新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第14讲 二次函数与幂函数（原卷版）

第14讲二次函数与幂函数【基础知识全通关】知识点一幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识点二二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时恒有f(x)>0，当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.【考点研习一点通】考点01：二次函数的解析式1.已知二次函数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0有两个相等实根．（1）求函数SKIPIF1<0的解析式；（2）当且仅当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．考点02：二次函数图象的识别2.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（）A． B．C． D．考点03：二次函数的单调性问题3.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若函数SKIPIF1<0是区间SKIPIF1<0上的单调函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值.考点04：二次函数的最值问题4.已知二次函数SKIPIF1<0的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为12．（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．考点05：二次函数的恒成立问题5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．考点06：二次函数与函数零点问题6.已知函数.（1）若的值域为，求关于的方程的解；（2）当时，函数在上有三个零点，求的取值范围.考点07：一元二次不等式恒成立问题7.设函数SKIPIF1<0．若对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求m的取值范围．考点08：二次函数的综合应用8.已知函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0).（1）讨论函数SKIPIF1<0的奇偶性；（2）当SKIPIF1<0为偶函数时，若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有实根，求实数SKIPIF1<0的取值范围.考点09：幂函数的概念9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.考点10：幂函数的图象10.若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（）A． B．C． D．考点11：幂函数的性质11.已知定义在SKIPIF1<0上的幂函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为实数）过点SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点12：幂函数综合问题12.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【考点易错】易错01幂函数的图象与性质1.已知α∈eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)))，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2，3)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【变式1-1】已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝f(2eq\s\up8(－eq\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．b<a<c易错02求二次函数的解析式2.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.【变式2-1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．易错03二次函数的图象及应用3.已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()【变式3-1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.下面四个结论中正确的是()A．b2<4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a<b易错04二次函数的单调性4.已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]【变式4-1】函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定易错05二次函数的最值问题5.已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【变式5-1】若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．易错06二次函数中的恒成立问题6.已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．【变式6-1】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．【巩固提升】1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．22．若幂函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(m,n))(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则()A．m，n是奇数，且eq\f(m,n)<1B．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)>1C．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)<1D．m是奇数，n是偶数，且eq\f(m,n)>13．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为()A．－eq\f(1,16) B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,4) D．04．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为()A．0 B．1C．2 D．45．函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)，则f(x)的图象可能是()7.．已知函数f