塔的高度为470m。例3如图1—2—7所示，自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵支点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20′,AC长为1.40m，计算BC的长。（保留三个有效数字）图1—2-7思路分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC=1.40m，AB=1.95m，∠BAC=60°+6°20′=66°20′。相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.解:由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66°20′=3。571.∴BC≈1.89m。答：油泵顶杆BC约长1.89m。绿色通道：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义,并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目中准确地提炼出来。变式训练1如图1-2-8所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进m至D点,测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.图1-2—8思路分析：根据已知，结合图形，可以分析各边角的关系，最后会发现各已知聚集在△ACD中，通过正弦定理可列出关于θ的方程,求出θ后，可求出AD，再在Rt△ADE中,求AE。当然也可以通过方程求解。解法一:(用正弦定理求解)由已知，得在△ACD中，AC=BC=30，AD=DC=，∠ADC=180°-4θ，∴.∵sin4θ=2sin2θcos2θ，∴cos2θ=，得2θ=30°。∴θ=15°。∴在Rt△ADE中，AD=，∠ADE=4θ=60°,∴AE=ADsin60°=15。解法二：（设方程来求解)设DE=x，AE=h,在Rt△ACE中，（103+x）2+h2=302，在Rt△ADE中,x2+h2=()2，两式相减，得x=，h=15.∴在Rt△ACE中,tan2θ=.∴2θ=30°,θ=15。解法三:(用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得∠BAC=θ，∠CAD=2θ，∴AC=BC=30m，AD=CD=m.在Rt△ACE中，sin2θ=，①在Rt△ADE中，sin4θ=，②②÷①，得cos2θ=。∴2θ=30°。∴θ=15°.AE=ADsin60°=15.答：所求角θ为15°，建筑物高度为15m.变式训练2如图1-2-9,在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜。问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。图1-2—9解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点)走私船，则CD=t海里，BD=10t海里.∵BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=（—1）2+22—2（-1)·2cos120°=6,∴BC=.∵,∴sin∠ABC=.∴∠ABC=45°.∴B点在C点的正东方向上。∴∠CBD=90°+30°=120°.∵,∴sin∠BCD=。∴∠BCD=30°.∴缉私船的方向为北偏东60°。由∠CBD=120°，∠BCD=30°，得∠D=30°。∴BD=BC，即10t=.∴t=小时≈15分钟.答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.例4在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ（cosθ=）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？思路分析：设t小时后台风中心在Q，此时城市O受到台风影响,即此时O在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断的增大,连结OQ，把问题放到△OPQ中,利用正弦、余弦定理解三角形即可。解:如图1—2—10，设在t小时后台风中心在Q点，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t+60）km。若在此刻城市O受到台风的影响,则OQ≤10t+60。图1—2-10由余弦定理，知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·POcos∠OPQ。由PO=300，PQ=20t，cos∠OPQ=cos（θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=，∴OQ2=（20t）2+3002-2×20t×300×=202t2—9600t+3002.∴202t2-9600t+3002≤（10t+60）2.整理，得t2—36t+288≤0。解得12≤t≤24.∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时。绿色通道:本题关键是从示意图中抽象出三角形,建立数学模型，利用正弦、余弦定理解三角形,得到数学模型的解。变式训练上例中，如果台风侵袭的圆形区域半径不变，那么该城市还会不会受到侵袭?如果会，几小时后受侵袭?如果不会，请说明理由.思路分析：假设该城市会受到侵袭,当台风到达Q点时刚好侵袭该城市，仿例4构造△OPQ.则OQ=60,OP=300，∠OPQ=θ—45°，解三角形进行判断，若三角形有解，则会受到侵袭;无解,则不会受到侵袭.此问题还可以采用不等式的思想来解决，即OQ≤60时会受到侵袭.解不等式看是否有解。解：在△OPQ中，∠OPQ=θ-45°，而cosθ=，∴sinθ=。∵sin（θ—45°）=sinθcos45°-cosθsin45°=(sinθ—cosθ)=,则OP·sin（θ-45°）=300×=180.于是OQ=60＜OP·sin(θ—45°）,这样的三角形不存在。∴该城市不会受到台风的侵袭.问题探究问题两千多年前，我国汉代的天文学家把商高的“测天量地"方法推广到计算太阳的高度.现在我们知道太阳离地球有1460万千米之遥，可是古代人又能怎样测算呢?导思:把太阳看作一个固定不动的点,选择一根长度已知的标杆，某一时刻找到太阳直射的一个点，再在不同的两个地方把标杆竖起，测量其影子的长度,根据三角形计算就能估算出太阳的高度。探究:那时人们认为天是圆的,地是方的，太阳挂在天空中特定的地方，它的高度是可以测量的。于是,天文学家根据一根已知长度的标竿