第02讲复数的几何意义-2021-2022学年高一数学下学期考点(人教A版2019)（原卷版）

第2讲复数的几何意义知识点1复平面、实轴、虚轴与复数的对应建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．知识点2复数的几何意义注：复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq\o(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．知识点3复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→))，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离．考点一复数与复平面内点的关系解题方略：利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．【例1】在复平面上，与点相对应的的复数为（

）A． B． C． D．变式1：已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0，－1) B．(－1,0)C．(0,0) D．(－1，－1)【例2】复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式1：若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限变式2：若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式3：已知复数z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A．－1＋eq\r(3)i B．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D．－2＋eq\r(3)i变式4：若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)变式5：复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．变式6：当时，复数在复平面上对应的点位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式7：“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式8：设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件变式9：复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1C．a＝2或a＝0 D．a＝0【例3】复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则=（）A．1 B．C．1或 D．0变式1：若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝()A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i变式2：在复平面内，复数z所对应的点在射线上，且，则（

）A． B． C． D．变式3：求实数a分别取何值时，复数z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．(3)求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．(4)如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．【例4】复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．【例5】i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.考点二复数的模解题方略：复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．【例6】已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.变式1：已知复数，则（）A． B． C． D．变式2：求复数z1＝6＋8i与z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比较它们的模的大小．变式3：已知复数的实部与虚部的和为12，则（）A．3 B．4 C．5 D．6变式4：若复数是纯虚数，则等于（

）A．0 B．2 C．0或2 D．变式5：若复数为纯虚数，则（）A． B．13 C．10 D．变式6：i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.变式7：复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，则（）A． B．2 C． D．10变式8：复数z满足，则复数（）A． B． C． D．变式9：已知复数z满足且，则复数z的虚部为（

）A． B． C． D．【例7】设复数，，且，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．变式1：已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．变式2：已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(1，eq\r(5))C．(1,3) D．(1,5)变式3：已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．3【例8】已知复数z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？变式1：已知复数z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，则点(x，y)的轨迹方程是________．变式2：设复数在复平面上对应的点为且满足，则（

）A． B．C． D．变式3：已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()A．一个圆 B．线段C．两点 D．两个圆变式4：已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点Z的轨迹为___________．考点三复数与复平面内向量的关系解题方略：复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．【例9】向量a＝(－2,1)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i变式1：若eq\o(OZ,\s\up7(―→))＝(0，－3)，则eq\o(OZ,\s\up7(―→))对应的复数为()A．0B．－3C．－3i D．3变式2：复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i变式3：设O为原点，向量eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量eq\o(BA,\s\up7(―→))对应的复数为()A．－1＋i B．1－iC．－5－5i D．5＋5i变式4：向量对应的复数是，向量对应的复数是，则＋对应的复数是（）A．B．C．0 D．变式5：在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋80i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i变式6：在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(BC,\s\up7(―→))对应的复数；②判定△ABC的形状．变式7：在复平面内，把复数3－eq\r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转eq\f(π,3)，所得向量对应的复数是()A．2eq\r(3) B．－2eq\r(3)iC.eq\r(3)－3i D．3＋eq\r(3)i变式8：复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（

）A． B． C． D．变式9：已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若eq\o(OC,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))(x，y∈R)，则x＋y的值是________．练习一复数与复平面内点的关系1、【多选】下列命题中，正确的是（）A．复数的模总是非负数B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D．相等的向量对应着相等的复数2、在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（）A．1 B． C．2 D．3、复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为___________．5、若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限6、【多选】设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（

）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数，则D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则练习二复数的模1、已知复数，则复数的模为（）A． B．1 C． D．2、若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的模为（

）A． B． C． D．33、复数的模为________．4、若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（）A．2 B．4 C． D．5、下列命题中，正确的是（）A．的虚部是 B．是纯虚数C． D．6、下列命题中，真命题是（）．A．虚数所对应的点在虚轴上B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件C．若，则D．“”是“”的必要非充分条件7、【多选】已知，，，则（

）A．的虚部是 B．C． D．对应的点在第二象限8、已知，则“”是“z为纯虚数”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件9、已知复数满足，则（）A． B． C． D．10、【多选】满足及的复数可以是（

）A． B．C． D．练习三复数与复平面内向量的关系1、在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（）A． B． C． D．2、设复数z＝lo