全国统考版2025届高考数学二轮复习专题九解析几何梳理纠错预测学案文含解析

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台--教化因你我而变好教化云平台--教化因你我而变解析几何专题专题9××解析几何命题趋势命题趋势本部分考查点主要有：（1）直线间的位置关系、点到线和线到线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，主要以选择题、填空题的形式出现，选做题当中也会出现直线与圆的位置关系考查；（2）椭圆、抛物线、双曲线的方程与性质的考查，直线与椭圆、抛物线、双曲线位置关系的考查．考点清单考点清单1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y-不能表示斜率不存在的直线斜截式y=kx+b两点式不能表示平行于坐标轴的直线截距式不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B可以表示全部类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，②两条直线垂直：假如两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1（3）两条直线的交点的求法直线l1：A1x+B1则l1与l2的交点坐标就是方程组（4）三种距离公式①P1(x1，②点P0(x0，y0③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a圆心：(a，b)一般方程x2(圆心：，半径：（6）点与圆的位置关系点M(x0，①若M(x0，②若M(x0，③若M(x0，2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公切线条数432103．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-cF1(0顶点坐标，A2(a，0)，A20长轴长轴A1A2短轴短轴B1B2焦距焦距F1F2范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a离心率，越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形一般方程m几何性质范围|x|≥a，y|y|≥a，x焦点F1(-cF1(0顶点A1(-aA1(0对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B焦距焦距|F1F离心率渐近线方程（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0对称轴y=0(x轴)x=0(y轴)焦点离心率e=1准线方程范围x≥0，yx≤0，yy≥0，xy≤0，x焦半径(其中P(4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系推断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y即联立，消去y，得ax2①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．②当a=0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x则或．

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．椭圆上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（）A．2 B．4 C．25 D．【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2a2+b【点评】本题考了椭圆的几何性质，属于基础题．2．点P在函数的图象上．若满意到直线的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．22 B．23 C．3 D【答案】C【解析】过函数的图象上点Px0，y0，于是ex0=1，则x0∴P0于是当点P到直线的距离为2时，则满意到直线的距离为2的点P有且仅有3个，∴，解得或．又当时，函数的图象与直线相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满意；故，故选C．【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．3．直线ax+y-1=0被圆x2+y2-2x-8y+13=0A． B． C． D．【答案】A【解析】x2+y该圆圆心为1，4，半径为r=2，直线ax+y-1=0截圆所得的弦长为则圆心1，4到直线ax+y-1=0的距离为，解得，故选A．【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l=1+k24．已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，DA． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线的方程l:mx+y+3m-3=0化为所以直线l恒过点-3，而点-3，3满意x2+y不妨设点A-3又|CD|=3，所以点B0所以|AB|=-3又圆x2+y2=12的半径为23，所以△AOB【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：依据直线方程的点斜式直线的方程变成y=kx-a+b，将x=a带入原方程之后，所以直线过定点a，b；方法二（特别引路法）：因为直线的中的m是取不同值改变而改变，但是肯定是围绕一个点进行旋转，5．椭圆的焦点为F1、F2，上顶点为A，若，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】在椭圆中，a=m2+1，b=m，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点A，焦点为F1、F2，所以A，∴△F1AF2为等边三角形，则因此，，故选C．【点评】本题考了椭圆焦点三角形的相关计算，属于中档题．6．设F1､F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满意且F2到直线PA． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，可知△PF1F2是一个等腰三角形，F依据双曲线定义可知PF1-由勾股定理可知，整理可得3c2-2ac-5a2=0，即3【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式②只须要依据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c二、填空题．7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=4，则△OAB(O面积为_________．【答案】【解析】由题意知，F1，0|AF|=x1+1=4，x设Bx2，∴AB:y=联立方程，整理可得，解得，，．故答案为．【点评】本题考了抛物线的相关定义，直线与抛物线结合考查，属于中档题．三、解答题．8．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2．设P是椭圆C上一点，满意PF2⊥x轴，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件可知，解得a=2，b=1，c=3，所以椭圆C的标准方程是．（2）设直线l:x=y-3，Ax1直线l与椭圆方程联立，得5y2，，．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关学问，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求线段PA的长；（3）试问：四边形ABCD的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）是定值，定值为6．【解析】（1）解：由题意得，解得a=3，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，得，由于a=3，解得b=2，所以所求的椭圆的标准方程为．（2）解：因为，则得，即，又因为A(-3，0)，所以直线AP的方程为由，解得(舍去)或，即得，所以，即线段AP的长为．（3）由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线．令y=0，得，由，得4k2+9x2-36kx=0，解得x=0(所以，即，于是直线AP的方程为，即，令x=0，得，即，所以四边形ABDC的面积等于，即四边形ABDC的面积为定值．【点评】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：写出直线方程求出交点坐标，得出线段长度．对定值问题，设出直线方程得出各交点坐标，计算出四边形面积即可得．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率是，抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆C（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为，证明：l过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为抛物线E:x2=4y的焦点F所以b=1，由，解得a=2，则椭圆方程为．（2）①当斜率不存在时，设l:x=m，Am，y∵直线FA与直线FB的斜率的和为，，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满意；②当斜率存在时，设l:y=kx+t，t≠1，Ax1，联立，整理得1+4k2，①∵直线FA与FB直线的斜率的和为，∴，②①代入②得，∴t=-2k-1，此时Δ=-64k，存在k，使得Δ>0成立，∴直线l的方程为y=kx-2k-1，当x=2时，y=-1，∴l过定点2，【点评】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，依据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特别位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．11．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上的点到点F1，（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点P2，1的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满意PA【答案】（1）；（2）存在直线l满意条件，其方程为．【解析】（1）由题意得，所以，故椭圆C的标准方程为．（2）若存在满意条件的直线l，则直线l的斜率存在，设其方程为y=k(x-2)+1．代入椭圆C的方程得．设A，B两点的坐标分别为x1，y所以，所以，且，．因为PA⋅PB=所以，即．所以，解得．又因为，所以．所以存在直线l满意条件，其方程为．【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要留意：（1）留意视察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算实力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．高频易错题高频易错题一、选择题．1．已知直线l1:x+my+7=0和l2:A．-1或3 B．-1 C．-3 D．1或-3【答案】A【解析】∵两条直线l1:x+my+7=0和l∴1×3-mm-2=0，解得m=-1或若m=-1，则l1:x-y+7=0与l2若m=3，则l1:x+3y+7=0与l2:x+3y+6=0故选A．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．2．已知抛物线y=x2上点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点A． B． C． D．【答案】A【解析】依据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点F的距离等于其到准线的距离，从而得到点P到焦点F的距离等于其到顶点O的距离，所以点P在线段OF的垂直平分线上，因为抛物线的方程为y=x2，所以其焦点的坐标为从而得到点P的纵坐标为，将代入抛物线的方程，得到，所以点P的坐标为，故选A．【点评】该题考查的是有关抛物线上点的坐标的求解问题，涉及到的学问点有抛物线的定义，线段中垂线上点的特征，娴熟驾驭基础学问是解题的关键．3．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线的标准方程为x2=4y所以，，准线方程为y=-1，故选C．【点评】本题考点为抛物线的基本性质，属于基础题．二、填空题．4．已知圆C:x2+y2为______．【答案】【解析】由x2+y2所以圆心C0，8双曲线的一条渐近线为，由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所以，所以，故答案为．【点评】关键点点睛：本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，可得a，精准精准预料题一、选择题．1．若直线l1:x+by+6=0与l2:(b-2)x+3y+2b=0平行，则A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线l1:x+by+6=0与所以bb-2=3，解得b=-1或当b=3时，l1:x+3y+6=0，l2:x+3y+6=0此时l当b=-1时，l1:x-y+6=0，l2此时l1与l2间的距离为，故选B【点评】本题考了两条直线的平行的推断以及两条直线之间的距离，属于基础题．2．已知点P是圆C:x+a2+y-a+32=1上一动点，点P关于y轴的对称点为M，点P关于直线A．4 B．22 C．4-2 D【答案】C【解析】设Pm，n，则MMN=则m2+n-12表示圆C上的点由题得，圆心C-a，a-3依据圆的性质可得AP=2当且仅当a=2时，等号成立，所以MN=所以MN的最小值是4-2，故选C【点评】求解本题的关键在于，通过设点Pm，n，得到M，N得到MN=3．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，且以F1F右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若2FA． B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接PF因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q设F1P=x，则PQ=2x，F1由△PQF2为直角三角形，故x+2a2故F1Q=4a因为△F1QF2为直角三角形，故16a【点评】与焦点三角形有关的离心率的计算，留意利用双曲线的定义实现边的关系的转化，必要时需多次转化．4．若直线l与曲线y=x和圆都相切，则l的方程为（）A．x-22y+2=0 BC．x-22y-2=0 D【答案】A【解析】法一：设曲线y=x的切点P(依据导数几何意义可得点P(x0，所以切线方程，即l:x-2x0因为切线也与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得x0=2或x0所以切线方程为x-22y+2=0，故选法二：画出曲线y=x和圆的图形如下：结合图形可得要使直线l与曲线y=x和圆都相切，则直线k>0，横截距a<0，纵截距b>0，B，C，D均不符合，故选A．【点评】若已知曲线y=f(x)过点P(x0，y（1）当点P(x0，（2）当点P(x第一步：设出切点坐标P'其次步：写出过点P'(x第三步：将点P的坐标(x0，第四步：将x1的值代入方程y-f(x15．（多选）已知点F0，2为圆锥曲线ΩA．y2=8x BC． D．【答案】BC【解析】对于A，y2=8x的焦点坐标为(2，0)，不对于B，y2=8y的焦点坐标为(0，2)，对于C，可化为，其为焦点在y轴上的双曲线方程，且该双曲线的半焦距c=m+4-m=2，对于D，为焦点在x轴上的双曲线方程，不满意题意，故选BC．【点评】在双曲线的标准方程中，看项与y2项的系数的正负，若项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”二、填空题．6．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为__________．【答案】，-3【解析】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ-45°，直线OB的倾斜角为θ+45°，故，．故答案为；-3．【点评】求直线斜率的方法：（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为k=tan（2）两点式：已知两点坐标，，则过两点的直线的斜率．三、解答题．7．已知椭圆与抛物线C：x2=2pyp>0有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，过焦点F的直线l交椭圆Γ于M，N两点，求△OMN【答案】（1）椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=43y；（2【解析】（1）因为AB=1，所以不妨设A的坐标为，B的坐标为，所以有，∴a2=4，p=2∴椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=4（2）由（1）可知：F的坐标为(0，设直线l的方程为y=kx+3，O到MN的距离为d，则，联立，可得k2+4则，，当且仅当k2=2时取等号，故△OMN【点评】本题主要考了抛物线，椭圆的基本性质，以及弦长公式，同时考查计算实力，属于中档题．8．已知椭圆的离心率为，且直线与圆x2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A﹐B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且，求△ABO的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴（c为半焦距），∵直线与圆x2+y2=2又∵c2+b2=a∴椭圆C的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n-∵，∴6=15n，∴∴；②当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+mm≠0，Ax1由，消去y，得2k2∴Δ=16k2m∴，．∴线段AB的中点．当k=0时，∵，∴3=15m，∴∴；当k≠0时，射线OM所在的直线方程为，由，消去y，得，，∴．∴5m2=2k2设点O到直线l的距离为d，则．∴，综上，△ABO的面积为．【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等