第35讲空间几何体的内切外接截面问题（原卷版）

第35讲空间几何体的内切、外接、截面问题【典型例题】例1．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的体积为A． B． C． D．例2．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为A． B． C． D．例3．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是A． B． C． D．例4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为则它的体积为A． B． C． D．例5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A． B． C． D．例6．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．例7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为A． B． C． D．例8．过正方体的棱、的中点、作一个截面，使截面与底面所成二面角为，则此截面的形状为A．三角形或五边形 B．三角形或四边形 C．正六边形 D．三角形或六边形例9．设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个【同步练习】一．选择题1．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．2．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为A． B． C． D．4．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为A． B．2 C．3 D．5．已知在四面体中，，平面平面，则四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题6．已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为 C．该三棱锥体积为 D．该三棱锥体积为7．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是A． B． C． D．8．传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等．因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则A． B．的展开式中的的系数为56 C．的展开式中的各项系数之和为0 D．，其中为虚数单位9．已知四面体中，，，，直线与所成角为，则下列说法正确的是A．的取值可能为 B．与所成角余弦值一定为 C．四面体体积一定为 D．四面体的外接球的半径可能为三．填空题10．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则球心到平面的距离为．11．已知正三棱锥底面边长为1，高为，则其内切球半径为．12．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是．13．如图，正方体的一个截面经过顶点，及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为．14．古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的体积与圆柱的体积之比为．15．在三棱锥中，面面，，，则该三棱锥外接球的表面积为．16．在正三棱锥中，，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为．17．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为．18．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的序号是．①平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形；②平面截直四棱柱所得截面的面积为；③二面角的正切值为；④点到平面的距离与点到平面的距离之比为．19．如图，已知球与圆锥的侧面和底面均相切，且球心在线段上，圆锥的底面半径为1，母线长为2，则球的表面积为．20．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是．21．如图，设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．22．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．23．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为，内切球的半径为．24．在四面体中，已知，，