第一章 三角形的证明 综合检测

第一章三角形的证明综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2023广东惠州期中)在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=3，则()A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A=60°2.(2022新疆吐鲁番期末)如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是()A.SSS B.ASA C.SAS D.HL3.已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，则∠A等于()A.35° B.55° C.60° D.40°4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD=4，则BC的长为()A.8 B.4 C.12 D.65.(2023广东汕头一模)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，AB=4，DE=2，则△ABD的面积为()A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2022浙江台州二模)如图，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，A.CD⊥AB，但CD不一定平分ABB.CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CDC.AC⊥BC且AC=BCD.CD与AB互相垂直平分7.下列命题的逆命题是假命题的是()A.两直线平行，同旁内角互补 B.直角三角形的两锐角互余C.如果xy=0，那么x=0或y=0 D.如果两个角是对顶角，那么它们相等8.(2023浙江杭州二模)如图，△ABC中，∠BAC=70°，AB的垂直平分线与∠BAC的平分线交于点O，则∠ABO的度数为()A.35° B.30° C.25° D.20°9.(2023内蒙古包头一模)如图，在△ABC中，∠B=28°，∠C=40°，按以下步骤作图：(1)分别以点A，点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点(2)作直线EF交BC边于点M，连接AM；(3)以点C为圆心，CA的长为半径作弧，与BC边相交于点N，连接AN.则∠MAN的度数为()A.28° B.20° C.15° D.14°10.(2022河北承德平泉期末)如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是()A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题(每小题4分，共28分)11.用反证法证明“等腰三角形三个内角中至少有两个锐角”，应先假设.

12.如图，∠AOB=50°，PD⊥OA，PC⊥OB，垂足分别为D，C，若PC=PD，则∠AOP=°.13.(2023河南登封告成第一初中第一次月考)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高线，E为AC上一点，且有AE=AD.已知∠EDC=12°，则∠B=°.

14.△ABC中，BC=6，∠A=∠B=60°，那么△ABC的面积是.

15.如图，∠A=52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=°.16.(2023陕西西安铁一中学期中)如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC=62°，则∠PAC等于度.

17.(2023广东茂名三中第一次月考)在如图所示的方格纸中，建立平面直角坐标系，点A的坐标为(3，4)，则OA=，若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标为.

三、解答题(共42分)18.(6分)如图，已知点D、E在△ABC的BC边上，且BD=CE，∠ADC=∠AEB.求证：∠1=∠2.19.(8分)已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.(1)求证：BC=BE；(2)若∠DBF=∠BAC=30°，AC=2，求AD的长.20.(8分)如图，已知BE⊥AE，∠A=∠EBC=60°，AB=4，BC2=12，CD2=3，DE=3.求证：(1)△BEC为等边三角形；(2)ED⊥CD.21.(2023广东揭阳普宁二中第一次月考)(10分)在△ABC中，AC<AB<BC.(1)如图①，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B；(2)如图②，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC=3∠B，求∠B的度数. 22.(2023辽宁本溪十二中第一次月考)(10分)已知：如图，在△ABC中，120°<∠BAC<180°，直线AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线DA于点F，连接FC交AE于点M.(1)求证：∠FEA=∠FBA；(2)求∠EFC的度数；(3)猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论.

第一章三角形的证明综合检测答案全解全析1.A在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=3，∴AB2+AC2=12+(3)2=4=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，故选A.2.B在△ABD和△ACD中，∠1=∠2,AD=AD,∠3=∠4,∴△ABD≌△ACD(ASA)3.A∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠C=90°，∵∠C比∠A大20°，∴∠A+∠A+20°=90°，解得∠A=35°，故选A.4.C∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∴∠BAC=120°，∵AD⊥AC，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠BAD=∠B，∴BD=AD=4，在Rt△ADC中，∵∠C=30°，AD=4，∴CD=2AD=8，∴BC=BD+DC=4+8=12.故选C.5.C过点D作DF⊥AB于点F，如图所示，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，∴DF=DE=2，∵AB=4，∴△ABD的面积=12AB·DF=12×4×2=46.D由作图方法可知CD垂直平分AB，AC=BC=AD=BD，∴AB垂直平分CD，∴CD与AB互相垂直平分，∴D选项符合题意，故选D.7.DA.两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，该逆命题是真命题，不符合题意；B.直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，不符合题意；C.如果xy=0，那么x=0或y=0的逆命题是如果x=0或y=0，那么xy=0，该逆命题是真命题，不符合题意；D.如果两个角是对顶角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，该逆命题是假命题，符合题意.故选D.8.A∵AO平分∠BAC，∴∠BAO=12∠BAC=35°∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=35°，故选A.9.D∵∠B=28°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-28°-40°=112°，根据作图步骤可知，EF是AB的垂直平分线，AC=NC，∴AM=BM，∠CAN=∠CNA=12×(180°-40°)=70°∴∠BAM=∠B=28°，∴∠MAN=112°-28°-70°=14°，故选D.10.C由题意可知AO=A1A，A1A=A2A1，……，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，……，∵∠BOC=8°，∴∠A1A2A=∠A2AA1=16°=2×8°，∴∠A3A1A2=24°=3×8°，同理∠A4A2A3=32°=4×8°，∠A5A3A4=40°=5×8°，……，∠An+1An-1An=n×8°<90°，解得n<1114∵n为整数，∴n=11.故选C.11.三角形的三个内角中有两个角大于或等于90°解析用反证法证明第一步应先提出与结论相反的假设.12.25解析∵PC⊥OB，PD⊥OA，PC=PD，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=25°.13.66解析∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠EDC=12°，∴∠ADE=∠AED=78°，∴∠C=∠AED-∠EDC=78°-12°=66°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=66°，故答案为66.14.93解析∵在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=6，如图，过A作AD⊥BC于D，则BD=CD=3，∴AD=AB∴△ABC的面积=12AD·BC=12×33×6=915.38解析如图，连接OA，OB，∵O是AB，AC的垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∠3=∠4，∴2∠1+2∠3+2∠6=180°，∴2∠6=180°-2∠BAC=180°-2×52°=76°，∴∠OCB=∠6=38°.16.59解析如图，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M，∵∠BAC=62°，∴∠FAC=180°-∠BAC=180°-62°=118°，∵BP平分∠FBD，CP平分∠ACD，∴PF=PN，PM=PN，∴PF=PM，∵PF⊥BA，PM⊥AC，∴AP平分∠FAC，∴∠PAC=12∠FAC=117.5；(6，0)或(5，0)或(-5，0)解析如图，过A作AH⊥x轴于H，则OH=3，AH=4，∴OA=OH2+A①若OA=AB，∵AH⊥x轴，∴t=2OH=6，则点B1的坐标为(6，0)；②若OA=OB，则|t|=5，∴t=±5，∴点B2的坐标为(5，0)，点B3的坐标为(-5，0).∴符合条件的B点的坐标为(6，0)或(5，0)或(-5，0).18.证明∵∠ADC=∠AEB，∠ADC+∠ADB=180°，∠AEB+∠AEC=180°，∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠1=∠2.19.解析(1)证明：∵AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且AC=AE，AD=AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD=EF.∵AB=AB，AD=AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF，即BC=BE.(2)∵AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，AD=AF，∴AB平分∠DBF，∴∠ABC=12∠DBF=15°，∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°，∴AD=CD在Rt△ACD中，AC=2，AC2=AD2+CD2，∴2AD2=4，∴AD=2.20.证明(1)∵∠A=60°，∠AEB=90°，∴∠ABE=30°.∵AB=4，∴AE=12AB=2∴BE2=AB2-AE2=12，又∵BC2=12，∴BE=BC.又∵∠CBE=60°，∴△BEC为等边三角形.(2)∵△BEC为等边三角形，∴EC2=BC2=12，又∵DE2=9，CD2=3，∴DE2+CD2=12=EC2，∴△CDE为直角三角形，且∠D=90°，∴ED⊥CD.21.解析(1)证明：因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB，所以∠PAB=∠B，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.(2)根据题意得BQ=BA，所以∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，所以∠BAQ=∠BQA=2x，在△ABQ中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°.22.解析(1)证明：∵直线AD为边BC的垂直平分线，∴AB=AC，∵△ACE为等边三角形，∴AC=AE，∴AB=AE，∴∠FEA=∠FBA.(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵直线AD垂直平分BC，∴FB=FC，∴∠FBC=∠FCB，∴∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB，即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF，∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA，∴∠EFC=∠CAE，∵△ACE是等边三角形，∴∠CAE=60°，∴∠EFC=60°.(3)FE+FA=2FD