电子技术基础项目化教程 课件 项目6 逻辑代数与逻辑门电路

6.1项目分析1.项目内容3.能力要求下页总目录2.知识点项目六逻辑代数与逻辑门电路1.项目内容本项目将讨论数制与码制、逻辑代数的基本公式和定理、逻辑函数表示方法及相互转换和逻辑函数的化简，以及逻辑门电路及其应用等。2.知识点①数制与码制；②逻辑代数的基本概念、公式和定理；

6.1项目分析下页首页上页下页上页首页③逻辑函数表示方法及相互转换；④逻辑函数的化简；⑤逻辑门电路及其应用。3.能力要求①会对各种进制数进行相互转换；②能熟练使用逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法法进行化简；③能熟练使用逻辑门电路实现相关功能。6.2相关知识6.2.1数制和码制6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理6.2.3逻辑函数表示方法及相互转换总目录下页6.2.4逻辑函数的化简6.2.5TTL集成门电路6.2.6CMOS集成门电路6.2相关知识6.2.1数制和码制总目录下页6.2.1数制和码制下页上页首页1.数制数制全称为计数体制是用以表示数值大小的方法。人们是按照进位的方式来计数的，称为进位制，简称进制，根据需要可以有多种不同的进制。在讲述数制之前，必须先说明几个概念。

基数或基：在某种数制中，允许使用的数字符号的个数，称为这种数制的基数或基。

系数：任一种N进制中，第i位的数字符号Ki，称为第i位的系数。

权：任一种N进制中，Ni称为第i位的权。

十进制是我们最熟悉的计数制。它用0～9十个数字符号，以一定的规律排列起来表示数值的大小。相邻位之间，低位逢十向高位进一，即为十进制。它的基数为10，各位的系数Ki可以是0～9十个数字中任一个，各位的权为10i。因而，任意一个n位十进制数[M]10可以表示为

（1）十进制数下页上页首页[M]10=Kn-1×10n-1+Kn-2×10n-2+……+K1×101+K0×100

=

×10i如[1898]10=1×103+8×102+9×101+8×100

下页上页首页（2）二进制数

二进制是数字电路中应用最广泛的计数制。因为在数字电路中通常只有低电平和高电平两个状态，这两个状态刚好可以用二进制数中的两个符号0和1来表示。它的运算规则简单，在电路中易于实现。在二进制中，相邻位之间，低位逢二向高位进一，即为二进制。它的基数为2，各位的系数Ki可以是0或1，各位的权为2i。因而任一个n位二进制数[M]2表示为

[M]2=Kn-1×2n-1+Kn-2×2n-2+……+K1×21+K0×20=

×2i

如[101110]2=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20

下页上页首页（3）八进制数如果将一个十进制数变换为二进制数，不仅位数多，难以记忆，且不便书写，易出错。因而在数字系统中，常用与二进制有对应关系的八进制或十六进制。八进制中，各相邻位之间，低位逢八向高位进一。它的基数为8，各位的权为8i，各位的系数Ki可以是0～7八个数字中任一个，因而任一个n位八进制数[M]8可以表示为

[M]8=Kn-1×8n-1+Kn-2×8n-2+……+K1×81+K0×80=

×8i

如

[267]8=2×82+6×81+7×80

下页上页首页（4）十六进制数

在十六进制数中，各相邻位之间，低位逢十六向高位进一。它的基数为16，为了书写和计算方便，在十六进制数中，各位的系数Ki可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数字符号中任一个。各位的权为16i，因而任一个n位十六进制数[M]16可以表示为[M]16=Kn-1×16n-1+Kn-2×16n-2+…+K1×161+K0×160

=

×16i

如[9FE]16=9×162+14×161+15×160

表6-1几种常用进制及对应关系下页上页首页2.不同数制间的相互转换（1）二进制数与八进制数之间的相互转换三位二进制数转换为八进制数：三位二进制代码可以组合为0～7八个数字符号，所以用三位二进制数正好可以表达一位八进制数。因而二进制数转换为八进制数的方法为：以小数点为界，将二进制数的整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每三位一组，首尾不足三位的补零，然后将每组三位二进制数用一位八进制数表示。

下页上页首页例6-1将二进制数（1111010010.01）2转换为八进制数。解：（001，111，010，010.010）2=（1722.2）8↓↓↓↓↓1722.

2

将八进制数转换为二进制数：与上面的转换相反，将一位八进制数用三位二进制数表示即可。

例6-2将八进制数（6407.2）8转换为二进制数。

解：（6407.

2）8=（110100000111.010）2↓↓↓↓↓110100000111.010

下页上页首页（2）二进制数与十六进制数间的转换二进制数转换为十六进制数：四位二进制数可以组合为0～15十六个数字符号，所以用四位二进制数正好可以表示一位十六进制数。二进制数转换为十六进制数方法：以小数点为界，将二进制数整数部分从低位开始，小数部分从高位开始，每四位一组，首尾不足四位的补零，然后将每组四位二进制数用一位十六进制数表示。

下页上页首页例6-3将二进制数（10110100111100.01001）2转换为十六进制数。解：（0010，1101，0011，1100.0100，1000）2=（2D3C.48）16

↓↓↓↓↓↓

2D

3

C.48

下页上页首页十六进制转换为二进制数：上面的转换方法相反，将一位十六进制数用四位二进制数表示即可。

例6-4将十六进制数（4FB.CA）16转换为二进制数。解：（4FB.CA）16=（010011111011.11001010）2↓↓↓↓↓010011111011.11001010

下页上页首页（3）十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数将十进制整数转换为其它进制数一般采用除基取余法。

将十进制小数转换为其它进制数一般采用乘基取整法。

具体方法是将十进制整数连续除以N进制的基数N，取得各次的余数，将先得到的余数列在低位，后得到的余数列在高位，即得N进制的整数。再将十进制小数连续乘以N进制的基数N，求得各次乘积的整数部分，将其转换为N进制的数字符号，先得到的整数列在高位，后得到的整数列在低位，即得到N进制的小数。

下页上页首页例6-5将十进制数（342.6875）10分别转换为二进制数、八进制数、十六进制数。↑

解：整数部分（342）10

=（101010110）2

=（526）8=（156）16

下页上页首页小数部分（0.6875）10=（0.1011）2=（0.54）8=（0.B）16

所以（342.6875）10=（101010110.1011）2

=（526.54）8=（156.B）16

下页上页首页（4）二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数二进制、八进制、十六进数按权展开，求各位数值之和即可得到相应的十进制数。

例6-6分别将（1001111）2、（246）8、（8E）16转换为十进制数。解:（1001111）2=1×26+0×25+0×24+1×23+1×22+1×21+1×20

=（47）10（246）8=2×82+4×81+6×80=（166）10

（8E）16=8×161+14×160=（144）10

下页上页首页3.码制码制是指利用二进制代码表示数字或符号的编码规则。在数字系统中，各种数据、信息、文档、符号等，都必须转换成二进制字符号来表示，这个过程称为编码。这些特定的二进制数字符号称为二进制代码。用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方法，称为二－十进制代码，或称BCD码。BCD码有多种形式常用的有8421码、2421码、5421码、余3码，如表6-2所示。

下页上页首页表6-2几种常用的BCD码下页上页首页（1）8421码8421码是恒权代码，用四位二进制代码表示一位十进制数，从高位到低位各位的权分别为8、4、2、1，即23、22、21、20。它们代表的值为M=K3×23+K2×22+K1×21+K0×20，与普通四位二进制数权值相同。但在8421码中只利用了四位二进制数0000～1111十六种组合的前十种0000～1001，分别表示0～9十个数码，其余6种组合1010～1111是无效的。8421码与十进制间直接按各位转换。

（86）10=（10000110）BCD

↓↓10000110

下页上页首页（2）2421码和5421码2421码和5421码也属于恒权码，也是用四位二进制数代表一位十进制数，从高位到低各位的权分别为2、4、2、1和5、4、2、1。

由表6-2可见2421码分为A码和B码，在2421(B)码中0和9，1和8，2和7，3和6，4和5互为反码。设各位系数为K3、K2、K1、K0，则它们所代表的值分别为：

（M）2421=K3×2+K2×4+K1×2+K0×1（M）5421=K3×5+K2×4+K3×2+K0×1下页上页首页（3）余3码余3码是无权码，每位无固定权值。它也是用四位二进制数代表一位十进制数，但不能由各位二进制数的权求得代表的十进制数。它们组成的四位二进制数比它代表的十进制数多3，它是将普通的四位二进制数的首尾3组去掉而得到（即0000、0001、0010、1101、1110、1111），故称余3码。由表6-2可见，这种码对应0和9，1和8，2和7，3和6，4和5各位也是互为反码。

如（86.2）10=（10111001.0101）余3码

下页上页首页（4）格雷码格雷码又称循环码，是无权码。

它有多种编码形式，但有一个特点：相邻两个代码之间仅有一位不同，且以中间为对称的两个代码也只有一位不同。当计数状态按格雷码递增或递减时，每次状态更新仅有一位代码变化，减少了出错的可能性。实际应用中很有意义。表6-3所示为四位循环码编码表。

下页上页首页表6-3四位循环码编码表6.2相关知识6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理总目录下页下页上页首页6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理

1.三种基本逻辑关系（1）基本概念1）逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑变量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2）逻辑运算：在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

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3）逻辑函数：逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样，逻辑函数也可以用表格和图形的形式表示。

4）逻辑代数：逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

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（2）“与”运算

“与”运算又叫“逻辑乘”，它所对应的逻辑关系为：只有当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A与B都接通）全部具备之后，这件事情才会发生，这种关系称与运算。

下页上页首页用如图6-1所示开关串联控制电路来描述“与”逻辑关系。设开关A、B闭合为1，打开为0；灯Y亮为1，灭为0。Y是A、B的函数，当且仅当A=B=1(都闭合)时，Y才等于1(亮)，真值表如表6-4所示。

图6-1开关串联控制电路表6-4与运算真值表

下页上页首页根据表6-4可以得出与运算逻辑表达式为：Y=A·B逻辑符号如图6-2所示。

（a）曾用符号（b）国际符号图6-2与运算逻辑符号表6-4与运算真值表

下页上页首页（3）“或”运算“或”运算又称为“逻辑加”，它所对立的逻辑关系为：当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A、B接通）中只要有一个条件得到满足，这件事就会发生，这种关系称为或运算。下页上页首页用如图6-3开关并联控制电路来描述“或逻辑”关系。设开关A、B闭合为“1”状态，打开为“0”状态；灯Y亮为“1”状态，灭为“0”状态。当A=1或B=1或A=B=1，灯都会亮。真值表同表6-5所示。

图6-3并联控制电路表6-5或运算真值表下页上页首页表6-5或运算真值表根据表6-5可以得出或运算逻辑表达式为：Y=A+B逻辑符号如图6-4所示。

（a）常用符号（b）国际符号图6-4或运算逻辑符号下页上页首页

（4）“非”运算“非”运算又称求反运算。它所对应的逻辑关系为：一件事情（灯亮）的发生是以其相反的条件为依据。这种逻辑关系为非运算。

下页上页首页用如图6-5灯与开关并联电路来描述“非”逻辑关系。设A闭合为1状态，打开为0状态；灯Y亮为1状态，灯灭为0状态。当A等于1时，灯被旁路，Y=0；而A等于0时，电流流过灯，Y=1。真值表同表6-6所示。

图6-5灯与开关并联电路表6-6或运算真值表下页上页首页表6-6或运算真值表

根据表6-6可以得出非运算逻辑表达式为：逻辑符号如图6-6所示。

（a）常用符号（b）国际符号图6-6非运算逻辑符号下页上页首页2.逻辑代数的基本公式（1）常量之间的关系

因为逻辑变量的取值是0和1，而逻辑代数中只有0和1两个常量，最基本的逻辑运算是与、或、非三种，因而常量之间的关系也只有与、或、非三种。

公式1:0·0=0

公式2:0·1=0

公式3:1·0=0

公式4:1·1=1

公式5:0＋0=0

公式6:0＋1=1

公式7:1＋0=1

公式8:1＋1=1

公式9:

公式10:

下页上页首页（2）常量和变量之间的关系

公式11:A·1=A

公式12:A·0=0

公式13:A＋1=1

公式14:A＋0=A

公式15:

公式16:

公式17:A＋A=A

公式18:A·A=A

公式19:

公式20:

公式21:

公式22:

公式23:

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（3）逻辑代数的基本定律0-1律：A·1=AA+0=AA·0=0A+1=1

交换律：A·B=B·AA＋B=B＋A

结合律：(A·B)·C=A·(B·C)(A＋B)＋C=A＋(B＋C)

分配律：A·(B＋C)=A·B＋A·CA＋B·C=(A＋B)·(A＋C)

互补律：

重叠律：A·A=AA+A=A

反演律(德·摩根定理)：

吸收律：A·(A+B)=AA+A·B=A(A+B)·(A+C)=A+BC

还原律：

需要注意的是，上述基本公式只反映逻辑关系，而不是数量之间的关系，因此，初等代数中的移项规则不能使用。可根据逻辑代数基本运算规则从上述定律中可以得到更多的公式，从而扩充基本定律的使用范围。下页上页首页3.逻辑代数的基本运算规则（1）代入规则在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。利用代入规则可以扩展公式和证明恒等式，从而扩大了等式的应用范围。下页上页首页

例6-7

证明：

证：因为

，

若用Y=B·C根据代入规则，

则有

所以

下页上页首页（2）反演规则

对于任何一个逻辑函数式Y，若将式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的结果为

。这一规则称为反演规则。利用反演规则可以很方便的求出一个逻辑函数的反函数。在使用反演规则时应保持原来的运算顺序，而且不属于单个变量上的反号保持不变。

在使用反演规则求反函数时，应需要注意的问题

注意运算的顺序：先括号，再与，再或；不是一个变量上的反号保持不变。

下页上页首页

例6-8

求

的反函数。解：根据反演规则

下页上页首页（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数式Y，若将式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，0换成1，1换成0，就可以得到一个新的逻辑式Y´，则Y和Y΄互为对偶式.如果两个逻辑式相等，那么它们的对偶式也一定相等，这就是对偶规则.利用对偶规则可以证明恒等式。

例6-9求

的对偶式

解：根据对偶规则

Y´

下页上页首页4.逻辑代数的复合运算复合逻辑运算是由与、或、非三种基本逻辑运算组合而成的。

在数字电子技术中被广泛采用的有与非、或非、与或非、异或及同或等运算。它们对应的表达式和逻辑符号见下表。下页上页首页复合逻辑运算逻辑运算逻辑表达式标准符号逻辑关系与非全1出0，有0出1或非有1出0，全0出1与或非A、B全1或C、D全1出0异或相同出0，不同出1同或相同出1，不同出06.2相关知识6.2.3逻辑函数表示方法及相互转换总目录下页下页上页首页6.2.3逻辑函数表示方法及相互转换逻辑函数是反映了输入逻辑变量与输出逻辑变量之间的逻辑关系，或称因果关系。设某一逻辑系统输入逻辑变量为A1，A2，……An，输出逻辑变量为Y。当A1，A2，……An取值确定后，Y的值就唯一地被确定下来，则称Y是A1，A2，……An的逻辑函数.函数式为：Y=F（A1，A2，……An）下页上页首页逻辑变量和逻辑函数都只有0和1两种取值，逻辑函数常用表示方法有逻辑函数式、真值表法、逻辑图、卡诺图和波形图，并且可以任意进行转换。在使用时，可以根据具体情况选用最简洁或最适当的一种方法来表示所研究的逻辑函数。

下页上页首页1.逻辑函数表示方法

（1）逻辑函数表达式法

逻辑函数表达式是将逻辑变量用与、或、非等逻辑运算组合起来的逻辑函数表达式。

例如：

用函数式表达的特点是直接反映各个逻辑变量间的运算关系，便于化简、运算、变换。但它不能直接反映变量取值的对应关系，而且一个逻辑函数通常有多种函数式，一般取两种表达形式：与或式和或非式。

（2）逻辑函数的真值表法真值表法是将输入逻辑变量各种可能的取值组合下分别对应的函数值全部排列在一起组成的表格

如：逻辑函数Y=A·B。因为每个逻辑变量都有两种取值0和1，所以A、B有四种可能的组合，每种组合下可得到一个逻辑函数的值，结果如表6-7所示，即为Y=A·B的真值表。

表6-7Y=A·B真值表下页上页首页（3）逻辑函数的逻辑图法

用规定的逻辑符号表示逻辑函数的运算关系。利用三种最基本的逻辑符号可以化出

的逻辑图。如图所示。

逻辑图与数字电路与门、或门、非门器件有直接对应关系，也作为逻辑原理图，便于用器件实现，但同样不能运算和变换。

下页上页首页（4）逻辑函数的波形图

波形图是根据逻辑变量与函数的逻辑关系，在给出输入变量随时间变化的波形后，用电平的高、低变化描述输出变量随时间变化的波形。它反映输入与输出信号间的对应关系，又称时序图。图6-8所示为给出A、B波形后得到的

的对应波形图，可用于对电路的测试、动态分析，但不能直接表示变量间的逻辑关系。

图6-8波形图下页上页首页（5）逻辑函数的卡诺图卡诺图是同图形表示逻辑函数的方法，又称图形法。卡诺图是对逻辑函数化简的主要方法之一，它直观、完整地描述函数的逻辑关系。

2.逻辑函数表示方法的相互转换逻辑函数的几种描述方法各有特点，各种方法相互关系由一种形式可以转化为其它形式，转换方法如下：

（1）由真值表写函数式

将函数值为1的项，各写一个与项，用1代表原变量，用0代表反变量。所有函数值为1的项之间用或的关系表示，写成与或式表达式。例如由表6-8所示，可得：

。

表6-8真值表转换函数式下页上页首页（2）由函数式画真值表

将变量所有取值组合列于真值表中，原变量表示1，反变量表示0。函数式中所包含的每一项对应的函数值，而不包含的取值组合对应的函数值为0。

例如：

其中A、B所有组合为：00、01、10、11，在取值为01和10时，Y=1；而00和11取值时，Y=0。

下页上页首页（3）由函数式画逻辑图用相应逻辑符号表示逻辑函数式可得到相应逻辑图，如上例可得图6-9所示。

图6-9函数式转换逻辑图下页上页首页（4）由逻辑图写函数式

由逻辑图输入端逐级写出各逻辑符号输出端的表达式。由图6-9可得：

，

，

,，

下页上页首页（5）由真值表或函数式画波形已知输入变量波形，根据真值表或函数式中输入输出的对应关系画出波形图。如图所示。

6.2相关知识总目录下页6.2.4逻辑函数的化简下页上页首页6.2.4逻辑函数的化简

1.逻辑函数化简的意义及其最简形式逻辑函数的化简是分析和设计数字系统的重要步骤。化简的目的是利用上述公式、规则和图形通过等价逻辑变换，使逻辑函数式成为最简式，从而使用最少的元器件实现设计的数字电路的逻辑功能。不同的条件下，化简得到的结果有不同的形式。可以是最简与或式、或与式、与或非式、与非—与非式、或非－或非式等，但它们的逻辑功能是相同的。最常用的是最简与或式和或与式。

下页上页首页

最简式的标准是指表达式中项数最少，而且每项内变量的个数也是最少。有了与或式可以通过变换，得到其他所需形式的表达式。

下页上页首页例如：

与或式或与式

与非-与非式或非-或非式与或非式

由以上五种表达式可见，与或式最简单，实现起来所用元器件最少。

下页上页首页2.逻辑函数的公式化简法公式化简是利用逻辑函数的基本公式、定律、常用公式化简函数，消去函数式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，使之成为最简“与或”式。公式化简过程中常用以下几种方法。

（1）吸收法利用公式：A+AB=A

（消去多余的乘积项AB）

例6-10Y=AB+ABCD

=AB(1+CD)

=AB下页上页首页（2）并项法利用公式：（将两项合并为一项，消去一个变量）

例6-11下页上页首页（3）消去冗余项法利用公式：（将冗余项BC消去）例6-12（消去冗余项BC）下页上页首页（4）配项法利用公式：（某项乘以等于1的项配上所缺的因子）利用公式：（为使某项能合并）利用公式：（添加等于0的项便于合并）例6-13下页上页首页例6-14化简函数时，应将上述公式综合灵活应用，以得到较好的结果。这不仅要熟悉公式、定理，还要有一定的运算技巧，而且难予判断所得结果是否为最简式。因而在化简复杂函数时，更多地采用图形法化简。下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页3.逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图表示。在图上进行函数化简，它既简便，又直观地得到最简函数式，是逻辑函数常用的化简方法。

下页上页首页（1）逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项的定义：在n个变量组成的乘积项中，若每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现一次，那么该乘积项称为n变量的一个最小项。根据最小项的定义，二变量A、B的最小项：、、

、。三变量的最小项：、、、、、

、、。n个变量的最小项有2n个下页上页首页

为了便于书写，通常用mi对最小项编号。如把某最小项中原变量记为1，反变量记0，该最小项按确定的顺序排列成一个二进制数，则与该二进制数对应的十进制数就是下标i的值。如三变量最小项的取值组合为011，对应的十进制数为3，则该项的编号为m3。按此原则，三变量的全部八个最小项的编号分别为m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。表6-9所示为三变量A、B、C不同取值组合时的全部最小项真值表。

表6-9三变量A、B、C不同取值组合时的全部最小项真值表下页上页首页从表6-9中可得到最小项的三个重要性质：（1）任何一组变量取值下，只有一个最小项的对应值为1，其它最小项的值均为0。（2）任何两个不同的最小项的乘积为0。（3）任何一组变量取值下，全部最小项的和为1。

下页上页首页（2）逻辑函数最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示为一组最小项的和的形式，称为最小项表达式或标准与或式。如果函数式中某些项不是最小项形式，可以化成最小项。方法是在不是最小项形式的乘积项中乘以（），补齐所缺因子，便可以得到最小项表达式，因而任何一个n变量的逻辑函数都有一个且仅有一个最小项表达式。下页上页首页例6-15将逻辑函数化成最小项表达式

解:下页上页首页

（3）逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法也称为图形化简法，它是将逻辑函数用卡诺图表示，并在图上进行化简的方法。1）卡诺图的构成卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）设计的，故称为卡诺图。它是最小项的方格图，每个小方格中填入一个最小项。n个变量的卡诺图有2n个小方格组成矩形或正方形，图中横方向和纵方向的变量取值按照逻辑相邻性排列，具有几何对称的最小项也具有相邻性，这是构成卡诺图的关键。

下页上页首页

所谓逻辑相邻性是指：由n个变量组成的2n个最小项中，如果两个最小项仅有一个因子不同，其余因子均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。如

和

、

和

等。图6-10（a）、（b）、（c）、（d）分别为二变量、三变量、四变量、五变量卡诺图。

二变量卡诺图三变量卡诺图五变量卡诺图四变量卡诺图五变量另一种卡诺图2）逻辑函数的卡诺图用卡诺图表示逻辑函数，通常有三种情况：①直接给出逻辑函数真值表：在卡诺图中对应于变量取值组合的每个小方格内，根据真值表中的函数值直接填入，是1的填1，是0的填0或不填。②给出逻辑函数的最小项表达式：在对应于函数最小项的每个小方格中直接填1，其它给定函数中不包含的最小项方格中填0或不填。③给出的不是最小项表达式：首先将函数变换成最小项表达式(或者变换成与或式)，在卡诺图中对应的最小项方格中填入1（或把每个乘积项包含的最小项处都填入1），剩下的填0或不填。下页上页首页例6-16用卡诺图表示下列逻辑函数

解：下页上页首页3）逻辑函数的卡诺图化简法利用卡诺图能够直观地将逻辑相邻项中不同的因子，利用公式+=1，，将其合并，消去不同因子，保留公因子，从而化简函数。①将卡诺图中两个填入1的相邻最小项合并为一项，消去一个变量，见图6-12所示。图6-12②将卡诺图中四个填入1的相邻最小项合并为一项，消去两个变量，见图6-13所示。

图6-13③将卡诺图中八个填入1的相邻最小项合并为一项，消去三个变量，见图6-14所示。

图6-14下页上页首页可见2i个相邻最小项合并可以消去i个变量。综合以上方法，用卡诺图化简逻辑函数步骤如下：①画卡诺图：根据函数中变量的个数，画出对应的函数卡诺图。②填最小项值：将函数中包含的变量取值组合填入相应的最小项方格中。③画圈合并最小项：按照逻辑相邻性将可以合并的最小项圈起来消去不同因子。④写逻辑函数式：由画圈合并后的结果写出逻辑函数表达式，每个圈是一个乘积项。

下页上页首页利用逻辑函数卡诺图合并最小项应注意几个问题：①圈越大越好，圈中包含的最小项越多消去的变量越多。②必须按2i个最小项画圈。③每个圈中至少包含一个新的最小项。④必须把组成函数的所有最小项圈完。

下页上页首页4.具有约束项的逻辑函数的化简（1）约束项与约束条件

1)约束项以上所讨论的逻辑函数，对于自变量的各种取值，都有一个确定的函数值0或1与之对应，而在实际的数字系统中，往往出现输入变量的某些取值组合，与输出函数无关，电路正常工作时它们不可能出现。这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。而在另一些逻辑函数中，某些变量取值可以是任意的，既可以是1，也可以是0。具体取何值，应根据使函数尽量便于化简来确定，这样的最小项称为任意项。下页上页首页约束项和任意项统称为无关项，在函数中的取值可以取0，也可以取1。这个特殊的函数值在卡诺图上通常用或×来表示，填入相应的方格中。2)约束条件把所有约束项加起来构成的最小项表达式，成为约束条件。通常用等于0的条件等式表示，即。相当于约束项的加入不改变原最小项表达式所描述的逻辑功能。下页上页首页（2）利用约束项化简逻辑函数化简带有约束项的逻辑函数，应该充分利用约束项可以取1，也可以取0的特点，灵活地扩大卡诺圈，尽量消除变量个数和最小项的个数。但是不需要的约束项，不应单独或和全部已圈过的1作卡诺圈，避免增加多余项。

下页上页首页例6-17用卡诺图化简带约束项的函数，并写出最简与或式。

解：下页上页首页例6-18已知函数，约束条件为化简并写出最简与或式。解：将已知条件变换为

填入卡诺图。6.2相关知识总目录下页6.2.5TTL集成门电路下页上页首页6.2.5

TTL集成门电路

1.分立元件门电路分立元器件门电路是由分立的半导体二极管、晶体管和MOS管以及电阻等元件组成的门电路。比如由两个二极管组成的与门、或门电路，由一个晶体管构成的非门电路，以及由它们构成的复合门，如与非门/或非门都属于分立元器件门电路。

下页上页首页（1）二极管与门电路输入与输出量之间能满足与逻辑关系的电路，称为与门电路。图6-17表示由二极管组成的与门电路，图6-18为它的逻辑符号。图中A、B为输入端,Y为输出端。图6-17二极管门电路

图6-18与运算逻辑符号下页上页首页用电子电路来实现逻辑运算时，当A=0V，B=0V时，VD1、VD2都截止，输出的Y=0.1V；当A=0V，B=5V时，由于钳位作用，VD1优先导通，VD2反向截止，输出的Y=0.1V；当A=5V，B=0V时，由于钳位作用，VD2优先导通，VD1反向截止，输出的Y=0.1V；当A=5V，B=5V时，VD1、VD2都导通，输出的Y=3.6V。下页上页首页如果高电平用逻辑“1”表示，低电平用逻辑“0”表示，利用表格描述电路输出和输入之间的逻辑关系，那么得到表6-10所对应的真值表。

表6-10与运算真值表由表6-10可以看出，当输入A、B中有低电平“0”时，输出Y为低电平“0”，只有当输入A、B都为高电平“1”时，输出Y才为高电平“1”。因此，图6-17电路实现了与运算，其输入输出之间的逻辑关系为：Y=A·B

下页上页首页（2）二极管或门电路输入与输出量之间能满足或逻辑关系的电路，称为或门电路。

图6-19表示由二极管组成的或门电路，图6-20为它的逻辑符号。图中A、B为输入端,Y为输出端。图6-19二极管或门电路图6-20或运算逻辑符号用电子电路来实现逻辑运算时，当A=0V，B=0V时，VD1、VD2都截止，输出的Y=0.1V；当A=0V，B=5V时，由于钳位作用，D2优先导通，D1反向截止，输出的Y=3.6V；当A=5V，B=0V时，由于钳位作用，D1优先导通，D2反向截止，输出的Y=3.6V；当A=5V，B=5V时，D1、D2都导通，输出的Y=3.6V。因而可以得到二极管或门电路的真值表，如表6-11所示。

表6-11下页上页首页由表6-11可以看出，当输入A、B中全为低电平“0”时，输出Y为低电平“0”，只有当输入A、B为高电平“1”或全为高电平“1”时，输出Y才为高电平“1”。因此，图6-19电路实现了与运算，其输入输出之间的逻辑关系为：Y=A+B。

（3）晶体管非门电路输入与输出量之间能满足非逻辑关系的电路，称为非门电路。

图6-21a表示由晶体管组成的非门电路，图6-21b为其逻辑符号。

图6-21晶体管非门电路及与非门运算逻辑符号下页上页首页通过合理设计该电路相关元件参数，使晶体管能可靠地工作在饱和区和截止区。在理想情况下，当A=5V时，晶体管饱和导通，输出Y≈0V；当A=0时，晶体管截止，输出电压Y≈5V。同样可以得到如表6-12所示的真值表。

表6-12下页上页首页由表6-12可以看出，当输入A为低电平“0”时，输出Y为高电平“1”，当输入A为高电平“1”时，输出Y才为低电平“0”。因此，图6-20电路实现了非运算，其输入输出之间的逻辑关系为：Y=下页上页首页

（4）复合门电路将前面介绍的与门、或门和非门三种基本的逻辑电路进行适当的连接，就可以实现其他门电路逻辑功能，相应的电路统称为复合门电路。

下页上页首页1）与非门将与门和非门串联便可以实现与非门电路，如图6-22所示，其逻辑符号如图6-23所示。A、B为输入变量，Y为输出变量，与门输出同时作为非门的输入变量。根据与门和非门的逻辑功能可得到与非门真值表，如表6-13所示。

图6-22与非门逻辑电路图图6-23与非门运算逻辑符号下页上页首页根据与门和非门的逻辑功能可得到与非门真值表，如表6-13所示。

表6-13与非门运算真值表下页上页首页2）或非门将或门和非门串联便可以实现或非门电路，如图6-24所示，其逻辑符号如图6-25所示。A、B为输入变量，Y为输出变量，或门输出同时作为非门的输入变量。

图6-24或非门逻辑电路图图6-25或非运算逻辑符号下页上页首页根据或门和非门的逻辑功能可得到与非门真值表，如表6-14所示。

表6-14或非运算真值表下页上页首页2.TTL集成门电路标准TTL与非门电路原理如图6-26所示，电路有三部分组成。

图6-26TTL与非门逻辑电路图输入级：由一个多发射极晶体管VT1和电阻R1构成，相当于一个与门。

下页上页首页中间级：由晶体管VT2和电阻R2、R3组成，起反相作用，在VT2的集电极和发射极各提供一个相位反相电压信号，驱动下一级电路。

输出级：它是由VT3、VT4、VT5和R4、R5组成的。VT3、VT4组成射极跟随器，同时与VT5组成推挽电路，提高了电路的带负载能力。下页上页首页工作原理：（1）当输入端ABC中有一个或数个低电平UIL=0.3V时，对应的发射结处于正偏导通状态，此时，VT1基极电位被固定在1V上，而VT1集电结和VT2发射结因正偏电压太小而工作在死区，VT2截止，VT5截止，VT3和VT4导通，输出为高电平。

下页上页首页

（2）当输入端ABC全部为高电平3.6V时，电源经过R1和VT1的集电结向VT2提供较大的基极电流，使VT3和VT5工作在饱和导通状态，输出为低电平。当电路输入全部为高电平时，输出为低电平，也称电路处于开启状态；输入中有一个或一个以上为低电平时，电路输出为高电平，也称电路处于关闭状态。根据以上分析，输出与输入之间的逻辑关系为：下页上页首页3.常用TTL门电路芯片

（1）TTL集成电路管脚识别方法在数字电路中，常用的TTL集成门电路多采用双列直插式进行封装。有些软封装类集成电路采用四列扁平式封装结构。下页上页首页如图6-27所示集成芯片管脚识别方法：将TTL集成门电路正面（印有集成门电路型号标记）正对自己，有缺口或有圆点的一端置向左方，左下方第一管脚即为管脚“1”，按逆时针方向数，清点芯片管脚数，依次为1、2、3、4···········。

图6-27TTL集成芯片管脚识别方法下页上页首页

（2）TTL集成电路功能介绍1）集成与门74LS08实现与功能的集成门电路称为集成与门，例如74LS08是四2输入与门，其管脚排列及各管脚功能如图6-28所示。

图6-28集成74LS08管脚排列及各管脚功能

下页上页首页2）集成或门74LS32实现或功能的集成门电路称为集成或门，例如74LS32是四2输入与门，其管脚排列及各管脚功能如图6-29所示。

图6-29集成74LS32管脚排列及各管脚功能

下页上页首页3）集成非门74LS04实现非功能的集成门电路称为集成非门，例如74LS04是六非门（六反相器），其管脚排列及各管脚功能如图6-30所示。

图6-30集成74LS04管脚排列及各管脚功能下页上页首页4）集成与非门74LS00

实现与非功能的集成门电路称为集成与非门，例如74LS00是四2输入与门，其管脚排列及各管脚功能如图6-31所示。

图6-31集成74LS00管脚排列及各管脚功能下页上页首页

另外常用的集成与非门电路还有74LS10（三3输入与非门）、74LS20（二4输入的与非门），其管脚排列及各管脚功能分别如图6-32和图6-33所示。

图6-32集成74LS10管脚排列及各管脚功能下页上页首页图6-33集成74LS20管脚排列及各管脚功能下页上页首页5）集成或非门74LS02实现或非功能的集成门电路称为集成或非门，例如74LS02是四2输入或非门，其管脚排列及各管脚功能如图6-34所示。

图6-34集成74LS02管脚排列及各管脚功能下页上页首页6）集成或非门74LS86实现异或功能的集成门电路称为集成异或门，例如74LS86是四2输入异或门，其管脚排列及各管脚功能如图6-35所示。

图6-35集成74LS86管脚排列及各管脚功能6.2相关知识总目录下页6.2.6CMOS集成门电路下页上页首页6.2.6CMOS集成门电路

MOS集成逻辑门是以MOS管作为开关器件的门电路，它按所用MOS管的不同一般可分为三种类型：一种是用P沟道增强型MOS管（PMOS管）构成的PMOS门电路，其工作速度较低。第二种是N沟道增强型MOS管（NMOS管）构成的NMOS门电路，其工作速度比PMOS门电路要高，但比TTL电路要低。第三种是由PMOS管和NMOS管按照互补对称形式连接起来构成的互补型MOS集成电路，称为CMOS电路。MOS电路具有集成度高、制造工艺简单、电源电压使用范围宽、功耗低、抗干扰能力强、扇出系数大等优点。下页上页首页1.CMOS反相器类型在MOS集成电路中，反相器是最基本的单元。按其结构和负载不同，可大致分为四种类型：（1）电阻负载MOS反相器在这种反相器中，输入器件是增强型MOS管，负载是线性电阻。这种反相器在集成电路中很少采用。（2）E/EMOS反相器在这种反相器中，输入器件和负载均采用增强型MOS管，所以叫增强型－增强型MOS反相器，简称E/EMOS反相器。下页上页首页（3）E/DMOS反相器在这种反相器中，输入器件是增强型MOS管，负载是耗尽型MOS管，所以叫增强型－耗尽型MOS反相器，简称E/DMOS反相器。

（4）CMOS反相器在E/EMOS反相器和E/DMOS反相器中均采用同一沟道的MOS管。而CMOS反相器则由两种不同沟道类型的MOS管构成。如果输入器件是N沟道增强型MOS管，则负载就为P沟道增强型MOS管，反之亦然。这种反相器具有互补对称的结构，故简称CMOS反相器。

下页上页首页2.CMOS反相器（1）电路组成CMOS反相器的组成如图6-36（a）所示。起开关作用的驱动管VFP是增强型NMOS管，假设其阈值电压为UTN(th)=2V；负载管TP是增强型PMOS管，假设其阈值电压为UTP(th)=-2V，二者连成互补对称的结构。它们的栅极连接起来作为信号输入端，漏极连接起来作为信号输出端，VFN的源极接地，

下页上页首页VFP的源极接电源VDD。VFN、VFP特性对称，UTN(th)=UTP(th)，如果UTN(th)=2V，则UTP(th)=-2V。一般情况下都要求电源电压VDD＞UTN(th)＋UTP(th)。实际应用中，VDD通常取5V，以便与TTL电路兼容。

下页上页首页（2）工作原理①当uA＝0V时，uGSN＝0V<UTN(th),VFN截止；uGSN＝uA－VDD＝0－10＝－10V<

UTP(th)，VFP导通。简化等效电路如图6-36（b）所示，输出电压uY＝VDD

＝10V。

下页上页首页

②当uA＝10V时，uGSN＝10V>UTN(th)

，VFN导通；uGSN＝uA－VDD＝10－10＝0V>UTP(th)，VFP截止。简化等效电路如图6-36（c）所示，输出电压uY＝0V。综上所述，当uA为低电平时，uY为高电平，而当uA为高电平时，uY为低电平，可见电路实现了非逻辑运算。若用A、Y分别表示uA、uY，则可得：下页上页首页CMOS反相器在工作时，由于在静态下uA无论是高电平还是低电平，VFN和VFP中总有一个截止，且截止时阻抗极高，流过VFN和VFP静态电流很小，因此CMOS反相器的静态功耗非常低，这是CMOS电路最突出的优点。

下页上页首页3.CMOS与非门6-37所示为CMOS与非门电路。两个增强型NMOS管VF2、VF1串联，两个增强型PMOS管VF3、VF4并联。VF4和VF2的栅极连接起来作为信号输入端A，VF3和VF1的栅极连接起来作为信号输入端B。图6-37

CMOS与非门下页上页首页

当A、B中有一个或全为低电平时，VF1、VF2中有一个或全部截止，VF3、VF4中有一个或全部导通，输出为高电平。只有当输入A、B全为高电平时，VF1、VF2才会都导通，VF3、VF4才会都截止，输出才会为低电平。可见电路实现了与非逻辑功能，即下页上页首页4.CMOS或非门如图6-38所示为或非门的电路。两个增强型NMOS管VF1、VF2并联，两个增强型PMOS管VF3、VF4串联。VF4和VF2的栅极连接起来作为信号输入端A，VF3和VF1的栅极连接起来作为信号输入端B。

图6-38CMOS或非门下页上页首页

当A、B中有一个或全为高电平时，VF3、VF4中有一个或全部截止，VF1、VF3中有一个或全部导通，输出Y低电平。只有当输入A、B全为低电平时，VF3、VF4才会都导通，VF1、VF2才会都截止，输出Y才会为高电平。可见电路实现了或非逻辑功能，即下页上页首页5.与门和或门在CMOS与非门电路的输出端增加一个反相器，便构成了一个与门；而在CMOS或非门电路的输出端增加一个反相器，便构成了一个或门。

6.或非门由3个与非门和一个反相器可构成与或非门，如图6-39（a）所示。由图可得：CMOS与或非门也可由两个与门和一个或非门构成，如图6-39（b）所示。图6-39（c）所示为与或非门的逻辑符号。图6-39CMOS与或非门下页上页首页7.异或门

CMOS异或门可由4个与非门构成，如图6-40所示。由图6-40可得图6-40CMOS异或非门下页上页首页8.三态门图6-41为CMOS电路图和逻辑符号，A是信号输入端，

是控制信号端，也叫做使能端，Y是输出端。图6-41CMOS三态门及其逻辑符号由图6-41（a）可知：当，即为高电平时，VFP2、VFP1均截止，Y与地和电源都断开了，输出端呈现为高阻态。当，即为低电平时，VFP2、VFN2均导通，VFP1、VFN1构成反相器，故Y=A，A=0时，Y=1,为高电平；A=1时，Y=0为低电平。由此可知，该电路的输出有高阻态、高电平和低电平3种状态。9.传输门如图6-42所示为CMOS传输门和逻辑符号，其中N沟道增强型MOS管VFN的衬底接地，P沟道增强型MOS管VFP的衬底接电源VDD，两管的源极和漏极分别连在一起作为传输门的输入端和输出端，在两管的栅极上加上互补的控制信号C和。

传输门实际上是一种可以传送模拟信号或数字信号的压控开关。图6-42CMOS传输门6.2相关知识6.2.1数制和码制6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理6.2.3逻辑函数表示方法及相互转换总目录下页6.2.4逻辑函数的化简6.2.5TTL集成门电路6.2.6CMOS集成门电路6.2.1数制和码制下页上页首页1.数制数制全称为计数体制是用以表示数值大小的方法。人们是按照进位的方式来计数的，称为进位制，简称进制，根据需要可以有多种不同的进制。在讲述数制之前，必须先说明几个概念。

基数或基：在某种数制中，允许使用的数字符号的个数，称为这种数制的基数或基。

系数：任一种N进制中，第i位的数字符号Ki，称为第i位的系数。

权：任一种N进制中，Ni称为第i位的权。十进制是我们最熟悉的计数制。它用0～9十个数字符号，以一定的规律排列起来表示数值的大小。相邻位之间，低位逢十向高位进一，即为十进制。它的基数为10，各位的系数Ki可以是0～9十个数字中任一个，各位的权为10i。因而，任意一个n位十进制数[M]10可以表示为

（1）十进制数下页上页首页[M]10=Kn-1×10n-1+Kn-2×10n-2+……+K1×101+K0×100

=

×10i如[1898]10=1×103+8×102+9×101+8×100

下页上页首页（2）二进制数二进制是数字电路中应用最广泛的计数制。因为在数字电路中通常只有高电平和低电平两个状态，这两个状态刚好可以用二进制数中的两个符号0和1来表示。它的运算规则简单，在电路中易于实现。在二进制中，相邻位之间，低位逢二向高位进一，即为二进制。它的基数为2，各位的系数Ki可以是0或1，各位的权为2i。因而任一个n位二进制数[M]2表示为

[M]2=Kn-1×2n-1+Kn-2×2n-2+……+K1×21+K0×20=

×2i

如[101110]2=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20

下页上页首页（3）八进制数如果将一个十进制数变换为二进制数，不仅位数多，难以记忆，且不便书写，易出错。因而在数字系统中，常用与二进制有对应关系的八进制或十六进制。八进制中，各相邻位之间，低位逢八向高位进一。它的基数为8，各位的权为8i，各位的系数Ki可以是0～7八个数字中任一个，因而任一个n位八进制数[M]8可以表示为

[M]8=Kn-1×8n-1+Kn-2×8n-2+……+K1×81+K0×80=

×8i

如

[268]8=2×82+6×81+8×80

下页上页首页（4）十六进制数在十六进制数中，各相邻位之间，低位逢十六向高位进一。它的基数为16，为了书写和计算方便，在