湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题07三角形中三边关系、高线、中线、角平分线、内角和定理、外角定理压轴题十三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题07三角形中三边关系、高线、中线、角平分线、内角和定理、外角定理压轴题十三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形的稳定性】 1【考点二构成三角形的条件】 3【考点三确定第三边的取值范围】 5【考点四画三角形的高】 6【考点五与三角形的高有关的计算问题】 8【考点六根据三角形中线求长度】 10【考点七根据三角形的中线求面积】 13【考点八三角形角平分线的定义】 15【考点九三角形内角和定理的证明】 17【考点十与平行线有关的三角形内角和问题】 20【考点十一与角平分线有关的三角形内角和问题】 22【考点十二三角形的外角的定义及性质】 24【考点十三利用网格求三角形面积】 26【过关检测】 29【典型例题】【考点一三角形的稳定性】例题：（2023春·山西晋中·七年级统考期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（

）

A．同位角相等，两直线平行 B．三角形具有稳定性C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______．【考点二构成三角形的条件】例题：（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．4，5，9 B．5，6，10 C．2，3，6 D．6，6，12【变式训练】1．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）以下列各组数为边长，不能构成三角形的是（）A．3，4，5 B．3，3，5 C．1，3，5 D．6，8，102．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【考点三确定第三边的取值范围】例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【变式训练】1．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是______．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值【考点四画三角形的高】例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（

）A．中，是边上的高 B．中，是边上的高C．中，是边上的高 D．中，是边上的高【考点五与三角形的高有关的计算问题】例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，分别是的高，，，，求的长．

2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．

(1)求的面积；(2)求的长；(3)和的面积有何关系？【考点六根据三角形中线求长度】例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．

【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．

2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【考点七根据三角形的中线求面积】例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（）

A．4 B．5 C．6 D．10【变式训练】1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【考点八三角形角平分线的定义】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【考点九三角形内角和定理的证明】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（

）A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作C．过点A作于点D D．过BC上一点D作，【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（

）A．延长至D过C作 B．过A作C．过D作 D．过P作，，2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（

）定理：三角形的内角和为．已知：．

求证：．证明：延长到点，过点作，◎（两直线平行，内错角相等），___▲______（_____※______）．（平角定义），（等量代换）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等【考点十与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【考点十一与角平分线有关的三角形内角和问题】例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______．

【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．

【考点十二三角形的外角的定义及性质】例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________．2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．

【考点十三利用网格求三角形面积】例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；(2)画出中边上的高．(3)直接写出的面积为_________．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线；(3)直接写出的面积为______．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）“停课不停学，学习不延期”、居家网课期问，元元将一平板保护套展开放置在水平桌面上，如图所示，平板能保持平稳，这是运用了（

）

A．三角形内角和等于180° B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性 D．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和2．（2023春·河北张家口·七年级统考期中）已知中，，，且第三边的长度是偶数，则的长度可以是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知中，若，且，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（）A．

B．

C．

D．

5．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）如图，、分别是的高和角平分线，点是延长线上一点，交于点，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④二、填空题7．（2023春·江西吉安·七年级校联考期中）一个三角形的三边长分别为，7，11，那么的取值范围是．8．（2023春·山西晋中·七年级统考期末）如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若，，则长为．

9．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则度．

10．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）如图，在中，是边上一点，，连接，点、是上的点，且，连，点是的中点，连．若的面积为6，则的面积为．

11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的的度数为．

12．（2023秋·云南临沧·八年级统考期末）在中，，是边上的高，若，则的度数为．三、解答题13．（2023春·安徽滁州·八年级校考开学考试）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．(1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．14．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连结．

(1)求的度数．(2)若，求的度数．(3)若平分，求的度数．15．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

(1)画出边上的中线；(2)画出边上的高线；(3)的面积为______；(4)在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点B）．16．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在中，，点在上，过点的一条直线与直线、分别交于点、．

(1)如图1，，则______°．(2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出、、之间的数量关系______．17．（2023春·江苏南通·七年级统考期末）如图，在锐角三角形中，，的平分线交于点P．

(1)如图1，，则°；(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点F，作交于点D，试判断与的位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，请探究和之间的数量关系．18．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】如图（1），用分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．

专题07三角形中三边关系、高线、中线、角平分线、内角和定理、外角定理压轴题十三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形的稳定性】 1【考点二构成三角形的条件】 3【考点三确定第三边的取值范围】 5【考点四画三角形的高】 6【考点五与三角形的高有关的计算问题】 8【考点六根据三角形中线求长度】 10【考点七根据三角形的中线求面积】 13【考点八三角形角平分线的定义】 15【考点九三角形内角和定理的证明】 17【考点十与平行线有关的三角形内角和问题】 20【考点十一与角平分线有关的三角形内角和问题】 22【考点十二三角形的外角的定义及性质】 24【考点十三利用网格求三角形面积】 26【过关检测】 29【典型例题】【考点一三角形的稳定性】例题：（2023春·山西晋中·七年级统考期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（

）

A．同位角相等，两直线平行 B．三角形具有稳定性C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短【答案】B【分析】学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：选项B中摇椅的支架上有三角形，其余选项中都没有三角形，由三角形的稳定性可知，选项B利用三角形的稳定性，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．2．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性．【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性；B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性；C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性；D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性．3．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【详解】解：钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性【点睛】此题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【考点二构成三角形的条件】例题：（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．4，5，9 B．5，6，10 C．2，3，6 D．6，6，12【答案】B【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；B、，能组成三角形，符合题意；C、不能组成三角形，不符合题意；D、，不能组成三角形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．【变式训练】1．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）以下列各组数为边长，不能构成三角形的是（）A．3，4，5 B．3，3，5 C．1，3，5 D．6，8，10【答案】C【分析】根据两边之和大于第三边判断即可.【详解】解：，能构成三角形，故A选项不符合题意；，能构成三角形，故B选项不符合题意；，不能构成三角形，故C选项符合题意；，能构成三角形，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了判断是否构成三角形，掌握两边之和大于第三边是解题的关键.2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【答案】C【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边．【考点三确定第三边的取值范围】例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【答案】7或9或11【分析】设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：，然后再根据第三边是偶数，确定a的值即可．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：．即：，∵周长是偶数，∴第三边的长为奇数，即：或或．∴第三边长为7或9或11．故答案为：7或9或11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】1．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是______．【答案】7【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，然后再确定x的值即可．【详解】解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和7，∴，即：，∵第三边长为奇数，∴，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，∴第三条边长的取值范围是，即，∴第三条边长的取值范围是；（2）∵，满足，第三条边长为整数，∴，∴，∴，即，则三角形的周长为：，∵为整数，∴可取最大值为，此时这个三角形周长的最大值为，∴这个三角形周长的最大值为．【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．【考点四画三角形的高】例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．【详解】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A．线段是的高，选项不符合题意；B．线段是的高，选项不符合题意；C．线段是的高，选项不符合题意；D．线段是的高，选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（

）A．中，是边上的高 B．中，是边上的高C．中，是边上的高 D．中，是边上的高【答案】B【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意；B、中，不是边上的高，故此选项错误，符合题意；C、中，是边上的高故此选项正确，不符合题意；D、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．【考点五与三角形的高有关的计算问题】例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离．【详解】解：∵在直角三角形中，，∴，∵，，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，分别是的高，，，，求的长．

【答案】．【分析】根据三角形的面积公式即可求得．【详解】解：，分别是的高，∴，∴，，，，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．

(1)求的面积；(2)求的长；(3)和的面积有何关系？【答案】(1)30(2)(3)和的面积相等【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；（2）利用面积公式进行求解即可；（3）利用中线平分面积，作答即可．【详解】（1）解：的面积；（2）∵的面积，，∴；（3）∵为的中线，∴，∵的边上的高为，∴．即：和的面积相等．【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键．【考点六根据三角形中线求长度】例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．

【答案】18【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：是的中线，，的周长为16，，，，，．故答案为：18．【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．

【答案】4【分析】依据的周长为，的周长比的周长大2，可得，由此即可解题．【详解】解：∵的周长为，，∴，∵的周长比的周长大2，∴，∴，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长差．2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【答案】(1)4(2)【分析】（1）利用三角形的面积公式求出即可解决问题；（2）根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出；【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为24，，为边上的中线，是的中点，．（2）解：为边的高，，．．为的角平分线，，．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．【考点七根据三角形的中线求面积】例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（）

A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，

为中点，.同理可得，，.的面积为20，.，.故选B．【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】如图，首先证明（设为λ），（设为μ）；进而证明，，得到，进而得到，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题【详解】解：∵是的中线，∴；∴（设为λ），（设为μ），，∴；同理可证：，即，；∴选项（1）、（2）、（3）均成立，选项（4）不成立，故选：C．【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【答案】8【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点F是的中点，的面积为，∴．∵点E是的中点，∴，．∴．∴，故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．【考点八三角形角平分线的定义】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，可得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到结果．【详解】解：如图，∵，，∴，∵平分，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【答案】见解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．【详解】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC//DE．【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．【考点九三角形内角和定理的证明】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（

）A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作C．过点A作于点D D．过BC上一点D作，【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意．B、由，则，．由，得，故符合题意．C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（

）A．延长至D过C作 B．过A作C．过D作 D．过P作，，【答案】C【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】A、，，，由，得，故A不符合题意；B、，，，由，得，故B不符合题意；C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意；D、如图，，，，，，，，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（

）定理：三角形的内角和为．已知：．

求证：．证明：延长到点，过点作，◎（两直线平行，内错角相等），___▲______（_____※______）．（平角定义），（等量代换）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等【答案】B【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．【详解】证明：延长到点，过点作，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）．（平角定义），（等量代换）．∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．【考点十与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°【答案】D【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．【详解】解：∵，，∴，同理可得：，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．【考点十一与角平分线有关的三角形内角和问题】例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______．

【答案】/110度【分析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求．【详解】，，和分别平分和，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数．【答案】【分析】根据三角形内角和为，分别列出和的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．【详解】，，．，是角平分线，，在中，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．

【答案】【分析】利用三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵，，，平分，，又，，，．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点十二三角形的外角的定义及性质】例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到的度数【详解】解：如图，

∵，，，∴，∵，∴，故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线和三角形外角的性质．【变式训练】1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________．【答案】/149度【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数．【详解】解：延长交于点，如图，∵，，是的外角，，∵，是的外角，．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．

【答案】/40度【分析】利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键．【考点十三利用网格求三角形面积】例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．

【答案】【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可．【详解】解：如图，

．【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，熟知割补法求解图形面积是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；(2)画出中边上的高．(3)直接写出的面积为_________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)6．【分析】（1）取的中点，连接，即为所求；（2）取格点，连接，即为所求；（3）用直接利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）；故答案为：6．【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积．熟练掌握中线和高线的定义，是解题的关键．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线；(3)直接写出的面积为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可；（3）利用三角形面积公式求解．【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）如图，线段即为所求；（3）．故答案为：4．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）“停课不停学，学习不延期”、居家网课期问，元元将一平板保护套展开放置在水平桌面上，如图所示，平板能保持平稳，这是运用了（

）

A．三角形内角和等于180° B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性 D．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和【答案】C【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【详解】解：由图可知：平板能保持平稳，这是运用了三角形具有稳定性，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．2．（2023春·河北张家口·七年级统考期中）已知中，，，且第三边的长度是偶数，则的长度可以是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据三角形的三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，结合题中第三边的长度是偶数，即可得到答案．【详解】解：中，，，，，又第三边的长度是偶数，的长度是4，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知中，若，且，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，结合，可得出为钝角三角形．【详解】解：，．在中，，，，．，为钝角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用三角形高的定义即可求解．【详解】解：A、线段不是的高，不符合题意；B、线段不是的高，不符合题意；C、线段是的高，符合题意；D、线段不是的高，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．5．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等可得，根据三角形外角性质得出，然后根据领补角求出，最后根据平行线的性质得出结果即可．【详解】解：如图，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．6．（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）如图，、分别是的高和角平分线，点是延长线上一点，交于点，交于点，交于点．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据三角形内角和和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴；①正确；

∵，AE平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，则，②不正确；∵，，∴，∵，∴，③正确；∵，∴，∵，∴，④正确；综上：正确的有①③④．故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和及三角形外角的性质，解题关键是熟练运用三角形内角和外角的性质推理证明．二、填空题7．（2023春·江西吉安·七年级校联考期中）一个三角形的三边长分别为，7，11，那么的取值范围是．【答案】【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围．【详解】解：三角形的三边长分别为，7，11，即故答案为：．【点睛】本题考查三角形的三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．（2023春·山西晋中·七年级统考期末）如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若，，则长为．

【答案】2【分析】利用中线分成的两个三角形的面积相等，得到三角形的面积，再根据面积公式求得高即可．【详解】解：连接，线段是的中线，，，，为线段的中点，线段是的中线，，，，故答案为：2．

【点睛】本题考查的三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握中线分成的两个三角形的面积相等．9．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则度．

【答案】85【分析】延长，交于点F，由三角形外角的性质可求出，再结合平行线的性质即可得出．【详解】解：如图，延长，交于点F，

∵，，∴．∵，∴．故答案为：85．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．10．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）如图，在中，是边上一点，，连接，点、是上的点，且，连，点是的中点，连．若的面积为6，则的面积为．

【答案】【分析】先连接，根据等高的三角形面积比等于底之比且，求得；根据得到；再根据点是的中点可得，即可得出答案．【详解】解：如图，连接，

等高的三角形面积比等于底之比，，，，，，点是的中点，．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，利用了等底同高的三角形面积相等，等高的三角形面积比为底之比，熟记并能应用是解题关键．11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的的度数为．

【答案】/度【分析】设度，由折叠的性质可得度，由已知及折叠性质得度，由三角形内角和建立方程即可求得x的值．【详解】解：设度，由折叠的性质可得：度，在中，度，如最右边一幅图所示，由折叠性质得度，在中，，即，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用折叠的性质、借助三角形内角和建立方程是解题的关键．12．（2023秋·云南临沧·八年级统考期末）在中，，是边上的高，若，则的度数为．【答案】或【分析】①根据两种情况分类讨论，画出图形根据三角形的内角和定理解题即可.【详解】分两种情况，①当是锐角三角形时，如下图：

∵是边上的高∴，∵∴∵，②当是钝角三角形时，如下图：

∵是边上的高∴∵∵∴∴∵综上所述,或.故答案为：或.【点睛】本题考查三角形的内角和定理，能利用分类讨论的方法画图是解题的关键.三、解答题13．（2023春·安徽滁州·八年级校考开学考试）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．(1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【答案】(1)(2)