624向量的数量积（精讲）

6.2.4向量的数量积重点：1、平面向量数量积的含义与意义；2、向量数量积的性质与运算律及其性质；难点：1、平面向量数量积的概念；2、利用平面向量数量积求解模长与夹角等.一、向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的数量积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；（2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、向量在上的投影向量（1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积3、向量数量积的物理背景如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。二、平面向量数量积的性质与运算律1、平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）2、平面向量数量积满足的运算律（1）；（3）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式三、求平面向量数量积的方法（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；（3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。题型一平面向量数量积的运算【例1】（2023·全国·高一专题练习）已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．【答案】3【解析】向量和向量的夹角为，，，又，.【变式11】（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A【变式12】（2022秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因为是等边三角形，所以.所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.所以.故选：B【变式13】（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A．B．不与垂直C．D．【答案】ACD【解析】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；对于B，，所以与垂直，故B错误；对于C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故C正确；对于D，，故D正确.故选:ACD.【变式14】（2022·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______.【答案】268【解析】.【变式15】（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.【答案】6【解析】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.题型二平面向量模的相关运算【例2】（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知，，，则（）A．B．2C．D．4【答案】B【解析】因为，，，所以，故选：B【变式21】（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】因为，所以，所以，又.故选：A.【变式22】（2021秋·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．【答案】【解析】，所以，故，，两式相减得，所以，所以＝.【变式23】（2023春·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.【答案】【解析】由图知：，则，又，则.【变式24】（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是__.【答案】【解析】由，得，所以，当和共线时等号成立，所以，即，所以，又，当时取等号.所以的最大值是.题型三平面向量的夹角问题【例3】（2022秋·重庆北碚·高一西南大学附中期末）已知向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得，即，解得，即，又因为，因为，所以，即与的夹角为.故选：B.【变式31】（2021秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D【变式32】（2022秋·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以，故选：A【变式33】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.题型四平面向量的垂直问题【例4】（2022·高一练习）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.【答案】11【解析】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得.【变式41】（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若与都是非零向量，则“”是“”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】因为与都是非零向量，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C.【变式42】（2022·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.【变式43】（2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.题型五求平面向量的投影向量【例5】（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C【变式51】（2022秋·天津南开·高一南开中学校考期末）已知向量，且，则向量在上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设，，则向量在上的投影向量.故选：D【变式52】（2022·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则在上的投影向量为.故选：C.【变式53】（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（）A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C题型六平面向量数量积的最值【例6】（2021秋·辽宁大连·高一大连市第一中学校考阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围是_________．【答案】【解析】可得可变形为由可知，，解得【变式61】（2022春·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．【答案】【解析】由已知有，∴，得，∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.【变式62】（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）（多选）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（）A．B．C．3D